小學數學-鴿巢問題教學設計學情分析教材分析課后反思

《鴿巢問題》教學設計平陰縣實驗小學張強教學內容：人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》六年級（下冊）第五單元數學廣角“鴿巢問題”第68、69頁的內容。教學目標：1.通過操作、觀察、比較、推理等活動,讓學生經歷“抽屜原理”的探究過程,初步了解“抽屜原理”。2.會用“抽屜原理”解決生活中的簡單問題,培養(yǎng)學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力,并能用精煉準確的語言表述自己的思考和推理過程。3.使學生經歷將具體問題“數學化”的過程,培養(yǎng)學生建構數學“模型”的思想。4.通過“抽屜原理”的靈活應用,讓學生感受到數學的魅力,并培養(yǎng)學生對數學的學習興趣。教學重點:抽屜原理的理解和運用。教學難點:理解“抽屜原理”,并對些簡單實際問題加以“模型化”。教學過程:一、創(chuàng)設情境，揭示課題師:撲克牌大家都玩過吧!除去大小王，還有幾種不同的花色?師:我們就用剩下的牌來做個游戲，在撲克牌中任意抽出5張(指一名學生上臺幫忙),我敢肯定的說，至少有2張同花色的。你們信嗎?那就請5位同學上來各抽一張，我們來驗證下。(預設:抽出3或3張以上同花色的牌提問“是至少有2張是同花色的嗎?")師:我們再來一次。我還敢這樣肯定地說，你們相信嗎?師:兩次我都猜對了，這可不是魔術，我只不過是運用了一個簡單的數學原理。在今天的“數學廣角”里(板書課題:數學廣角)，我們就一起來研究這個原理。[設計意圖：充分利用課本資源，從學生熟悉的撲克牌游戲入手，激發(fā)學生的探究興趣，由于抽牌的情況是不可預知的，所以預設了“3張同花色的,是至少有2張是同花色的嗎?”的提問。這樣的設計，也為下一環(huán)節(jié),學生理解“總有一個文具盒里至少放入2枝鉛筆”的含義做鋪墊。]二、經歷“抽屜原理”的探究過程,理解原理(一)呈現問題，引出探究課件呈現:把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。師:“總有”和“至少”這兩個詞是什么意思?預設：“總有”就是一定有，至少就是“最少，最起碼”。師:你覺得這句話說得對嗎?請你靜靜思考一下。（二）自主探究，初步感知1.學生探究。師:老師給大家提供了學具,你們可以利用這些學具來擺一擺，驗證你的想法。2.反饋交流，（1）枚舉法。預設：我們通過用學具擺一擺，發(fā)現一共有四種情況。這四種情況中，不管哪一種，都有一個筆筒里至少有2支鉛筆。師：我們來看這些擺法，憑什么說“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”？預設:第一種擺法有一個筆筒是4支，第二種擺法有一個筆筒是3支，第三種擺法有一個筆筒是2支，第四種擺法有兩個筆前都地2支，所以“總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆”師:比2支多也可以嗎?預設：至少放進2支筆就是最少是2支，比2支多也可以的，3支、4支都是符合更求的。再次引導學生觀察四種擺法，圈出符合要求的筆筒予以“檢驗”，理解“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”，對學生的方法給予肯定。師：剛才我們通過枚舉各種情況，發(fā)現每一種情況“總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”。（板書：枚舉法）（2）假設法。初步感受，極端思考。師：看看所有的方法中，鉛筆放的較多的筆筒里，最多放入了幾枝鉛筆？我們研究的是放的較多的筆筒里總有一個筆筒里“至少”放進幾枝鉛筆，怎樣才能使放的較多的筆筒里盡量少放鉛筆呢?獨立思考，同桌交流想法。預設:我們研究的是放的較多的文具盒里總有一個文具盒里“至少”放進幾枝鉛筆，要使這個放得較多的文具盒里盡量少放鉛筆。我們要將鉛筆盡可能平均分就算每一文具盒里放一枝鉛筆，也會多出一枝，一定有一個文具盒里還要多放人一枝鉛筆所以不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。