第01章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 1描述

物體大小和形狀的變化對(duì)其運(yùn)動(dòng)的理想模型．的影響可忽略時(shí)— 參考系 質(zhì)點(diǎn)1

參考系為描述物體運(yùn)動(dòng)而選的標(biāo)準(zhǔn)物．2

質(zhì)點(diǎn)物體能否抽象為質(zhì)點(diǎn)，視具體情況而定．地—日平均間距：1.5

×108

km地球半徑：6.37

×

103

km太陽(yáng)1地球二 位置矢量 運(yùn)動(dòng)方程 位移

r

=

xi

+

yj

+

zk1

位置矢量r*

Pyxzzyrabogx方向：rrcos

g

=

zrcosa

=

x，

cos

b

=

y

，r

=

x2

+

y2

+

z2大小：2

+

y(t)

j

+z(t)kr(t)

=

x(t)ix

=

x(t)y

=

y(t)z

=

z(t)分量式從上式中消去參數(shù)t

得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程．or(t)x(t)xyy(t)z(t)z2

運(yùn)動(dòng)方程P3B

ADr

=

r

-

r3位移Dr=(xB

-xA)i

+(yB

-

yA)

j平面運(yùn)動(dòng):三維運(yùn)動(dòng):Dr

=

(xB

-

xA

)i

+

(

yB

-

yA

)

j

+

(zB

-

zA

)kr

=

x i

+

y

j，A

A

ArB

=

xBi

+

yB

j，yrBArADroxB

-xAyB

-yABA4xBxx4

路程(Ds)P1

(x1

,

y1

,

z1

)P2

(x2

,

y2

,

z2

)1r(t

)P1r

(t2

)2PxyOz從P1到P2：1

2路程Ds

=PPDsDs'(3)位移是矢量，路程是標(biāo)量．位移與路程的區(qū)別(1)兩點(diǎn)間位移是唯一的．rD．?

Ds(2)一般情況Δr51r1Pr2P2DrxyOz

D

r21211+z+y222

2

2

22x

+y

+z

-

xΔ

r

=Dr

=

Dx

+

D

+

Dzki

yjDr

=

Dx2

+

Dy2

+

Dz2的意義不同．注意Dr，

Dr

，Dr6三 速度1

平均速度Drr(t

+Dt)Br(t)AxyDso

在Dt

時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)位移為Dr

=

r(t

+Dt)

-

r(t)=

Dxi

+

Dyj

Dr

7Dx

Dy

v

=

=

i

+

j

=

vxi

+

v

y

jDt

Dt

Dt2

瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱(chēng)速度）

Dr

drDt

fi

0v

=

lim

=Dt

dt

d

x

d

y

v

=

i

+

jd

t

d

t=

v

x

i

+

v

y

j若質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，其速度v

=

v

+

v

+

v

kx

i

y

j

zxyovy8vvxtdtv

=

ds

e速度方向

切線(xiàn)向前v

=

d

s速度大小當(dāng)Dt

fi

0

時(shí),

d

r

=

d

sd

t速度

v

的值

速率9一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬端點(diǎn)處，其速度大小為時(shí)位于位矢r(x,y)的dr（A）

dtd

td

r22dtdydtdx+

(

)（C）（D）

(

)討論注意r(t)xdr（B）

dt

od

t

d

td

r

d

r?yy10x例1

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

其中r(t)

=

x(t)i

+

y(t)

j,x(t)

=

1.0t

+

2.0，y(t)

=

0.25t

2

+

2.0，式中x，y的單位為m(米)，t

的單位為s(秒)，求t

=3

s

時(shí)的速度．作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖．11速度軸之間的夾角-1的值v

=1.8m

s

，它與vx1.0q

=

arctan

1.5

=

56.3ox12dt

dtvy

=

dy

=

0.5tv

=

dx

=

1.0，t

=

3s

時(shí)速度為

v

=

1.0i

+1.5

j已知：x(t)

