第03講函數(shù)（原卷版）

第03講函數(shù)【知識梳理】1．常量與變量（1）變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量．（2）方法：①常量與變量必須存在于同一個變化過程中，判斷一個量是常量還是變量，需要看兩個方面：一是它是否在一個變化過程中；二是看它在這個變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化；②常量和變量是相對于變化過程而言的．可以互相轉(zhuǎn)化；③不要認為字母就是變量，例如π是常量．2．函數(shù)的概念函數(shù)的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，x是自變量．說明：對于函數(shù)概念的理解：①有兩個變量；②一個變量的數(shù)值隨著另一個變量的數(shù)值的變化而發(fā)生變化；③對于自變量的每一個確定的值，函數(shù)值有且只有一個值與之對應，即單對應．3．函數(shù)關系式用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y＝x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．4．函數(shù)自變量的取值范圍自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義．①當表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數(shù)．例如y＝2x+13中的x．②當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零．例如y＝x+2x﹣1．③當函數(shù)的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數(shù)不小于零．④對于實際問題中的函數(shù)關系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際問題有意義．5．函數(shù)值函數(shù)值是指自變量在取值范圍內(nèi)取某個值時，函數(shù)與之對應唯一確定的值．注意：①當已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；當已知函數(shù)解析式，給出函數(shù)值時，求相應的自變量的值就是解方程；②當自變量確定時，函數(shù)值是唯一確定的．但當函數(shù)值唯一確定時，對應的自變量可以是多個．6．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象定義對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象．注意：①函數(shù)圖形上的任意點（x，y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對x、y的值，所對應的點一定在函數(shù)圖象上；③判斷點P（x，y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：將點P（x，y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點就在函數(shù)的圖象上；如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點就不在函數(shù)的圖象上．．7．動點問題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．8．函數(shù)的表示方法函數(shù)的三種表示方法：列表法、解析式法、圖象法．其特點分別是：列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對應關系，在實際生活中應用非常廣泛；解析式法準確地反映了函數(shù)與自變量之間的對應規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應的函數(shù)值，反之亦然；圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律．注意：①它們分別從數(shù)和形的角度反映了函數(shù)的本質(zhì)；②它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．【考點剖析】一．常量與變量（共4小題）1．（2022秋?定遠縣校級月考）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是V，R；常量是，π B．變量是R，π；常量是 C．變量是V，R，π；常量是 D．變量是V，R3；常量是π2．（2022秋?廬陽區(qū)校級月考）一根蠟燭原長a厘米，點燃后燃燒時間為t分鐘，所剩余蠟燭的長為y厘米，其中是變量的是（）A．a(chǎn)，t，y B．y C．t，y D．a(chǎn)，y3．（2022秋?渦陽縣校級月考）已知聲音在空氣中的傳播速度與空氣的溫度有關，在一定范圍內(nèi)，其關系如表所示，下列說法錯誤的是（）溫度（℃）﹣20﹣100102030傳播速度（m/s）318324330336342348A．自變量是傳播速度，因變量是溫度 B．溫度越高，傳播速度越快 C．當溫度為10℃時，聲音10s可以傳播3360m D．溫度每升高10℃，傳播速度增加6m/s4．（2021秋?