預設問題：師:你為什么要先在每個筆筒中放1支呢?預設:因為總共只有4支，平均分，每個筆筒只能分到1支。師:你為什么要一開始就要去平均分呢?(板書:平均分)預設：平均分，就可以使每個筆筒的筆盡可能少一點，也就有可能找到和題意思不一樣的情況。師:剛才我們先是將所有的放法列舉出來進行觀察，然后從“盡量平均分”的方法入手開始思考，雖然方法不同，通過探究后發(fā)現，不管怎么放，總有一個文具盒里至少要放進2枝鉛筆。再遇到這類問題時，就不用將所有的放法列舉出來，可以從“盡量平均分”的方法開始思考。[設計意圖:關于“至少”的字面含義，學生理解并不困難而真正難以理解的是,這里的“至少幾枝”是針對所有放法中，放的較多的文具盒里至少放入了幾枝鉛筆。沒有枚舉做基礎的假設思考是不能得出“總有一個文具盒‘至少’放進2枝鉛筆”的結論的。因此必須是將所有放法列舉出來后，再進行觀察，才能說明將物體盡量平均分后，放的較多的文具盒里的鉛筆枝數是最少的，也就是“至少2枝鉛筆”。所以，讓學生通過擺一擺，列舉所有的放法，然后再觀察。充分體現了枚舉法與假設法之間的內在邏輯聯(lián)系。3.教師小結,介紹“抽屜原理”。師:鉛筆放進筆筒我們會解釋了，那么下面這兩句話你能得出什么結論呢?課件呈現:8只鴿子飛回7個鴿巢，10個蘋果放進9個抽屜里。師:像這樣的數學問題，我們就叫做“鴿巢問題”或“抽屜問題”，它們里面蘊含的數學原理，我們就叫做“鴿巢原理”或“抽屜原理”。(揭題)4.加深原理理解,優(yōu)化思考方式。(1)課件呈現:把6枚棋子放人下圖中四個小角形內。那么至少有幾枚棋子放人同一個小三角形內?獨立思考。(2)集中反饋，指名到黑板上操作。預設提問:如果把剩下的兩枚棋子放人同一個小三角形內，就至少有3枚棋子放人同一個小三角形內。將棋子盡量平均分后，剩下的兩枚棋子應該怎么放的?為什么要分別放進兩個小三角形內?(3)師:(小結)剛才我們運用抽屜原理解決放棋子的問題。我們可以把棋子看作物體，把小三角形看作抽屜，將物體盡量平均分后，剩下就不止1個物體，我們應該將利余的物體再盡量平均分。[設計意圖:借助直觀操作，加強學生的數學建模思考方法的訓練，用數學的語言和方法，通過抽象,簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的數學模型。]三、進一步認識和理解“抽屜原理”1.數量積累，發(fā)現方法。(1)課件出示例2：把7本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜至少放進多少本書？為什么？師:好好想想。和同桌說說你的想法。(2)指名回答師:能用算式表示出你的想法嗎?根據學生回答情況，板書7÷3＝2……1師:能解釋一下你的算式嗎?請一位學生結合算式再說說(3)師:如果一共有8本書，至少有幾本書要放進同一個抽屜里？指名回答。根據學生回答，適時板書:8÷3＝2……2師:10本呢?根據學生回答，適時板10÷3＝3……12.深人理解，尋找現律。師:在剛才的研究中，借用的是物體和抽屜。數學研究是無國界的，還有一些國家是用鴿子和鴿巢來研究物體和抽屜的關系的。我們一起來看看。出示第69頁做一做:11只鴿子飛進了4個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了3只鴿子。為什么？根據學生回答，適時板書：11÷4＝2……3師：像幾只枝筆、幾本書、幾只鴿子我們稱之為物體數，筆筒數、抽屜數、鴿籠數稱為抽屜數。通過剛才的學習，你發(fā)現怎么求總有一個抽屜的至少數呢?把你的發(fā)現在4人小組內交流交流。3.小結：如果物體數除以抽屜數有余數,用所得的商加1,就會發(fā)現“總有一個抽屜里至少有商加1個物體”。字母表示：a÷n＝b……c至少數b+1[設計意圖:逐步由具象到抽象，由形到數，由計算到發(fā)現規(guī)律。旨在讓學生在學習過程中，運用其中蘊含著多種數學思考方法，這也正是本節(jié)課的教學目標。基于這樣的教學目標定位，在發(fā)現規(guī)律的預設中，并不要求學生如準確的說出“商+1”。只需聯(lián)系所學，理解“盡量平均分后，如果有剩余的物體，一定有一個文具盒里還要多放入一個物體”。]