交錯級數(shù)及其判別法課件

一、交錯級數(shù)及其判別法定義:正、負項相間的級數(shù)§3一般項級數(shù)為交錯級數(shù)

定理12.11（萊布尼茨判別法）設(shè)

滿足以下兩個條件1）數(shù)列單調(diào)遞減

2）

則收斂

證明所以數(shù)列收斂

推論若級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的條件，則收斂級數(shù)的余項估計式為二、絕對收斂與條件收斂若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂

若級數(shù)收斂，但是級數(shù)不收斂，則稱級數(shù)為條件收斂。

定理12.12

若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂

對任何正數(shù)總存在正數(shù)N，使得n>N和任意正數(shù)r,有證

由于因此由柯西準則知級數(shù)也是收斂的。例1

證明級數(shù)絕對收斂

.證由于對任何實數(shù)有，所以對所考察的級數(shù)對任何實數(shù)級數(shù)都絕對收斂

絕對收斂級數(shù)的兩個重要性質(zhì)1.級數(shù)的重排定義:把正整數(shù)列到它自身的一一映射稱為正整數(shù)列的重排,相應(yīng)地對于數(shù)列按映射所得到的數(shù)列稱為原級數(shù)的重排,相應(yīng)也稱級數(shù)是級數(shù)的重排.則任意重排得到的級數(shù)也絕對收斂,且有相同的定理12.13設(shè)級數(shù)絕對收斂,且其和等于和數(shù).注:由條件收斂級數(shù)重排得到的新級數(shù),即使收斂也不一定收斂于原來的和數(shù),而且條件收斂收斂級數(shù)適當(dāng)重排后,可得到發(fā)散級數(shù),或收斂于任何事先指定的數(shù).如：2.級數(shù)的乘積設(shè)為收斂級數(shù)，他（1）與（2）中每一項所有可能的乘積列成下表：這些乘積可以按各種方法排成不同的級數(shù)，常用的有按正方形順序或按對角線順序依次相加，于是分別有：和定理12.14(柯西定理)若級數(shù)(1)、（2）都絕對收斂，則對（3）中所有乘積按任意順序排列所得到的級數(shù)也絕對收斂，且其和等于例2等比級數(shù)＜1

是絕對收斂的，將按的順序排列，則得到

=1+2

三、阿貝耳判別法和狄利克雷判別法引理（分部求和公式）設(shè)為兩組實數(shù)，若令則有如下分部求和公式成立：證：以分別乘以整理后就得所要證的公式。推論（阿貝耳引理）若（1）是單調(diào)數(shù)組；（2）對任一正整數(shù)有則記時，有：證：由（1）知都是同號的，于是由分部求和公式及條件（2）推得以下討論級數(shù)的收斂性。定理12.15(阿貝爾判別法)

若為單調(diào)有界數(shù)列,且級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂.定理12.16(狄利克雷判別法)若單調(diào)遞減,又級數(shù)部分和數(shù)列有界,則級數(shù)收斂.且例3若數(shù)列具有性質(zhì):則級數(shù)和對任何都收斂.解:因為當(dāng)時,故得到所以級數(shù)的部分和數(shù)列當(dāng)