導數的應用之不含參數的函數單調性

導數的應用之不含參數的函數單調性【知識導圖】【例題精講】一、一次型導數1、標準一次型例1：求下列函數的單調區(qū)間.（1）；（2）.【分析】求出，分別令，，即可解出的單調遞增、遞減區(qū)間.【詳解】（1）,令，所以在上單調遞增，在單調遞減.（2）的定義域為，，所以在區(qū)間和，遞減；在區(qū)間，遞增.所以的減區(qū)間為：和，增區(qū)間為.變式訓練：1．已知函數，求函數的單調區(qū)間；【詳解】（1），時，，的單調增區(qū)間為，時，，的單調減區(qū)間為，所以函數單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為.2、指數一次型例2：已知函數，求函數的單調區(qū)間.【詳解】，令，所以在上單調遞增，在單調遞減.3、對數一次型例3：求下列函數的單調區(qū)間.（1）.（2）【詳解】（1）的定義域為，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由得，令，即，得，從而，令，即，得，此時為增函數，又，得增區(qū)間為，令，即，得，此時為減函數，減區(qū)間為.二、二次型導數1、標準二次型例1、設函數，求函數的單調區(qū)間；【詳解】，令，則或，列表如下：－31＋0－0＋單調遞增單調遞減單調遞增∴的增區(qū)間為；減區(qū)間為；變式訓練：1．設函數，求函數的單調區(qū)間.【分析】求得，根據和的解集，得到函數的單調區(qū)間?！驹斀狻坑珊瘮?，可得，令，即，解得或；令，即，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，2．已知函數．求的單調區(qū)間；【詳解】的定義域為，，令，解得或，令，解得，所以的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為；3.已知，函數時，求函數的單調區(qū)間；【詳解】當時，，則令，得；令，得；所以，函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為．2、高次函數型例2.已知函數，求函數的單調區(qū)間及最小值.【分析】根據導函數即可求解單調區(qū)間.【詳解】由題意，函數的定義域為.令，得或，或，當時，或；當時，或，所以函數的單調遞增區(qū)間為,，單調遞減區(qū)間為，3、指、對數二次型例3.已知函數，曲線在點處切線方程為.(1)求實數的值；(2)求的單調區(qū)間.【詳解】（1），曲線在點處的切線方程為，，解得.（2）由（1）可知：，.由解得，或，此時函數在單調遞增；由解得，此時函數在單調遞減.例4.已知函數．求函數的單調區(qū)間；【詳解】定義域，，令，即，解得當，時，，當，時，，所以的單調增區(qū)間，，單調減區(qū)間，．例5.已知函數．當時，討論的單調性；【詳解】由題意可得，當時，令，則即由，得，由，得或，則在上單調遞減，在，上單調遞增．在上單調遞減，在，上單調遞增．變式訓練：1．已知函數，當時，求函數的單調遞增區(qū)間【詳解】當時，，則，令，在R上單調遞增，當時，，當時，，即在上遞減，在上遞增，故，所以恒成立，僅當時取等號，即的單調遞增區(qū)間為三、綜合型1、三角函數導數型例1.（1）設函數．求的單調區(qū)間；（2）已知函數.求函數的單調區(qū)間和極值.【詳解】（1）因為定義域為，所以，因為，所以，所以當時，當時，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）因為，，所以，令，則或，所以當或時，；當時，.所以在上遞增，在上遞減,在上遞增，例2．（1）已知函數.求的單調區(qū)間；（2）已知函數.求函數的單調區(qū)間；（3）已知函數，求的單調區(qū)間；【詳解】（1）由，得，令，則恒成立，所以在上單調遞增，且，所以當時，，即當時，，即，綜上所述，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為（2），函數定義域為R，則且，令，，在上單調遞增，所以，所以的單調遞增區(qū)間為，，，所以的單調遞減區(qū)間為.（3）對函數求導可得：，令則.

當單調遞減，單調遞增.

所以，，所以，在上單調遞增.

故的單調遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.變式訓練：1.（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知.若時，求的單調區(qū)間；定義域為，當時，，令，則，由得，由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以恒成立.由得，由得，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.2.已知函數.當時，求的單調遞增區(qū)間；【詳解】當時，，，設又，∴在上單調遞增，又，∴當時，當時，∴的單調遞增區(qū)間為.3.已知函數．討論在上的單調性；【詳解】，，則；，則，所以在單調遞增，在單調遞減．【鞏固練習】1．求函數的單調區(qū)間．【詳解】由題得函數的定義域為，則令，得，即（），此時單調遞增；令，得，即（），此時單調遞減，故所求函數的單調遞增區(qū)間為（），單調遞減區(qū)間（）．2．已知函數.當時，求的單調區(qū)間【詳解】當，定義域為，，在上單調遞減，又所以當時，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.3．（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學?？计谥校┮阎瘮?若，求函數的單調區(qū)間；【詳解】當，則，令，解得，令，解得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；所以函數的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為；4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知函數．當時，求的單調區(qū)間；【詳解】當時，，所以，設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，所以的單調遞增區(qū)間是沒有單調遞減區(qū)間．5．已知函數，其圖象在處的切線過點．(1)求a的值；(2)討論的單調性；【詳解】（1）因為函數，所以，，則，所以函在處的切線方程為，又因為切線過點，所以，即，解得；（2）由（1）知；，則，令，則，當時，，當時，，所以，即當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞增；6．已知函數.求的單調區(qū)間.【詳解】，令，易得或，令，易得，所以函數在和上遞增，在上遞減，即的單調遞增區(qū)間是和；單調遞減區(qū)間是.7．已知函數．求的單調區(qū)間；【詳解】由定義域為又令，顯然在單調遞減，且；∴當時，；當時，．則在單調遞增，在單調遞減8．已知函數．求函數的單調區(qū)間；【詳解】函數的定義域為R，求導得：，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減．所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為和．9．已如函數.當時，求函數的單調區(qū)間；【詳解】，，則，設，則恒成