四、應用“抽屜原理”，感受數學的魅力其實在我國古代文獻中，就有運用抽屜原理來分析問題的例子。我們一起來看看。1.看有關抽屜原理資料。讓學生感受古代數學文化。(如圖5)課件展示:我國宋代的學者費袞在《(梁溪漫志》一書中就運用抽屜原理來批駁“算命”。書中寫道：民間是以一個人出生的年、月、日、時辰作算命的根據，你的命將由你的出生時辰決定，這可真是荒謬絕倫!費袞認為，把人出生的時辰看作“抽屜”，把世上的所有的人看作物體，物體數遠遠大于抽屜數。根據抽屜原理，一定有人會進人同一個“抽屜”。如果“算命”是可信的，那么這些進人同一個抽屜的人應該具有完全相同的“命”，但事實并非如此，看來“算命”完全是無稽之談。在我國其他的古代文獻中也有很多利用“抽屜原理”來分析問題的例子。直到19世紀，德國數學家狄里克雷明確提出這一原理，因此“抽屜原理”又被稱之為“狄里克雷原理”。[設計意圖:通過讓學生了解“抽屜原理”發(fā)展的過程，來引導學生了解數學與人類社會發(fā)展之間的相互作用，開闊視野，體會數學的科學價值、應用價值和人文價值，從而有效地提高學生的科學素養(yǎng)和文化素養(yǎng)。]2.師;還記上課時做的游戲嗎?我們從撲克牌中取出兩張王牌，在剩下的52張中任意抽出5張，至少有2張是同花色的。你們現在能說明其中的道理嗎?[設計意圖:前后聯(lián)系，首尾呼應，學以致用。滿足學生學習的成就感，為學習教學提供了持續(xù)的動力。]3.師:我來做個調查，咱們班有多少名同學?那我們班至少有幾個人是同一個月過生日呢?五、全課小結今天我們初步認識了鴿巢原理，“鴿巢原理”的應用是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題，我們還會繼續(xù)學習!學情分析“抽屜原理”的變式很多,在生活中運用廣泛,學生在生活中常常遇到此類問題。教學時,要引導學生先判斷某個問題是否屬于“抽屜原理”可以解決的范疇。能不能將這個問題同“抽屜原理”結合起來,是本次教學能否成功的關鍵。所以,在教學中,應有意識地讓學生理解“抽屜原理”的“一般化模型”。六年級的學生理解能力、學習能力和生活經驗已達到能夠掌握本章內容的程度。教材選取的是學生熟悉的,易于理解的生活實例,將具體實際與數學原理結合起來,有助于提高學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。效果分析通過本節(jié)課的學習，學生對鴿巢問題有了初步的認識，主要表現在以下幾個方面：1.通過操作、觀察、比較、推理等活動，學生經歷了“抽屜原理”的探究過程,初步了解了“抽屜原理”。2.學生會用“抽屜原理”解決生活中的簡單問題，能夠有根據、有條理地進行思考和推理,并能用精煉準確的語言表述自己的思考和推理過程。3.學生經歷了將具體問題“數學化”的過程,樹立了建構數學“模型”的思想。4.通過“抽屜原理”的靈活應用，學生感受到了數學的魅力,激發(fā)了對數學的學習興趣。教材分析【教材中的地位和作用】“抽屜原理”是數學的重要原理之一，在數論、集合論和組合論中有很多應用。它也被廣泛地應用于現實生活中，如招生錄取、就業(yè)安排、資源分配、職稱評定等方面，我們經常會看到隱含在其中的“抽屜原理”。由此可見，所謂“抽屜原理”，實際上是一種解決某種特定結構的數學或生活問題的模型，體現了一種數學的思想方法。讓學生經歷將具體問題數學化的過程，初步形成模型思想，體會和理解數學與外部世界的緊密聯(lián)系，發(fā)展抽象能力、推理能力和應用能力，這是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的重要要求，也是本單元的編排意圖和價值取向。教材編排的“抽屜原理”涉及三種基本的形式：第一種，只要物體的數量比抽屜多，那么一定有一個抽屜放進了至少兩個物體。那么，這里的“一定有一個抽屜”是什么意思？“至少兩個物體”是什么意思？“一定有一個抽屜”是存在性；“至少兩個物體”是可以多于兩個物體，可以是兩個，也可以是三個、四個甚至更多。第二種，即是“把多于kn（k是正整數）個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）元素”。若k為1，就是第一種情況，可見第一種情形實際是第二種情形的特例。