宣城期末）寒冷的冬天里我們在利用空調(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過程中，空調(diào)的每小時用電量隨開機設置溫度的高低而變化，這個問題中自變量是（）A．每小時用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設置溫度 D．用電時間二．函數(shù)的概念（共3小題）5．（2022秋?霍邱縣期中）如圖，下列各曲線中，y不是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．（2022秋?亳州期中）下列式子中，y不是x的函數(shù)的是（）A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x﹣1 C．y＝ D．|y|＝x7．（2022秋?淮北月考）如圖平面直角坐標系中的曲線或折線中，能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．三．函數(shù)關系式（共5小題）8．（2022秋?亳州期中）已知一個長方形的周長為50cm，相鄰兩邊分別為xcm，ycm，則它們的關系為是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25）9．（2022秋?定遠縣校級月考）某商店銷售一批玩具時，其收入y（元）與銷售數(shù)量x（個）之間有如下關系：銷售數(shù)量x（個）1234…收入y（元）…則收入y與銷售數(shù)量x之間的關系式可表示為（）A．y＝x B．y＝8x C．y＝x D．y＝8.3+x10．（2022秋?瑤海區(qū)期中）甲、乙兩人準備在一段長為1200m的筆直公路上進行跑步，甲、乙跑步的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面100m處，兩人同時同向起跑．（1）兩人出發(fā)后s乙追上甲；（2）從起跑至其中一人先到達終點的過程中，甲、乙兩人之間的距離y（m）與時間t（s）的函數(shù)關系為．11．（2022秋?安徽期中）自變量x與因變量y的關系式為：y＝2x+5，當x每增加1時，y增加．12．（2022秋?蚌山區(qū)月考）如圖，某品牌自行車每節(jié)鏈條的長度為cm，交叉重疊部分的圓的直徑為cm．（1）觀察圖形，填寫如表；鏈條節(jié)數(shù)/x（節(jié)）234…鏈條長度/y（cm）…（2）請你寫出y與x之間的關系式；（3）如果一輛自行車的鏈條（安裝前）共由50節(jié)鏈條組成，那么鏈條的總長度是多少？四．函數(shù)自變量的取值范圍（共5小題）13．（2022秋?瑤海區(qū)期中）函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜914．（2022秋?定遠縣校級月考）在函數(shù)y＝﹣3中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣1 B．x≤1 C．x≥1 D．x≠115．（2022秋?渦陽縣校級月考）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠016．（2021秋?肥東縣期末）函數(shù)y＝﹣中，自變量x的取值范圍是．17．（2021秋?桐城市校級期末）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．五．函數(shù)值（共3小題）18．（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當x＝n時，函數(shù)值分別是N1和N2，若存在正數(shù)n，使得N1+N2＝1，則稱函數(shù)y1和y2是“正和諧函數(shù)”．下列函數(shù)y1和y2是“正和諧函數(shù)”的是（）A．y1＝2x+1和y2＝3x+2 B．y1＝﹣x+3和y2＝2x﹣1 C．y1＝﹣x﹣1和y2＝3x﹣2 D．y1＝﹣x+1和y2＝2x+319．（2022秋?霍邱縣校級月考）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x的值為4時，輸出的y的值為5．則輸入x的值為3時，輸出的y的值為（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．320．（2021秋?郎溪縣期末）寫一個使函數(shù)y＝有意義的x整數(shù)值是．六．函數(shù)的圖象（共9小題）21．（2022秋?無為市月考）某游樂場中的一個過山車一分鐘內(nèi)，行駛過程中距水平地面的高度h（米）與時間t（秒）之間的函數(shù)關系圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（）A．當t＝41時，h＝15 B．當30＜t≤41時，高度h（米）隨時間t（秒）的增大而減小 C．當41＜t≤53時，高度h（米）隨時間t（秒）的增大而增大 D．在這1分鐘內(nèi)，有2個時間點，過山車高度是58米22．（2022秋?埇橋區(qū)期中）如圖，一只螞蟻沿著半圓形凹槽勻速爬行，則其順著O→A→B→C→O運動的過程中，運動的時間x與螞蟻離圓心的距離y之間的函數(shù)圖象可大致表示為（）A． B． C． D．23．（2021秋?肥東縣期末）一物體從4m高的地方勻速降到地面，若物體每分鐘下降m，則物體與地面的距離y（單位：m）與下降時間t（單位：min）之間的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．