第一章·有理數(shù)·第3課時·有理數(shù)的加減乘除乘方

初中數(shù)學(xué)第一章《有理數(shù)》“有理數(shù)的加減乘除乘方”培訓(xùn)教程知識點精講第一節(jié)：有理數(shù)的加法和減法小學(xué)數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)的數(shù)的運算其實就是包括正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和0在內(nèi)的加減乘除運算，在中學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，我們所學(xué)的數(shù)的運算范圍進(jìn)一步擴(kuò)展到包括負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的有理數(shù)的加減乘除運算。有理數(shù)的加法不僅有正數(shù)之間，還有負(fù)數(shù)之間以及正數(shù)、負(fù)數(shù)之間相加。問(1)：有理數(shù)加法法則是如何規(guī)定的？答：有理數(shù)相加法則，有以下規(guī)定：①符號相同的兩數(shù)相加，取相同的符號，再把這兩個數(shù)的絕對值相加；比如：+===10；(－)+(－)=－(+)=－()=－=－10。②符號不相同，絕對值不相等的兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，再用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值；比如：—21+35=35—21=14；(－)＋=－＋=－(－)=－。③互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；比如：－+=－+=－=0；－89+89=89－89=0。④任意一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。問(2)：有理數(shù)加法遵循什么運算規(guī)律？答：有理數(shù)加法和小學(xué)加法運算一樣，有以下運算規(guī)律：①加法交換律：兩個數(shù)相加，交換被加數(shù)和加數(shù)的位置，和不變。即：a+b=b+a。②加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即：(a+b)+c=a+(b+c)。在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，有理數(shù)的減法不僅有正數(shù)之間相減，還有負(fù)數(shù)之間以及正數(shù)、負(fù)數(shù)之間相減。問(3)：有理數(shù)減法法則是如何規(guī)定的？答：有理數(shù)相減法則，有以下規(guī)定：①減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即：a－b=a＋(－b)。依據(jù)這條法則，可以把有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法，再運用有理數(shù)加法法則和運算規(guī)律運算。比如：(－43)－（－75）=(－43)+75=75－43=3289－(－11)=89+11=100(－)－=(－)＋(－)=－(＋)=－=－=－=－2②任意兩個相等的數(shù)相減都得0。③任意一個數(shù)減去0，仍得這個數(shù)。0減去任意一個數(shù)，得數(shù)是這個數(shù)的相反數(shù)。比如：32－0=32，－－0=－，0－32=－32，0－(－)=。問(4)：有理數(shù)減法運算時，能直接運用加法的交換律和結(jié)合律嗎？答：進(jìn)行有理數(shù)減法運算時，不能直接運用加法的交換律和結(jié)合律，必須把有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法之后，再運用加法的交換律和結(jié)合律，否則，運算結(jié)果會出錯。比如：兩個數(shù)a、b相減，若直接運用交換律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：a－b≠b－a。三個數(shù)a、b、c相減，若直接運用結(jié)合律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：(a－b)－c≠a－(b－c)。單一的有理數(shù)的相加或相減運算之外，還有較復(fù)雜的有理數(shù)的加減混合運算。問(5)：如何進(jìn)行有理數(shù)的加減混合運算？答：①直接按加減排列順序運算。②分組結(jié)合運算。依據(jù)有理數(shù)減法法則“減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，先把運算式中的有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法，按加法結(jié)合律，先把其中“互為相反數(shù)”的數(shù)先相加，再正數(shù)一組和負(fù)數(shù)一組相加。最后把各組得數(shù)相加。【例1】計算：－3+－3+3－3。分析：此題可直接按數(shù)的加減排列順序運算，也可把運算式中的有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法運算，再分組結(jié)合相加。兩種方法都可以。解法1：按運算式中加減的排列順序運算。原式=－2+－3+3－3=－2+1－3+3－3=－1－3+3－3=－4+3－3=－1－3=－5解法2：把運算式中的有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)加法，再分組結(jié)合相加。