第07講相似三角形綜合（原卷版）

第07講相似三角形綜合掌握相似三角形多種解法靈活運(yùn)用多知識(shí)結(jié)合的相似三角形問題模塊一：平行線與相似三角形1、平行線與相似三角形利用平行線構(gòu)造的相似主要有兩個(gè)基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．如圖，已知中，AD、BE相交于G，，．ABCDEGABCDEG如圖，在中，點(diǎn)D在線段BC上，，，AD=2，ABCDBD=2DC，求ABCD MM模塊二：角平分線與相似三角形1、角平分線與相似三角形角平分線類的相似模型如下：分為“內(nèi)角平分線”和“外角平分線”兩種類型，虛線部分為輔助線的作法．ABCDM如圖，AD是的內(nèi)角平分線．ABCDMABCDEFG如圖，在中，，過點(diǎn)C作CE//AB，交的平 分線AD于ABCDEFG（1）不添加字母，找出圖中所有的相似三角形，并證明；（2）求證：．模塊三：a2=b·c與相似三角形1、a2=b·c與相似三角形常見及擴(kuò)展模型如下：BBACDABCD圖1圖2由圖1可證：；由圖2可證：，，．如圖，中，，于點(diǎn)D．ABCD ABCD如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，對(duì)角線ACBD，垂足為E， AD=BD，過E的直線EF//AB交AD于點(diǎn)F． （1）AF=BE；ABCDEF （2）AF2ABCDEF模塊四：內(nèi)接矩形與相似三角形1、內(nèi)接矩形與相似三角形ABABCDEFGHT常用結(jié)論：．ABC如圖，已知中，AC=3，BC=4，，在內(nèi)部求做一正方形， 問怎樣截取可以使正方形的面積最大，并求出此時(shí)正方形的邊長．ABCDDFEABCDEFG如圖，中，四邊形DEFG為正方形，其中D、E在邊AC、BC上，F(xiàn)、G在 AB上，，，求ABCDEFGHH模塊五：一線三等角與相似三角形1、一線三等角與相似三角形相關(guān)模型如下圖所示：ABCDEF已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點(diǎn)D為頂點(diǎn)作， 分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，AE=6，AF=4，求底邊ABCDEFABCDE如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點(diǎn)E在邊BC上，且， AD=10，求的面積ABCDE如圖（1），在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB，AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC。若點(diǎn)P在線段CB上，且BP=6，求線段CQ的長；（2）若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABCDABPQCQP（3）正方形ABCD的長為5，如圖（2），點(diǎn)P，Q分別在直線CB，DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，B重合），且保持ABCDABPQCQP模塊六：旋轉(zhuǎn)與相似三角形在中，CA=CB，在中，DA=DE，點(diǎn)D、E分別在CA、AB上． （1）如圖1，若，則CD與BE的數(shù)量關(guān)系是____________； （2）若，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則CD與 BE的數(shù)量關(guān)系是____________．AABCDEABCDE圖1圖2HH把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證∽，則 此時(shí)______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請(qǐng)說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3模塊七：函數(shù)與相似三角形ABCPQ如圖，厘米，厘米，動(dòng)點(diǎn)、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動(dòng)到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出 發(fā)沿邊一直移動(dòng)到點(diǎn)為止．經(jīng)過多長時(shí)間后，與相似？ABCPQ如圖，已知與都是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D不與B、C 重合），DE與AC相交于點(diǎn)F．（1）求證：∽；ABCDEF（2）若BC=1，設(shè)BD=x，CF=yABCDEF（3）當(dāng)x為何值時(shí)，？一、單選題（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)，分別在和邊上且，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接交于點(diǎn)，下列比例式一定成立的是（

）．A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，于，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤绻c(diǎn)分別在中的邊和上，那么不能判定的比例式是（

）A． B．C． D．（2023·上?！ひ荒＃┰谔菪沃?，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．（2023·上海青浦·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，點(diǎn)是的重心，，垂足為，如果，則線段的長為（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，中線與中線相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)．下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，，，則________．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，是邊的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，那么的長是________．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，射線和的延長線交于點(diǎn)E，如果，那么_________．（2023·上海寶山·一模）如圖，在中，已知線段經(jīng)過三角形的重心，，四邊形的面積為，那么的面積為_____．（2023·上海浦東新·校考一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，那么的長為________．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的邊長為8，為的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的長為___________．（2023·上海·模擬預(yù)測）在矩形中，（如圖）．將矩形繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形EBFG，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，且在邊上，如果聯(lián)結(jié)，那么的長為_____．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，聯(lián)結(jié)和．如果四邊形是矩形，那么k的值是__________．三、解答題（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在與中，，與相交于點(diǎn)G，．(1)求證：；(2)若，求的長．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知平分，點(diǎn)E在邊上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)F，且．(1)求證：點(diǎn)F在邊的垂直平分線上；(2)求證：．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、交于E，M是邊延長線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，與邊交于F，與對(duì)角線交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，如果，求證：平行四邊形是菱形．如圖，，，下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．如圖，已知在中，，點(diǎn)G是的重心，，垂足為E，如果，則線段GE的長為（

）A． B． C． D．如圖，為等腰直角三角形，為的重心，E為線段上任意一動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊作等腰（點(diǎn)D在直線的上方），為的重心，設(shè)兩點(diǎn)的距離為d，那么在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中d的取值范圍是____