24．（2022秋?阜陽期中）甲、乙兩個工程隊分別同時維修兩段道路，所維修的道路長度與維修的天數(shù)之間的函數(shù)關系圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A．開工第2天時，甲隊比乙隊多維修200m B．開工第6天時，甲隊比乙隊多維修200m C．甲隊維修道路長度為550m時，乙隊所維修的道路長度為650m D．開工第2天或第天時，甲、乙兩隊所維修道路長度的差為100m25．（2021秋?宣城期末）小明從家里出發(fā)騎單車去上學，行了一段時間后，想起今天考試須要帶2B鉛筆，于是趕緊折回到剛經(jīng)過的文具店，買到鉛筆后繼續(xù)趕往學校．以下是他所用的時間與離家距離的關系示意圖，根據(jù)圖中的信息，則下列說法錯誤的是（）A．小明家到學校的路程是1800米 B．小明在文具店停留了4分鐘 C．本次上學途中，小明一共行了3400米 D．若騎單車的速度大于300米/分就有安全隱患，在整個上學的途中，小明騎車有4分鐘的超速騎行，存在安全隱患26．（2022秋?安徽期中）小明和小華是同班同學，也是鄰居，某日早晨，小明7：40先出發(fā)去學校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后來發(fā)現(xiàn)上學時間快到了，就跑步到學校；小華離家后直接乘公交汽車到了學校．如圖是他們從家到學校已走的路程s（米）和所用時間t（分鐘）的關系圖．則下列說法中錯誤的是（）A．小明吃早餐用時5分鐘 B．小華到學校的平均速度是240米/分 C．小明跑步的平均速度是100米/分 D．小華到學校的時間是7：5527．（2022秋?定遠縣校級月考）甲、乙兩人在筆直的公路AB上從起點A地以不同的速度勻速跑向終點B地，先到B地的人原地休息，已知A、B兩地相距1500米，且甲比乙早出發(fā)，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發(fā)的時間x（秒）的關系如圖所示．（1）甲早出發(fā)秒，乙出發(fā)時兩人距離米；（2）甲的速度是米/秒，甲從A地跑到B地共需秒；（3）乙出發(fā)秒時追上了甲；（4）甲出發(fā)秒時，兩人相距120米．28．（2021秋?宣城期末）如圖是某地區(qū)一天的氣溫隨時間變化的圖象：（1）圖中的變量是什么？（2）氣溫在哪段時間是下降的？（3）最高氣溫和最低氣溫分別是多少攝氏度？29．（2022秋?迎江區(qū)期中）小明騎單車上學，當他騎了一段路時，想起要買某本書，于是又折回到剛經(jīng)過的某書店，買到書后繼續(xù)去學校．以下是他本次上學所用的時間與路程的關系示意圖．根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：（1）小明家到學校的路程是米．（2）小明在書店停留了分鐘．（3）本次上學途中，小明一共行駛了米．一共用了分鐘．（4）在整個上學的途中（哪個時間段）小明騎車速度最快，最快的速度是米/分．七．動點問題的函數(shù)圖象（共4小題）30．（2022秋?渦陽縣校級月考）如圖1，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D→A方向勻速運動至點A停止．已知點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為x（s），△PAB的面積為y（cm2），若y關于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則長方形ABCD面積為（）cm2A．20 B．28 C．48 D．2431．（2021秋?淮北期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，動點P從點B出發(fā)，沿路線B→C→D做勻速運動，那么△ABP面積的S與點P運動的路程x之間的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．32．（2022秋?天長市月考）如圖，長方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D運動，到達點D后停止運動，若點P的運動時間為t（s），△PAD的面積為y（cm2），則y與t之間函數(shù)關系的大致圖象是（）A． B． C． D．33．（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知動點P以2cm/s的速度沿圖1所示的邊框從B→C→D→E→F→A的路徑運動，記△ABP的面積為y（cm2），y與運動時間t（s）的關系如圖2所示，已知AB＝6cm，回答下列問題：（1）當t＝3時，y＝cm2；（2）m＝（s）．八．函數(shù)的表示方法（共1小題）34．（2022秋?無為市月考）如圖，這是一個“函數(shù)求值機”的示意圖，其中y是x的函數(shù)．下面表格中，是通過該“函數(shù)求值機”得到的幾組x與y的對應值數(shù)據(jù)．輸入x…﹣6﹣4﹣202…輸出y…﹣6﹣22616…根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）當輸入的x值為3時，輸出的y值為．（2）當x＜1時，求該函數(shù)的表達式．（3）當輸出的y值為﹣4時，求輸入的x值．【過關檢測】一、單選題1．（2022秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┮粋€圓形花壇，面積S與半徑的函數(shù)關系式中關于常量和變量的表述正確的是（

