不等式恒成立問題的大全

不等式恒成立問題的大全

)成立，求k的取值范圍。解：(1)由題意可得8x16xk2x35x24x化簡得2x35x24xk0令f(x)2x35x24xk，則f(3)19k，f(3)41k由f(x)的單調(diào)性可得當(dāng)3x3時(shí)，f(x)最小值為f(1)1k則k20時(shí)，f(x)g(x)恒成立，所以k的取值范圍為[k20]。(2)由題意可得8x16xk2x35x24x化簡得2x35x24xk0令f(x)2x35x24xk，則f(x)的最小值為f(1)1k，最大值為f(3)41k則k20時(shí)，對任意的x[3,3]，都有f(x)g(x)成立，所以k的取值范圍為[k20]。(3)由題意可得8x16xk2x35x24x化簡得2x35x24xk0令f(x)2x35x24xk，則f(x)的最小值為f(1)1k，最大值為f(3)41k則對于任意x1[3,3]，總存在x2[3,3]，使得f(x1)g(x2)成立，即f(x)與g(x)有交點(diǎn)，則k的取值范圍為[k20]。三、代入法當(dāng)不等式中含有參數(shù)時(shí)，可采用代入數(shù)值的方法來判斷不等式的成立情況。例3．已知a0，求證：對任意x[0,)，都有a2x22ax2a(x1)證明：當(dāng)a0時(shí)，原不等式為x20，顯然成立。當(dāng)a0時(shí)，將x1用a代入原不等式，即a2(a1)22a2a2a(a1)2a(a1)化簡得a2a0，顯然成立。綜上可知，對任意x[0,)，都有a2x22ax2a(x1)成立。1.已知函數(shù)$f(x)=8x^2+16x-k$和$g(x)=2x^3+5x^2+4x$，其中$x\in[-3,3]$。求$k$的取值范圍使得$f(x)$的最大值不超過$g(x)$的最小值。解：首先，我們需要找到$f(x)$和$g(x)$的極值點(diǎn)，以確定它們的最大值和最小值。對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=16x+16$，令$f'(x)=0$解得$x=-1$，這是$f(x)$的唯一極值點(diǎn)。對$g(x)$求導(dǎo)得$g'(x)=6x^2+10x+4$，令$g'(x)=0$解得$x=-\frac{2}{3}$和$x=-1$，這是$g(x)$的兩個(gè)極值點(diǎn)。接下來，我們分別計(jì)算$f(x)$和$g(x)$在區(qū)間$[-3,3]$的端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的取值：$$\begin{aligned}&f(-3)=24-k,\quadf(-1)=-8-k,\quadf(2)=k-20,\quadf(3)=120-k\\&g(-3)=-21,\quadg(-\frac{2}{3})=-\frac{184}{27},\quadg(-1)=-1,\quadg(3)=111\end{aligned}$$由于$f(x)$的最大值不超過$g(x)$的最小值，因此我們需要比較$f(x)$的最大值$f_{\max}$和$g(x)$的最小值$g_{\min}$。根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，$f(x)$的最大值為$f_{\max}=120-k$，$g(x)$的最小值為$g_{\min}=-21$。因此，我們需要滿足以下不等式：$$f_{\max}=120-k\leg_{\min}=-21\quad\Rightarrow\quadk\ge141$$另外，由于$f(x)$和$g(x)$在區(qū)間$[-3,3]$上的取值范圍分別為$[-k-8,-k+120]$和$[-21,111]$，為了使$f(x)$的值域是$g(x)$的值域的子集，我們需要滿足以下不等式：$$\begin{cases}-k-8\ge-21\\-k+120\le111\end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}k\ge9\\k\le13\end{cases}$$綜上所述，$k$的取值范圍為$[141,+\infty)$。2.已知函數(shù)$f(x)=7x^2-28x-a$和$g(x)=2x^3+4x^2-40x$，其中$x\in[-3,3]$。求$a$的取值范圍使得$f(x)$始終不超過$g(x)$。解：同樣地，我們需要找到$f(x)$和$g(x)$的極值點(diǎn)，以確定它們的最大值和最小值。對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=14x-28$，令$f'(x)=0$解得$x=2$，這是$f(x)$的唯一極值點(diǎn)。對$g(x)$求導(dǎo)得$g'(x)=6x^2+8x-40$，令$g'(x)=0$解得$x=-\frac{4}{3}$和$x=2$，這是$g(x)$的兩個(gè)極值點(diǎn)。接下來，我們分別計(jì)算$f(x)$和$g(x)$在區(qū)間$[-3,3]$的端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的取值：$$\begin{aligned}&f(-3)=24-a,\quadf(2)=10-a,\quadf(3)=18-a\\&g(-3)=-54,\quadg(-\frac{4}{3})=-\frac{176}{27},\quadg(2)=8\end{aligned}$$由于$f(x)$始終不超過$g(x)$，因此我們需要比較$f(x)$的最大值$f_{\max}$和$g(x)$的最小值$g_{\min}$。根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，$f(x)$的最大值為$f_{\max}=24-a$，$g(x)$的最小值為$g_{\min}=-54$。因此，我們需要滿足以下不等式：$$f_{\max}=24-a\leg_{\min}=-54\quad\Rightarrow\quada\ge45$$綜上所述，$a$的取值范圍為$[45,+\infty)$。3.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}$，其中$x\in[1,+\infty)$。求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍使得對任意$x\in[1,+\infty)$，都有$f(x)>1$。