=

1.0t

+

2.0，y(t)

=

0.25t

2

+

2.0，解(1)由題意可得（2）運(yùn)動(dòng)方程y

/

m軌跡圖613t

=

0t

=

2

sx

/

m-

6 -

4 -

2

0

2

4

6t

=

-2

s

42t

=

-4

st

=

4

s消去參數(shù)t

可得軌跡方程為y

=

0.25

x

2

-

x

+

3.0x(t)

=

1.0t

+

2.0，y(t)

=

0.25t

2

+

2.0，xyoABlav行,14例2

如圖A、B兩物體由一長(zhǎng)為

l

的剛性細(xì)桿相連，A、B兩物體可在光滑軌道上滑行．如物體A以恒定的速率v

向左滑當(dāng)a

=60

時(shí),物體B的速率為多少？解A

dx

=

vxi

=

dt

i

=

-viB

dy

=

vy

j

=

dt

jvv兩邊求導(dǎo)得2x

dx

+

2

y

dy

=

0dt

dtxyoABlav因

x2

+

y2

=

l

215選如圖的坐標(biāo)軸dt y

dt即dy

=-x

dxjBy

dt=

-

x

dx

vBv=

vtana

j\dt

dx

=

-vxyoABlavv

沿y軸正向16當(dāng)a

=60o時(shí)，v=

1.73v，

BBBvBD

va

與Dv

同方向xyOa

=D

tD

vAvAAvB17v點(diǎn)速度增量為四 加速度1

平均加速度在Dt

時(shí)間內(nèi)，質(zhì)ABDv

=

v

-

va

=

lim=Dtfi

0

DtDv

dvkdtdt

dtdvzj

+i

+a

=

dvx2

(瞬時(shí))加速度

a

=

a

i

+

a j

+

a

kx

y

z218dt

d

t

dvy

d2

r=a

2

+

a

2

+

a

2x

y

z加速度大小

a

=

a

=加速度方向曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)指向凹側(cè)直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)a

//

v2v119v1a2a

注意：物理量r，Dr

，v，a的共同特征是都具有矢量性和相對(duì)性．例3

有一個(gè)球體在某液體中豎直下落,0vy20o其初速度

v

=

10

j

，它在

0液體中的加速度為a

=-1.0vj，問(wèn)：(1)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后可以認(rèn)為小球已停止運(yùn)動(dòng)；(2)此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長(zhǎng)？=

-\t0dtvv0vdv-tdy

v

= =

v0

edty000te-t

dt\dy

=

vdt解

a

=dv

=-1.0v0vy21o-t0v

=

v

e解得：解得：y

=1（0

1

-e-t）Oy/mt/s10v/m

s-1v0Ot/s-1.0tv

=

v0

e

，22y

=

10（1-

e-1.0t）vv0/10v0/100v0

/1

000v0

/10

000t

/

s2.34.66.99.2y

/

m8.997

49.899

59.989

99.999

0t

=

9.2

s,

v

?

0,

y

?10

m如圖一拋體在地球表面附近，從原點(diǎn)例4v0，xy1

gt

2r0v

ta232POO以初速v0

沿與水平面上Ox軸的正向成a角拋出．如略去拋體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣的阻力作用求拋體運(yùn)動(dòng)的軌

跡方程和最大射程．y=

g

=

-g

j解

a

=

a=

0xa021gt

2r

=

v

t

+按已知條件，t=0時(shí)，有ax

=

0ay

=

-gv0x

=

v0

cosa=

v0

sinav0

yv0yr0v

ta241

gt

22PxO21x

=

v0

cosa

t，

y

=

v0

sin

a

t

-

2

gtvxv

yvxvyv0dxvyo0v0

x0

yvαv解得：025x2g2v2

cos2

a軌跡方程為：y

=x

tanα

-0

=0

cos

2a

=

0da

gdd

2v20g2v

2d

=

0

sin

a

cos