原式=＋(－3)+＋(－3)＋3＋(－3)=(+)+[(－3)＋(－3)]=(－3+3)+(+)+[(－)＋(－)]=0++[－]=2+(－7)=－5第二節(jié)：有理數(shù)的乘法和除法在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，有理數(shù)的乘法不僅有正數(shù)之間相乘，還有負(fù)數(shù)之間以及正數(shù)、負(fù)數(shù)之間相乘。問(1)：有理數(shù)乘法法則是如何規(guī)定的？答：有理數(shù)相乘法則，有以下規(guī)定：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。比如：×=，(－)×(－)=,88×7.25=638；（－1）×=－，×(－1.)=×(－1)=－，×(－198)=－26。注：－1.是無限循環(huán)小數(shù)，－1.=－1，化成分?jǐn)?shù)后再相乘。②任何數(shù)同1相乘，都等于它本身。任何數(shù)同－1相乘，都等于它的相反數(shù)。③任何數(shù)同0相乘，都得0。④兩數(shù)相乘，可以帶“×”號，或用“·”號代替；代表數(shù)的字母相乘可以省略“×”或“·”號，直接相乘。問(2)：有理數(shù)乘法遵循什么運算規(guī)律？答：有理數(shù)乘法和小學(xué)乘法運算一樣，有以下運算規(guī)律：①乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積依然相等。即：ab=ba。②乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積依然相等。即：(ab)c=a(bc)。③乘法分配律：一個數(shù)同兩個或兩個以上數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這些數(shù)相乘，再把積相加，積依然相等。即：a(b+c)=ab+ac或a(b－c)=ab－ac。在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，不僅正數(shù)之間可以互為倒數(shù)，負(fù)數(shù)之間也可以互為倒數(shù)。問(3)：如何判斷兩個數(shù)互為倒數(shù)？答：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，即：若a×b=1，則a、b互為倒數(shù)。a、b是除“0”之外的任意正數(shù)或負(fù)數(shù)。比如：×=1，則、互為倒數(shù)?！?=1，則、9互為倒數(shù)。(－)×(－)=1，則－、－互為倒數(shù)。(－)×(－9)=1，則－、－9互為倒數(shù)。問(4)：0有倒數(shù)嗎？答：因為0和任意數(shù)的乘積都是0，所以0沒有倒數(shù)。問(5)：如何求任意一個非0數(shù)的倒數(shù)？答：依據(jù)倒數(shù)的定義，已知任意一個非0數(shù)，用1除以這個數(shù)，得數(shù)就是這個數(shù)的倒數(shù)。即：若已知數(shù)a和b，a≠0，b≠0，則其倒數(shù)分別為和。在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，有理數(shù)的除法不僅有正數(shù)之間相除，還有負(fù)數(shù)之間以及正數(shù)、負(fù)數(shù)之間相除。問(6)：有理數(shù)除法法則是如何規(guī)定的？答：有理數(shù)相除法則，有以下規(guī)定：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)，即：a÷b=a×（b≠0）。規(guī)定：兩數(shù)相除，除數(shù)不能為0。依據(jù)這條法則，就可以把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法，再運用有理數(shù)乘法法則和運算規(guī)律運算。比如：8÷=8×=14，(－8)÷(－)=(－8)×(－)=14②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。比如：(－)÷(－3)=÷3=×=(同號相除得正)÷(－3)=－(÷3)=－(×)=－（異號相除得負(fù)）③任意兩個不為0的相等的數(shù)相除都等于1。④0除以任意一個不等于0的數(shù)，都得0。⑤兩數(shù)相除，可以把算式改寫成分?jǐn)?shù)的形式，被除數(shù)為分子，除數(shù)為分母，即：a÷b==a×（b≠0）。問(7)：有理數(shù)除法運算時，能運用交換律、結(jié)合律和分配律嗎？答：進(jìn)行有理數(shù)除法運算時，不能直接運用交換律、結(jié)合律和分配律，必須先把有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，再運用乘法的交換律、結(jié)合律和分配律。否則，運算結(jié)果會出錯。比如：兩個數(shù)相除，若直接運用交換律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：a÷b≠b÷a。三個數(shù)相除，若直接運用結(jié)合律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：(a÷b)÷c≠b÷(a÷c)。一個數(shù)同兩個或兩個以上數(shù)的和相除，若直接運用分配律，代入任意數(shù)據(jù)可以驗證：a÷(b+c)≠a÷b+a÷c，a÷(b－c)≠a÷b－a÷c。單一的有理數(shù)的相乘或相除運算之外，還有較復(fù)雜的有理數(shù)的乘除混合運算。問(8)：如何進(jìn)行有理數(shù)的乘除混合運算？答：①直接按乘除排列順序運算。②分組結(jié)合運算。