解：首先，我們需要計(jì)算$f(x)$的值：$$f(x)=\frac{x^2+2x+a}{x}=x+\frac{a}{x}+2$$由于$f(x)>1$對任意$x\in[1,+\infty)$都成立，因此我們需要保證$x+\frac{a}{x}+2>1$對任意$x\in[1,+\infty)$都成立。這等價(jià)于保證$x^2+ax+2x-a>0$對任意$x\in[1,+\infty)$都成立。我們對$x^2+ax+2x-a$進(jìn)行因式分解：$$x^2+ax+2x-a=(x+2)(x-1)+a(x-1)=(x-1)(x+a+2)$$因此，我們需要保證$x+a+2>0$對任意$x\in[1,+\infty)$都成立。這等價(jià)于保證$a>-x-2$對任意$x\in[1,+\infty)$都成立。因?yàn)?x\in[1,+\infty)$，所以最小的$x$是$x=1$，因此我們需要滿足$a>-1-2=-3$，即實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為$(-3,+\infty)$。4x>0恒成立，因此2x>0，即x>0。又因?yàn)?x≤4，所以2x≤2，即x≤1。綜上，x∈(0,1]。將2x=t代入原不等式，得到a2-a<(t+1)/(2t)。要使該不等式在t∈(0,2]上恒成立，只需求出f(t)=2(t+1)/(t^2)在該區(qū)間上的最小值即可。f(t)=(2/t)+(2/t^2)，在t=2時(shí)取得最小值，所以a2-a<4/3，即-∞<a<4/3。已知f(x)=ax-4x-x^2，且f(x)<0在x∈(0,4]上恒成立。將問題轉(zhuǎn)化為a<0在x∈(0,4]上恒成立。令g(x)=(4x-x^2)/x，則a<g(x)在x∈(0,4]上恒成立。g(x)=-1/x+4，是在(0,4]上的減函數(shù)，所以a<g(4)=-3/4，即a∈(-∞,-3/4)。題目要求kx+3k>-x^2+4x+5恒成立，即對于任意x∈[-1,5]都成立。將不等式化為求函數(shù)f(x)=-x^2+4x+5-kx-3k的最大值，即f(x)≤0在[-1,5]上恒成立。將不等式轉(zhuǎn)化為f(x)≤0，即k(x+3)≥(-x^2+4x+5)，對于任意x∈[-1,5]都成立。令y=k(x+3)^2，x∈[-1,5]，則y≥(-x^2+4x+5)，對于任意x∈[-1,5]都成立。要使該不等式恒成立，y的最小值應(yīng)該大于等于-f(x)的最大值，即y的最小值應(yīng)該大于等于2。所以k(x+3)^2的最小值應(yīng)該大于等于2，即k>2，所以k的取值范圍是k>2。如果將y=k(x+3)^2改為y=k/(x+3)^2，則同樣可以用變量分離法解，得到k>9/16?？苫癁?(x-2)^2+y^2\leq4$，它表示以$(2,0)$為圓心，半徑為2的上半圓。表示經(jīng)過定點(diǎn)$(-2,0)$，斜率為$a$的直線，要使$f(x)\leqg(x)$恒成立，只需上半圓在該直線下方。當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，$a=\pm\frac{|2a+2a|}{1+a^2}=2$，即$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$。由圖可知，要使$f(x)\leqg(x)$恒成立，實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是$a\geq\frac{\sqrt{3}}{3}$。分類討論是解決不等式中兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式兩邊的一種思路。例如，對于不等式$x^2-4mx+4m^2>m+3$，可以轉(zhuǎn)化為$|x-2m|>m+3$。當(dāng)$m+3>0$即$m>-3$時(shí)，$|x-2m|>m+3$等價(jià)于$x>3m+3$或$x<m-3$。當(dāng)$m+3=0$即$m=-3$時(shí)，$|x+6|>0$，$x\neq-6$。當(dāng)$m+3<0$即$m<-3$時(shí)，$|x-2m|>m+3$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立。因此，不等式的解集為$x\in(-\infty,m-3)\cup(3m+3,\infty)$，即$A=(-\infty,m-3)\cup(3m+3,\infty)$。當(dāng)$1<\frac{1}{2a}<3$時(shí)，$f(x)$有零點(diǎn)，即$2ax^2+2x-3-a=0$在$[-1,1]$上有解。解得$a\in\left(-\frac{1}{3},\frac{3}{8}\right)$。當(dāng)$\frac{1}{2a}\leq1$或$\frac{1}{2a}\geq3$時(shí)，$f(x)$無零點(diǎn)。因此，$a\in\left(-\infty,-\frac{1}{6}\right]\cup\left[\frac{3}{16},\infty\right)$。函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn)，即方程f(x)=2ax^2+2x-3-a=0在[-1,1]上有解。當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意，因此a≠0。方程f(x)=0在[-1,1]上有解的充要條件是f(-1)×f(1)≤0，即a×f(-1)≥0且a×f(1)≥0，或者Δ=4+8a(3+a)≥0且a∈[-1.1]或a≥5/2或a≤-3-7/2或a≥1。因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-3-7/2或a≥1/2。已知f(x)=-3x^2+a(6-a)x+b，（1）解關(guān)于a的不等式f(1)>0。（2）當(dāng)不等式f(x)>0的解集為(-1,3)時(shí)，求實(shí)數(shù)a,b的值。（1）f(1)=-a^2+6a+b-3。因?yàn)閒(1)>0，所以-a^2+6a+b-3<0。解得△=24+4b，當(dāng)b≤-6時(shí)，△≤0，此時(shí)f(1)