第09講函數(shù)比較大小問題（講義）

第09講函數(shù)比較大小問題1.五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)的圖象.(2)五種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增x∈[0,+∞)時,單調(diào)遞增,x∈(-∞,0)時,單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增x∈(0,+∞)時,單調(diào)遞減,x∈(-∞,0)時,單調(diào)遞減定點(diǎn)(1,1),(0,0)(1,1)2.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；4.常用方法(1)作差法(2)臨界值法，常見臨界值為0，1，不常見有，等考點(diǎn)一利用冪函數(shù)性質(zhì)比較大小考點(diǎn)二指數(shù)式，冪式大小比較考點(diǎn)三比較對數(shù)，指數(shù)，冪的大小問題考點(diǎn)一：利用冪函數(shù)性質(zhì)比較大小例1．已知冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】∵已知函數(shù)是冪函數(shù)，∴，∴，或，，或.對任意的且，滿足，故是增函數(shù)，∴.若，，，即，∴，即，即.則，故選：B.對點(diǎn)訓(xùn)練．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值大小，即可得a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，所以，則.故選：D.考點(diǎn)二：指數(shù)式，冪式大小比較例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】將三個指數(shù)冪化成同底指數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，又函?shù)在上單調(diào)遞增，，所以所以，故選：C對點(diǎn)訓(xùn)練．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即.又，所以.故選：C考點(diǎn)三：比較對數(shù)，指數(shù)，冪的大小問題例3．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考一模）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】解：由于是減函數(shù)且，而，所以，又因?yàn)槭菧p函數(shù)，而，，綜上，，故選：A.例4．（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指對數(shù)的性質(zhì)與中間數(shù)比大小即可.【詳解】，所以.故選：D.對點(diǎn)訓(xùn)練．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過和中間數(shù)比大小即可.【詳解】；；；所以故選：D一、單選題1．已知正實(shí)數(shù)，，滿足，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式互化公式，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，令.則在上為減函數(shù)，∴，故，故選：A2．（2023·高三課時練習(xí)）給出下列命題：①若a＞b，則；②若，則；③若a＞b，則；④若，則.其中，正確的命題是（

）.A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【分析】①④可舉出反例，②可通過不等式的基本性質(zhì)得到；③可利用冪函數(shù)的單調(diào)性得到.【詳解】若，此時，①錯誤；若，則，故，兩邊平方可得：，②正確；因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故若，則，③正確；若，不妨設(shè)，不滿足，④錯誤.故選：B3．圖中，，分別為冪函數(shù)，，在第一象限內(nèi)的圖象，則，，依次可以是（

）A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)判斷參數(shù)的大小關(guān)系，即可得答案.【詳解】由題圖知：，，，所以，，依次可以是，，3．故選：D4．已知是上的增函數(shù)，、、、則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小，再由單調(diào)性比較a、b、c大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以，所以，是上的增函數(shù)，故故選：A5．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）若，，且滿足，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由，可得.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以.綜上，.故選：C6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】（1）利用冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷A，利用正切函數(shù)單調(diào)性即可判斷B，舉例，即可判斷C，利用對勾函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷D.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，故時，，故A錯誤，根據(jù)三角函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，故時，故，故B錯誤，，即，，但與的大小關(guān)系不明，如，，顯然此時，故C錯誤，根據(jù)對勾函數(shù)的圖像與性質(zhì)當(dāng)時，可知，而，根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)可知其值域，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，則，故，故D正確.故選：D.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，將a，b，c與中間值0，1進(jìn)行比較，即可得出.【詳解】解：在R上是減函數(shù)，，在上是增函數(shù)，在R上是減函數(shù)，，則，即，又在R上是增函數(shù)，，即，綜上所述，可知，故選：B.8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，，又因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，所以，所以.故選：B.9．（2023·江蘇·二模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)以及對數(shù)的運(yùn)算，并借助中間量進(jìn)行比較，即得答案．【詳解】，，所以，由于，所以，即，而，所以，故選：D．10．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小.【詳解】，即，，即，，即，所以，故選：D.11．下列選項(xiàng)中兩數(shù)大小關(guān)系錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)誘導(dǎo)公式及正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故B正確；對于C，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，故C錯誤；對于D，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，所以，所以，故D正確.故選:C.12．（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（一））已知，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別利用指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍即可比較大小得出正確選項(xiàng).【詳解】，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，所以，故，故選：D.13．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)得，通過比值法結(jié)合基本不等式和放縮的技巧即可得，則，最后再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，最終得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?故選：A.14．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式及合理放縮，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案.【詳解】運(yùn)用基本不等式，以及放縮技巧，得，，故選：D.15．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由換底公式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，繼而由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性作出判斷即可.【詳解】，.因?yàn)?，且，所以，?由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，，故A錯誤；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，故B正確；因?yàn)?，，所以，故C錯誤；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，，故D錯誤；故選：B二、填空題16．設(shè)，則與的大小為______.【答案】【分析】由冪函數(shù)的單調(diào)性判斷，【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，故答案為：17．令，，，則三個數(shù)的大小順序是_______．（用“”連接）【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值即可確定大小關(guān)系.【詳解】，.故答案為：.18．設(shè)，，，則a，