三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即

2分布t

分布F分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布(都是連續(xù)型).它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.！在本章中特別要求掌握對(duì)正態(tài)分布、

2分布、t分布、F分布的一些結(jié)論的熟練運(yùn)用.它們是后面各章的基礎(chǔ).第四節(jié)三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布（卡方）——分布定義1:設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)為則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖5-4f(y)其圖形隨自由度的不同而有所改變.分布密度函數(shù)的圖形注：自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)1：2分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)

2～

2(n)，則E(

2)=n，D(

2)=2n.性質(zhì)2：2分布的可加性設(shè)且相互獨(dú)立，則三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布定理1設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則證明由已知，有Xi～N(

，

2)且X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，則且各相互獨(dú)立，由定義1:得三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

定理3:

設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是n-1？從表面上看，是n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：=0這表明，當(dāng)這個(gè)n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n-1個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這n項(xiàng)平方和中只有n-1項(xiàng)是獨(dú)立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

定理3：設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則(1)樣本均值與樣本方差S

2相互獨(dú)立；(2)(4.1)與以下補(bǔ)充性質(zhì)的結(jié)論比較：

性質(zhì)設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自正態(tài)總體X～N(

，

2)的樣本，則三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布其幾何意義見(jiàn)圖5-5所示.其中f(x)是

2-分布的概率密度.f(x)xO圖5-5顯然，在自由度n取定以后，的值只與有關(guān).2分布的上側(cè)分位點(diǎn)三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布例如，當(dāng)n=21，=0.05時(shí)，由附表3(P254)可查得，32.67即三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布二、t分布定義3

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布，記作t分布的概率密度函數(shù)為T

～t(n).其圖形如圖5-6所示(P106)，

其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的圖形.當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布定理4設(shè)(X1，X2，…，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體

X～N(

，

2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量證由于與S

2相互獨(dú)立，且由定義3得三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布定理5

設(shè)(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)

分別是來(lái)自正態(tài)總體N(1

，2)和N(2

，2)的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量其中、分別為兩總體的樣本方差.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布t分布的上側(cè)分位點(diǎn)對(duì)于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的點(diǎn)t(n)為t分布的上分位點(diǎn)。其幾何意義見(jiàn)圖5-7.f(t)tOt(n)圖5-7三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布t分布的雙側(cè)分位點(diǎn)由于t分布的對(duì)稱性，稱滿足條件的數(shù)t/2(n)為t分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。其幾何意義如圖5-8所示.f(t)tOt/2(n)

/2

/2-t/2(n)圖5-8三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布在附表4(P256)中給出了t分布的臨界值表.例如，當(dāng)n=15，=0.05時(shí)，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.

但當(dāng)n>45時(shí)，如無(wú)詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替t分布查t(n)的值.即t(n)≈u，n>45.

一般的t分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)n>30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)來(lái)近似.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布三、F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).概率密度函數(shù)其中其圖形見(jiàn)圖5-9.(P108)

三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)：若X～F(n1，n2)，則～F(n2，n1).F

分布的上側(cè)分位點(diǎn)對(duì)于給定的

(0<

<1)，稱滿足條件的數(shù)F(n1，n2)為F分布的上側(cè)分位點(diǎn)。其幾何意義如圖5-7所示.f(y)xO圖5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布F分布的上側(cè)分位點(diǎn)F(n1,n2)的值可由F

分布表查得.

附表5、6、7(P258～P266)分

=0.1、

=0.05、

=0.01給出了F分布的上分位數(shù).當(dāng)時(shí)n1=2,n2=18時(shí)，有F0.01(2,18)=6.01

在附表5、6、7中所列的值都比較小，當(dāng)較大時(shí)，可用下面公式查表時(shí)應(yīng)先找到相應(yīng)的值的表.例如，≈0.166三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布定理5.4

為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；

設(shè)為正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量證明由已知條件知且相互獨(dú)立，由F分布的定義有三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布小結(jié)幾種常用分布的定義三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布正態(tài)總體樣本均值的分布

設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則樣本均值服從正態(tài)分布U—分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布——分布

定義設(shè)總體，是的一個(gè)樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的分布，記作自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，n個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之平方和服從自由度為n的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布t—分布定義5.4

設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Y～

2(n)

，且X與Y相互獨(dú)立，則稱統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n的t分布或?qū)W生氏分布，記作T

～t(n).t-分布的密度函數(shù)的圖形相似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布F分布服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，定義5.5

設(shè)隨機(jī)變量X～

2(n1)、Y～

2(n2)，且與相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量記作F～F(n1，n2).三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？解(1)因?yàn)閄i～N(0,1)，i=1,2,…,n.所以X1-X2～N(0,2)，故～t(2).三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？續(xù)解(2)因?yàn)閄1～N(0,1)，故～t(n-1).三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布

例1

設(shè)總體X～N(0,1)，X1，X2，…，Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？續(xù)解(3)因?yàn)樗浴獸(3，n-3).三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布例2

若T～t(n)，問(wèn)T2服從什么分布？解因?yàn)門～t(n)，可以認(rèn)為其中U～N(0,1)，V～2(n)，U2～2(1)，～F(1,n).三大抽樣分布及常用統(tǒng)計(jì)量的分布例3