九年級數(shù)學(xué)人教版下冊學(xué)案第23講相似與圓

第23講相似與圓

知識導(dǎo)航

1.垂徑定理及其推論.

2.圓周角定理及其推論.

3.切線的判定及其性質(zhì).

4.切線長定理.

5.三角形相似的判定及其性質(zhì).

【板塊一】求線段比值

方法技巧

1.構(gòu)造A型或X型相似求比值.

2.用等線段代換求比值.

3.利用兩比值相乘求比值.

題型一直接計(jì)算法求比值

【例1】如圖，已知8CLAC,圓心。在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與。。的交點(diǎn)，點(diǎn)

。是MB與。。的交點(diǎn)，點(diǎn)尸是延長線與BC的交點(diǎn)，且絲=4絲.

APA0

(1)求證：是。。的切線：

(2)若AC=12,AM=MC,求”的值.

MD

題型二構(gòu)造A型或X型相似求比值.

【例2】如圖，AABC內(nèi)接于。O,AB=AC,C。的延長線交A8于點(diǎn)D

(1)求證：AO1BC；

⑵若BC=6,AB=3yfw,求一的值.

BD

題型三先等量代換后用三角形相似求比值

【例3】如圖，A8為。。的直徑，半徑C為A8上一點(diǎn)，CD交AB于點(diǎn)F.若F

為A。的中點(diǎn)，求生的值.

題型四運(yùn)用乘積求比值(0--=-)

bcc

【例4】如圖，A8是。0的直徑，點(diǎn)C,E在。。上，過點(diǎn)C作A8的垂線分別交A8,AE

于點(diǎn)”，。.若09=9,AE=4BE,求C”的值.

AC2HD

針對練習(xí)1

1.如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,。。是Rt/XABC的外接圓，過點(diǎn)C作。O的切線

交54的延長線于點(diǎn)E,BD上CE于點(diǎn)D,連接。。交8C于點(diǎn)M.

(1)求證：BC平分/O8A；

(2)若且=2,求也的值.

AO3MO

2.如圖，Z\ABC內(nèi)接于eO.AHLBC于點(diǎn)H,連接OC,過點(diǎn)A作eO的切線，交CB的

延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：NBAH=NACO；

(2)若AC=24,AH=18,OC=13,求把的值.

AE

3.如圖，以RSABC斜邊AB上一點(diǎn)O為圓心，0B為半徑的圓切AC于點(diǎn)D,與AB交

于另一點(diǎn)E,BC交e°于點(diǎn)F,連接OD,BD.

(1)求證：ZAOD=2ZCBD；

3

4.如圖，在aABC中，AB=AC=《BC,以AB為直徑作eO,交BC于點(diǎn)D,交CA的延

長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DHJ_AC于點(diǎn)H,連接DE交線段OA于點(diǎn)F.

(1)求證：DH為eo的切線；

(2)若A為EH的中點(diǎn)，求變的值.

BD

【板塊二】求線段長

方法技巧

1.用方程思想求線段長.

2.用全等(或相似)找線段之間的關(guān)系.

3.用特殊邊角關(guān)系找線段之間的關(guān)系.

題型一用全等找線段關(guān)系，列方程求解

【例1】如圖，ZABD=90°,AB是eo的直徑，eO交AD于點(diǎn)C.CE〃AB交eO于點(diǎn)E,

AE=2AC.AB=7L求CD的長.

0

DC

題型二用相似找線段關(guān)系，列方程求解

【例2】如圖，在RtAABC中，NACB=90。，點(diǎn)0是AC上一點(diǎn)，以0C為半徑作eO與

AB相切于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,0B交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：0BDE='CE2；

2

(2)若受=4，AB=10,求e。半徑.

OB5

題型三利用特殊邊角關(guān)系找聯(lián)系

【例3】如圖，點(diǎn)0,E分別為AABC的外心和內(nèi)心，AB=AC,AE的延長線交于e0點(diǎn)D,

交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：BD=DE：

(2)若ZBAC=30。，BD=V6-V2,求0E的長.

D

針對練習(xí)2

1.如圖，AB是eo的直徑，點(diǎn)C在eo上，CD是eO的切線，AD±CD,垂足為D,E是

AB延長線上點(diǎn).CE交eO于點(diǎn)F,連接OC,AC.

(1)求證：AC平分/DAO；

(2)連接BF,若NDAO=105。，ZE=30°,AC=4+2及，求BF的長.