第三種情況是把無限多個物體（如紅球、藍球各4個）放進有限多個抽屜（兩種顏色），那么一定有一個抽屜放進了無限多個物體（至少2個同色的球）?！窘滩膬热莘治觥坷?：本例描述“抽屜原理”的最簡單的情況。著重探討為什么這樣的結論是成立的。教材呈現了兩種思考方法：第一種方法是用操作的方法，羅列所有的方法，通過完全歸納的方法看到在這四種情況都是滿足結論的；還可以是說理的方式，先放3支，在每個筆筒里放1支，這時剩下1支。剩下的1支不管放入哪一個筆筒中，這時都會有一個筆筒里有2支鉛筆。這種方法比第一種方法更為抽象，更具有一般性。通過本例的教學，使學生感知這類問題的基本結構，掌握兩種思考的方法──枚舉和假設，理解問題中關鍵詞語“總有”和“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認識。例2：本例描述“抽屜原理”更為一般的形式，即“把多于（是正整數）個物體任意分放進個空抽屜里，那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體”。教材首先探究把7本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜里至少放進3本書的情形。當數據變得越來越大時，如果還用完全歸納的方法把所有的情形羅列出來的話，對于學生來說是有困難的。這時需要學生用到“反證法”這樣一種思想，即如果所有的抽屜最多放2本，那么3個抽屜里最多放6本書，可是題目中是7本書，還剩1本書，怎么辦？這就使學生明白只要放到任意一個抽屜里即可，總有一個抽屜里至少放進3本書。通過這樣的方式，實際上學生是在經歷“反證法”的這樣一個過程。在具體編排這道例題的時候，在數據上進行了一個很細微的調整。在過去，由于數據的問題，學生會得到不太正確的推論，比如說如果是兩個抽屜的話，最后得到的余數總是1，那么學生很容易得到一個錯誤的結論：總有一個抽屜里放進“商+余數”本書（因為余數正好是1）。而實際上，這里的結論應該是“商+1”本書，所以教材在這里呈現了8除以3余2的情況，這時候余數是2，可是最后的結論還是“把8本書放進3個抽屜里，總有一個抽屜至少放進了3本書”。通過這樣的數據方面的調整，可以讓學生得到一個更加正確的推論。在教學中要注意的問題：第一，要讓學生經歷數學證明的過程，在這里不是讓學生計算抽屜原理，去應用，而更多的是給出一個結論，讓學生去證明這種結論的正確性，這就是一種數學證明的思想；第二，要有意識地培養(yǎng)學生的模型思想。因為“抽屜原理”在生活中的變式是多樣的，在解決具體問題的過程中，教師要引導學生明確什么是抽屜原理中的“物體”，什么是“抽屜”，讓學生把這些具體問題模型化成一個“抽屜問題”。第三，重視實踐活動，幫助學生在自主探究中理解原理，將具體的情況推廣到一般。在例1中給出具體的問題（4支鉛筆放到3個筆筒里），讓學生在探究的過程中，逐漸找到一般的規(guī)律。第四，恰當保持教學要求，因為數學廣角內容只是讓學生經歷這樣的數學思想的感悟，在評價上不做特別高的要求。本單元的教學重難點是初步了解“抽屜原理（鴿巢原理）”，培養(yǎng)學生的“模型思想”。評測練習1.1001只鴿子飛進50個鴿舍,無論怎么飛,我們一定能找到一個鴿子最多的鴿舍,它里面至少有()只鴿子。2.從8個抽屜中拿出17個蘋果,無論怎么拿,我們一定能找到一個拿出蘋果最多的抽屜,從它里面至少拿出了()個蘋果。3.從()(填最大數)個抽屜中拿出25個蘋果,才能保證一定能找到一個抽屜,從它當中至少拿了7個蘋果。4.你能證明在任意的37人中,至少有4人的屬相相同嗎?說明理由?！而澇矄栴}》教學反思“鴿巢問題”是小學階段最后一個“數學廣角”單元的教學內容。本節(jié)課的設計意圖是把重要的數學思想方法通過學生日常生活中最簡單的事例呈現出來，激發(fā)學生探索數學問題的興趣和解決問題的意識，發(fā)展思維能力，讓學生在活動中感悟數學思想方法，促進學生數學素養(yǎng)的提升。一、創(chuàng)設情境，揭示課題充分利用課本資源，從學生熟悉的撲克牌游戲入手，激發(fā)學生的探究興趣，由于抽牌的情況是不可預知的，所以預設了“3張同花色的,是至少有2張是同花色的嗎?”的提問。這樣的設計，也為下一環(huán)節(jié),學生理解“總有一個文具盒里至少放入2枝鉛筆”的含義做鋪墊。