矢量運算法則

關(guān)于矢量運算法則第1頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三一、矢量和標量的定義1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等第2頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例1：在直角坐標系中，

x方向的大小為6的矢量如何表示？圖示法：力的圖示法：第3頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三二、矢量的運算法則1.加法:

矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。a.滿足交換律：b.滿足結(jié)合律：第4頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三三個方向的單位矢量用表示。根據(jù)矢量加法運算：所以：在直角坐標系下的矢量表示:其中：第5頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三矢量：模的計算：單位矢量：方向角與方向余弦：在直角坐標系中三個矢量加法運算：

第6頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.減法：換成加法運算逆矢量：

和的模相等，方向相反，互為逆矢量。在直角坐標系中兩矢量的減法運算：推論：任意多個矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。第7頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三3.乘法：（1）標量與矢量的乘積：方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a.標量積（點積）：兩矢量的點積含義：

一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標量。第8頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即有兩矢量點積：結(jié)論:兩矢量點積等于對應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。第9頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結(jié)合律：推論4：當(dāng)兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。第10頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三在直角坐標系中，兩矢量的叉積運算如下：兩矢量的叉積又可表示為：xyzo第11頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三（3）三重積：三個矢量相乘有以下幾種形式：矢量，標量與矢量相乘。標量，標量三重積。矢量，矢量三重積。a.標量三重積法則：在矢量運算中,先算叉積,后算點積。定義：含義：

標量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積。第12頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三注意：先后輪換次序。推論：三個非零矢量共面的條件。在直角坐標系中：b.矢量三重積：第13頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例2：求：中的標量a、b、c。解：則：設(shè)第14頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三例3：

已知求：確定垂直于、所在平面的單位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。第15頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三已知A點和B點對于原點的位置矢量為和，求：通過A點和B點的直線方程。例4：

其中：k

為任意實數(shù)。xyzCAB解：在通過A點和B點的直線方程上，任取一點C，對于原點的位置矢量為，則第16頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三三、矢量微分元：線元、面元、體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第17頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三2.圓柱坐標系在圓柱坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第18頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三3.球坐標系在球坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：第19頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三a.在直角坐標系中，x,y,z

均為長度量，其拉梅系數(shù)均為1，即：b.在柱坐標系中，坐標變量為,其中為角度，其對應(yīng)的線元，可見拉梅系數(shù)為：在球坐標系中，坐標變量為，其中均為角度，其拉梅系數(shù)為：注意：第20頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三

在正交曲線坐標系中，其坐標變量不一定都是長度，其線元必然有一個修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù)，就可正確寫出其線元、面元和體元。體元：線元：面元：正交曲線坐標系：第21頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三四、標量場的梯度1.標量場的等值面可以看出：標量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面第22頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三b.梯度定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向?qū)?shù)，其方向為該點所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達式：2.標量場的梯度a.方向?qū)?shù)：空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。為最大的方向?qū)?shù)。標量場的場函數(shù)為第23頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三計算：在直角坐標系中：所以：梯度也可表示：第24頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三在柱坐標系中：在球坐標系中：在任意正交曲線坐標系中：在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在直角坐標系中：第25頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三五、矢量場的散度1.矢線（場線）：

在矢量場中，若一條曲線上每一點的切線方向與場矢量在該點的方向重合，則該曲線稱為矢線。2.通量：定義：如果在該矢量場中取一曲面S，通過該曲面的矢線量稱為通量。表達式：若曲面為閉合曲面：+-第26頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三討論：a.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b.

如果閉合曲面上的總通量

說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負源或稱溝。c.

如果閉合曲面上的總通量說明穿入的通量等于穿出的通量。第27頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三3.散度：a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。b.表達式：c.散度的計算：

在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場表示為：第28頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三在x方向上：計算穿過和面的通量為因為：則：在x

方向上的總通量：第29頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三在z

方向上,穿過和面的總通量：整個封閉曲面的總通量：同理：在y方向上,穿過和面的總通量：第30頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。第31頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三柱坐標系中：球坐標系中：正交曲線坐標系中：直角坐標系中：常用坐標系中，散度的計算公式第32頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三六、矢量場的旋度1.環(huán)量：

在矢量場中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量?？梢姡涵h(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān)。2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點最大環(huán)量密度，方向為該環(huán)的法線方向，那么該矢量稱為該點矢量場的旋度。表達式：第33頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三旋度計算：以直角坐標系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環(huán)量密度。旋度可用符號表示：第34頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三其中：可得：同理：所以：旋度公式：第35頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標系中旋度的計算公式：

對于柱坐標、球坐標，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計算公式。第36頁，講稿共40頁，2023年5月2日，星期三3.斯托克斯定理：物理含義：

一個矢量場旋度的面積分等于該矢量沿此曲面周界的曲線積分