2.如圖，Z\ABC內(nèi)接于eO,AB是eO的直徑，I是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交BC于

點(diǎn)D,交eO于點(diǎn)E,連接BE,BLBE=EI,BI平分NABC,若OUAE于點(diǎn)I,BA=石，

求CD的長.

E

3.如圖，A,B,C三點(diǎn)在eO上，直徑BD平分NABC,過點(diǎn)D作DE//AB交弦BC于點(diǎn)E,

在BC的延長線上取一點(diǎn)F,使得EF=DE.

(1)求證：DF是e0的切線；

(2)連接AF交DE于點(diǎn)M,若AD=4,DE=5,求DM的長.

【板塊三】求線段之積

方法技巧

1.直接法：分別求出兩條線段長.

2.整體法：利用三角形相似求兩條線段之積.

題型一利用母子相似求同一直線上兩條線段之積

【例1】如圖，在AABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，ZPAC=ZPBA,eO是AABC的外接圓，

AD是e。的直徑.

(1)求證：PA是eO的切線；

(2)過點(diǎn)C作CFLAD,垂足為點(diǎn)F,延長CF交AB于點(diǎn)G,ZP=45°,CP=—AP,若

3

AGAB=15,求CP的長。

題型二利用射影定理求同一直線上兩條線段之積

【例2】在eO中，2傘c，ADLAB交BC延長線于點(diǎn)D,連接AO,AB=8.

(1)求BC?BD的值；

(2)若0A=5,求CD的長.

題型三利用相似求不在同一條直線上兩條線段之積

［例3］如圖，AB,CD都是eO的直徑，DB的延長線與過點(diǎn)C的切線交于點(diǎn)P,CE1AB,

垂足為點(diǎn)E.AD=2,求CECP的值.

P

D

針對練習(xí)3

1.如圖.CD為eO的直徑，AD,AB,BC分別與eO相切于點(diǎn)D,E,C(AD<BC),連接DE

并延長與直線BC相交于點(diǎn)P,連接OB.

(1)求證：BC=BP；

(2)若DEOB=4<,求ADBC的值.

2.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AB=10,BC=6,點(diǎn)D在AB的延長線上，且BD=6,

過點(diǎn)D作DE±AD交AC的延長線于點(diǎn)E,以DE為直徑的eO交AE于點(diǎn)F.

(1)求eO的半徑；

(2)設(shè)CD交eo于點(diǎn)Q,求BQBE的值.

3.如圖，I為AABC的內(nèi)心，AB=AC,BI的延長線交AABC的外接圓于點(diǎn)D,/BDC的平

分線交AC于點(diǎn)E.若EC=1,AE=4.求BIID的值.

【板塊四】經(jīng)典圖形研究

方法技巧

1.切割圖（也叫弦切圖）中相似問題（切割線定理）

2.切割線加垂直的圖中，作高構(gòu)造矩形求解.

3.雙切圖中隱含射影定理的結(jié)論（知二求五）.

題型一切割圖

【例1】如圖,AB是。。的直徑,AC為弦，過點(diǎn)C的切線與AB的延長線交于點(diǎn)P,弦CE=AC,

連接EB并延長并CP于點(diǎn)H.

(1)求證：BHLCP；

(2)若AC=6,AB=3^5,求77/的長.

題型二切割圖+垂直

【例2】如圖，AB是。。的直徑，AC為弦，NB4c的平分線A。交。。于點(diǎn)。，DELAC,

交AC的延長線于點(diǎn)E,0E交40于點(diǎn)F.若如=3,求的值.

AB5DF

題型三雙切圖

【例3】如圖，以是。。的切線，4是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接尸8,PC,PC交

AB于點(diǎn)E,且%=尸8.

(1)求證：PB是。。的切線;

(2)若ZAPC=3/8PC,求一的值.

CE

題型四多切線圖

【例4】如圖，。。是AABC的內(nèi)切圓，D,E,F為切點(diǎn),AB=AC.

(1)求證：BD=DC；

(2)若空=2,。的半徑為］,求EF的長.

BE3

題型五切徑圖(切線+過切點(diǎn)的直徑)

［例5］如圖，AB是。0的直徑，A7是0的直徑，BT交0于點(diǎn)C,0是0上一點(diǎn),

ZATB=2ZCD0,A8=40,AT=30,求CO的長.

TA7A

針對練習(xí)4

1.如圖，已知AB,CD是。。的直徑，過點(diǎn)C作。。的切線交AB的延長線于點(diǎn)P,。。

的弦。E交AB于點(diǎn)凡且

(1)求證：CO2=OFOP-.

(2)連接EB交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GHLAB于點(diǎn)H,若PC=4收,尸8=4,求G