）A．常量是2，變量是、、 B．常量是2、，變量是、C．常量是2，變量是、 D．常量是，變量是、2．（2022秋·安徽亳州·八年級校聯(lián)考期中）下列式子中，y不是x的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）小明步行到學校參加聯(lián)歡會，到學校時發(fā)現(xiàn)演出道具忘在家中，于是他馬上按照原來的速度步行回家取道具，隨后騎自行車加快速度返回學校，下面是小明離開家的距離S（米）和時間t（分）的函數(shù)圖象，那么最符合小明實際情況的大致圖象是（）A． B．C． D．4．（2022秋·安徽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰，，，點P由點B開始沿邊勻速運動到點C，再沿邊勻速運動到點A為止，設運動時間為t，的面積為S，則S與t的大致圖象是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·安徽蚌埠·八年級?？计谥校┤鐖D是合肥某天的氣溫變化曲線，則這天合肥市的氣溫日溫差是（

）A． B． C． D．6．（2021春·安徽淮南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，甲、乙兩汽車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中與時間t的對應關系如圖所示．下列結(jié)論：①A，B兩城相距；②行程中甲、乙兩車的速度比為2：3；③乙車于7：20追上甲車；④9：00時，甲、乙兩車相距，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2022秋·安徽亳州·八年級?？茧A段練習）已知聲音在空氣中的傳播速度與空氣的溫度有關，在一定范圍內(nèi)，其關系如表所示，下列說法錯誤的是（

）溫度/℃﹣20﹣100102030傳播速度/（m/s）318324330336342348A．自變量是傳播速度，因變量是溫度B．溫度越高，傳播速度越快C．當溫度為10℃時，聲音10s可以傳播3360mD．溫度每升高10℃，傳播速度增加6m/s8．（2022秋·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）已知和均是以x為自變量的函數(shù)，當時，函數(shù)值分別是和，若存在正數(shù)n，使得，則稱函數(shù)和是“正和諧函數(shù)”．下列函數(shù)和是“正和諧函數(shù)”的是（

）A．和 B．和C．和 D．和9．（2022秋·安徽滁州·八年級天長市炳輝中學校聯(lián)考階段練習）如圖，長方形中，，，點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿運動，到達點D后停止運動，若點Р的運動時間為，的面積為，則y與t之間函數(shù)關系的大致圖像是（）A． B．C． D．10．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）小紅和弟弟小東分別從家和圖書館同時出發(fā)，沿同一條路相向而行，小紅開始跑步，中途改為步行，到達圖書館恰好需用，小東騎自行車以的速度直接回家，人離家的路程與各自離開出發(fā)地的時間之間的函數(shù)如圖所示，有下列四種說法：①小東離家的路程與之間的函數(shù)表達式為；②家與圖書館之間的路程為；③小紅步行的速度為；④出發(fā)后，兩人相遇；其中正確的有（

）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③二、填空題11．（2022秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習）函數(shù)的自變量的取值范圍是______．12．（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）某市出租車的收費起步價為14元，即路程不超過3公里時收費14元，超過部分每公里收費元．如果乘客乘坐出租車行駛的路程為x（x＞3）公里，乘車費為y元，那么y與x之間的關系式為_________．13．（2022秋·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）已知動點以2cm/s的速度沿圖1所示的邊框從的路徑運動，記的面積為（cm2）與運動時間（s）的關系如圖2所示，已知cm，回答下列問題∶（1）當時，=___cm2；（2）=_______s

14．（2022秋·安徽宣城·八年級校聯(lián)考期中）自變量x與因變量y的關系式為：，當x每增加1時，y增加______．15．（2021秋·安徽六安·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝9cm，點D在線段CA上從點C出發(fā)向點A方向運動（點D不與點A，點C重合），且點D運動的速度為2cm/s，現(xiàn)設運動時間為x（0＜x＜）秒時，對應的△ABD的面積為ycm2，則當x＝2時，y＝_________；y與x之間滿足的關系式為_________．16．（2021秋·安徽合肥·八年級校聯(lián)考期中）在學校，每一位同學都對應著一個學籍號，在數(shù)學中也有一些對應．現(xiàn)定義一種對應關系f，使得數(shù)對和數(shù)z是對應的，此時把這種關系記作：．對于任意的數(shù)m，n（），對應關系f由如表給出：如：，，，則使等式成立的x的值是___________．17．（2022秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習）小亮早晨從家騎車到學校，先上坡后下坡，行程情況如圖所示．若返回時上坡、下坡的速度仍保持不變，那么小亮從學校騎車回家用的時間是_______．18．（2020秋·安徽六安·八年級校考期中）A、B兩地相距630千米客車、貨車分別從A、B兩地同時出發(fā)，勻速相向行駛貨車兩小時可到達途中C站，客車需9小時到達C站．貨車的速度是客車的，客、貨車到C站的距離分別為、(千米)，它們與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)關系如圖．下列說法：①客、貨兩車的速度分別為60千米小時，45千米/小時；②P點橫坐標為12；③A、C兩站間的距離是540千米；④E點坐標為(6，180)，其中正確的說法是_________(填序號)．三、解答題19．（2022秋·安徽·八年級統(tǒng)考期