2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,y)，若a//b，則A.(?1,?2) B.(?1,6) C.(?1,3) D.(?1,1)3.若函數(shù)f(x)=x2+1,x≤0logA.1 B.2 C.3 D.44.已知集合A={x|y=x+3},B={x|x?3x?1A.(?3,+∞) B.[?3,+∞) C.(?3,3) D.[?3,3)5.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(?1,3)，則tanA.32 B.?34 C.?6.如圖所示，△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的等邊△A'B'C'，則在原圖中，BC邊上的高為(

)A.26 B.6 C.27.若sinα=2sinβ,sin(α+β)?A.2 B.32 C.1 D.8.在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設(shè)AE=A.67a+37b B.3二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且(x+1)i?y=?1+2i，復(fù)數(shù)z=(1?i)x+y，則以下結(jié)論正確的是(

)A.z的虛部為?2i B.z的模為2

C.z的共軛復(fù)數(shù)為2i D.z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，下列說法中正確的是(

)A.“△ABC為銳角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要條件

B.若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形

C.命題“若A>B，則sinA>sinB”是真命題

D.11.下列說法正確的是(

)A.若a?b=a?c，且a≠0，則b≠c

B.若z1，z2為復(fù)數(shù)，則|z1?z2|=|z112.向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.若向量a，b滿足|a|=|b|=2，|A.a?b=?2 B.a與b的夾角為π3

C.|a?b第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知命題p：?x0∈R,x02+2x0+a≤0，命題q：?x>0,x+114.1?tan?15.若圓x2+y2?2ax?2by=0(a>0,b>0)被直線x+y=1平分，則116.如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，P為AD上一點(diǎn)，且滿足CP=mCA+49CB，若△ABC的面積為四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題12分)

設(shè)向量a、b滿足|a|=|b|=1，且|3a?2b|=7．

(1)求a與b夾角的大?。?/p>

(2)求a18.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)bsinC=3sinC+3cosC，A=π3．

(Ⅰ)求c；

(Ⅱ)若BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于P，AM=3，以P為圓心，r(0<r≤1)為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)T19.(本小題10分)已知a∈R，復(fù)數(shù)(1)若z為純虛數(shù)，求a的值；(2)在復(fù)平面內(nèi)，若z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求a的取值范圍．20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=3sin2x+1?2cos2x.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若f(A)=321.(本小題12分)

已知向量a=(3,k)，b=(0,?1)，c=(1,3)．

(Ⅰ)若a⊥c，求k的值；

(Ⅱ)當(dāng)k=1時(shí)，a?λb與c共線，求λ的值；

(Ⅲ)22.(本小題12分)

已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?e1+λe2，EC=?2e1+e2，且A，E，C三點(diǎn)共線．

(1)求實(shí)數(shù)λ的值；

(2)若e1=(3,1)，e2答案和解析1.【答案】D

【解析】∵11?i=1+i(1?i)(1+i)=12+12i，

∴復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)為12?12【解析】a=(1,2)，b=(?2,y)，a//b，

則y=?2×2=?4，

a=(1,2)，b=(?2,?4)，

故a+b=(?1,?2)．【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，則f(?2)=4+1=5，

則f(f(?2))=log28=3【解析】A={x|x≥?3}，B={x|1<x<3}，

故A∪B=[?3,+∞)．

故選：B．

5.【答案】D

【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(?1,3)，

所以tanα=3?1=?3，

則tan

6.【答案】A

【解析】在直觀圖中，

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的等邊△A'B'C'，所以B'C'上的高?=3，

∴O'A'=?sin45°=6，

∴在原圖中，BC上的高AO=26【解析】因?yàn)閏os所以sinα所以sin(α+β)又sin(α+β)?所以sin(α+β)?sin(α?β)所以12所以12(1?2sin又sinα=2所以4sin所以4sin所以sin所以12sinα又易知cosα所以sinαsinβ故選A．

8.【答案】B

【解析】如圖：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

所以AC=AB+AD，BC因?yàn)锽E=12所以BE=13所以AE=AF=因?yàn)锳E=a，所以AB+1所以AC=故選：B．

9.【答案】BC

【解析】(x+1)i?y=?1+2i，

則x+1=2，?y=?1，解得x=1，y=1，

故z=(1?i)2=?2i，

z的虛部為?2，z的模為2，故A錯(cuò)誤，B正確；

z?=2i，故C正確；z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(0,?2)位于虛軸負(fù)半軸上，故D錯(cuò)誤．10.【答案】AC

【解析】若△ABC為銳角三角形，則A∈(0,π2)，B∈(0,π2)，且A+B>π2，即A>π2?B，又A∈(0,π2)，π2?B∈(0,π2)，則sinA>sin(π2?B)=cosB；反之，若B為鈍角，滿足sinA>cosB，不能推出△ABC為銳角三角形，故A正確；

由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π

11.【答案】BC

【解析】若a?b=a?c，且a≠0，則a?(b?c)=0，即a⊥(b?c)或b=c，故A錯(cuò)誤；

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，

|z1|=a2+b2，|z2|=c2+d2，

則|z1z2|=|ac?bd+(ad+bc)i|=【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=23，

所以12=|a+b|2=a2+2a?b+b2=4+2a?b+4，

解得a?b=2，A錯(cuò)誤；

設(shè)a，b的夾角為α，則cosα=a?【解析】命題p：由題意可得Δ=4?4a≥0，解得a≤1；

命題q：由題意只需a<(x+1x)min，又當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1是取等號(hào)，所以a<2，

因?yàn)閜假q真，則a>1a<2，所以1<a<2，

即實(shí)數(shù)a的范圍為(1,2)．

【解析】原式=tan

15.【答案】3+2【解析】由x2+y2?2ax?2by=0?(x?a)2+(y?b)2=a2+b2，

所以該圓的圓心坐標(biāo)為(a,b)，

因?yàn)閳Ax2+y2?2ax?2by=0被直線x+y=1平分，

所以圓心(a,b)在直線x+y=1上，

因此有a+b=1，1a+2【解析】設(shè)AP=λAD，則CP=CA+λAD=CA+λ(CD?CA)=(1?λ)CA+23λCB．

又CP=mCA+49CB，則1?λ=m49=23λ，解得m=13，

所以CP=13CA+49CB，令|CA|=x，|CB|=y，

則S△ABC=12|CA|×|CB|×sin∠ACB=34xy=3，

所以xy=4，且x>0，y>0．

所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+1681y2+1627≥219x2×1681y2+1627=18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC=3sinC+3cosC，A=π3得csinB=3sinC+3cosC，

∴csin(C+A)=23(12sinC+32cosC)，

∴csin(C+π3)=23sin(C+π3)，

∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0，

∴c=23．

(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(19.【答案】(1)z=a?i1+i=(a?i)(1?i)(1+i)(1?i)=a?12?a+12i，

因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以a?12=0，且?a+12≠0，則a=1．

(2)由(1)知，20.【答案】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3sin2x+1?2cos2x=3sin2x?cos2x=2sin(2x?π6)，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π．

令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ(k∈Z)，得?π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z．

(2)因?yàn)閒(A)=3，所以2sin(2A?π6)=3，即sin(2A?π6)=32，

又A∈(0,π2)，所以2A?π21.【答案