二、經歷“抽屜原理”的探究過程,理解原理關于“至少”的字面含義，學生理解并不困難而真正難以理解的是,這里的“至少幾枝”是針對所有放法中，放的較多的文具盒里至少放入了幾枝鉛筆。沒有枚舉做基礎的假設思考是不能得出“總有一個文具盒‘至少’放進2枝鉛筆”的結論的。因此必須是將所有放法列舉出來后，再進行觀察，才能說明將物體盡量平均分后，放的較多的文具盒里的鉛筆枝數是最少的，也就是“至少2枝鉛筆”。所以，讓學生通過擺一擺，列舉所有的放法，然后再觀察。充分體現了枚舉法與假設法之間的內在邏輯聯(lián)系。借助直觀操作，加強學生的數學建模思考方法的訓練，用數學的語言和方法，通過抽象,簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的數學模型。三、進一步認識和理解“抽屜原理”逐步由具象到抽象，由形到數，由計算到發(fā)現規(guī)律。旨在讓學生在學習過程中，運用其中蘊含著多種數學思考方法，這也正是本節(jié)課的教學目標?；谶@樣的教學目標定位，在發(fā)現規(guī)律的預設中，并不要求學生如準確的說出“商+1”。只需聯(lián)系所學，理解“盡量平均分后，如果有剩余的物體，一定有一個文具盒里還要多放入一個物體”。四、應用“抽屜原理”，感受數學的魅力通過讓學生了解“抽屜原理”發(fā)展的過程，來引導學生了解數學與人類社會發(fā)展之間的相互作用，開闊視野，體會數學的科學價值、應用價值和人文價值，從而有效地提高學生的科學素養(yǎng)和文化素養(yǎng)。本課教學還存在不足之處:在教學中要再大膽放手一些；練習的設計稍顯不夠；提問應再多關注全體學生；對于一些學生的精彩回答，還是表揚激勵的不夠。課標分析【課標要求】《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的“第二學段”中提出：“會獨立思考，體會一些數學的基本思想”“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”“經歷與他人合作交流解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程”?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》在“課程內容”的“第二學段”中提出：“探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢”“結合實際情境，體驗發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的過程”“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數學活動經驗”?！菊n標解讀】（一）讓學生初步經歷“數學證明”的過程在數學上，一般是用反證法對“抽屜原理”進行嚴格證明。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及“抽屜原理”的相關現象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可引導學生用直觀的方式對某一具體現象進行“就事論事”式的解釋。教學的過程就是教師鼓勵學生借助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”。實際上，通過“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數學證明的雛形。通過這樣的方式，有助于逐步提高學生的邏輯思維能力，為以后學習較為嚴密的數學證明做準備。（二）要有意識地培養(yǎng)學生的“模型思想”本單元講的“鴿巢問題”，實際就是一個“抽屜原理”問題?！俺閷蠁栴}”的變式很多，應用更具靈活性。當我們面對一個具體的問題時，能否將這個具體問題與“抽屜問題”聯(lián)系起來，能否找到該問題中的具體情境和“抽屜問題”的一般化模型之間的內在關系，能否找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，是能否