依據(jù)有理數(shù)除法法則“除以一個不等于0的數(shù)，等乘以這個數(shù)的倒數(shù)”，先把運算式中的有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，按乘法結(jié)合律，先把其中“互為倒數(shù)”的數(shù)為一組相乘，再把分子或分母相乘能約分的數(shù)為一組相乘，即分組相乘，最后把得數(shù)相乘即可?！纠?】計算：3×(-)÷×(－1)÷13。分析：此題有兩種解法。一是直接按運算式中數(shù)的乘除排列順序運算；二是先把其中的有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法后，再分組相乘。解法1：按運算式中乘除的排列順序運算。原式=×(-)÷×(－)÷13=(-)÷×(－)÷13=(-)××(－)÷13=(-)×(－)÷13=÷13=×=解法2：把運算式中的有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法后，分組相乘。原式=×(-)××(－)×=(-)×(－)×(×)×=1××=×=第三節(jié)：有理數(shù)的乘方如果把n個相同因數(shù)連續(xù)相乘，就得到了不同于加減乘除運算的一種新的運算形式——乘方。問(1)：什么是乘方？答：n個相同因數(shù)a的乘積運算，即a·a·…·a，叫做乘方。乘方運算的結(jié)果叫做冪，讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。a是底數(shù)。n是冪指數(shù)，n是正整數(shù)。所以，乘方用等式表示為：a·a·…·a=。注：冪中的冪指數(shù)n表示底數(shù)a的個數(shù)，所以n是正整數(shù)。單獨的一個數(shù)或字母也可以寫成冪的形式。比如：3=3，a=a。冪指數(shù)1可以省略不寫。問(2)：乘方運算的結(jié)果是如何得出的？答：由乘方的定義可知：兩個相同因數(shù)a的乘積運算，即：a·a=a，冪指數(shù)2相當(dāng)于兩個冪指數(shù)1相加。即：a·a=a·a===a3個相同因數(shù)a的乘積運算，即：a·a·a=a，冪指數(shù)3相當(dāng)于三個冪指數(shù)1相加。即：a·a·a=a·a·a==a。依此類推，……。n個相同因數(shù)a的乘積運算，即：a·a·…·a，冪指數(shù)n相當(dāng)于n個冪指數(shù)1相加。即：a·a·…·a=a·a·…·a==。乘方就是n個相同因數(shù)的乘積運算。所以，有理數(shù)的乘法法則和運算規(guī)律同樣適合乘方運算。問(3)：乘方運算法則是如何規(guī)定的？答：①冪指數(shù)n是幾，就把冪化成幾個相同因數(shù)a的乘積形式，再運用有理數(shù)的乘法法則和運算規(guī)律運算。如：=3·3·3·3·3=243，(－2)=(－2)·(－2)·(－2)=－8，()=···=，()=()·()·()=－。②正數(shù)的任意正整數(shù)次冪都是正數(shù)。如：2=8，=243，=，。③負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。如：(－2)=－32，=，(－5)=625，。④0的任意正整數(shù)次冪都是0。即：=0。第四節(jié)：有理數(shù)的混合運算有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算是有理數(shù)運算法則的綜合運用。問(4)：如何進(jìn)行有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算？答：①運算式中若無括號，直接按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序運算。②運算式中若有括號，通常要先去括號。去括號時，按小括號、中括號、大括號的順序依次去括號。括號內(nèi)、外的運算，都按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序運算?！纠?】計算：{[×18－]÷+[(－5)×+4]}－30。分析：此題屬于有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算。運算式中有括號，按小括號、中括號、大括號的順序依次去括號。括號內(nèi)、外的運算，都按“先乘方，再乘除，最后加減”的順序運算。解：原式={[×18－]÷+[25×+4]}－30={[2－]÷+[20+4]}－30={÷+24}－30={15+24}－30=39－30=9【例4】計算(－＋)×60的值。分析：此題有兩種解法。一是依據(jù)有理數(shù)乘法的分配律，把60分別同中括號內(nèi)的三個數(shù)相乘，去括號把積相加，得出運算結(jié)果。二是先進(jìn)行中括號內(nèi)的加減運算，再把結(jié)果同60相乘。解法1：原式=[＋(－)＋]×60=×60＋(－)×60＋×60=15＋(－12)＋20=15－12＋20=3＋20=23以上運算過程可以簡化為：原式=×60－×60＋×60=15－12＋20=3＋20=23注：先要保證不違背有理數(shù)的運算法則和規(guī)律，才可以簡化運算過程。省略其中的“+”號，簡化了運算過程，但不違背有理數(shù)的運算法則和規(guī)律，運算結(jié)果正確。解法2：原式=(－＋)×60=(－＋)×60=(＋)×60=×60=23典型題型精編解析選擇題：1.下列結(jié)論中錯誤的是（）A.－5－(－6)＋7不能應(yīng)用加法的交換律和結(jié)合律B.－3、－7、8、12加減混合運算的最大值是24，最小值是－30C.若a和b都是c的相反數(shù)，則a＋b＋c=a=bD.4－2＋－5=4＋(－2)＋＋(－5)=4＋＋(－2)＋(－5)應(yīng)用了加法的交換律和結(jié)合律【答案】D【解析】－5－(－6)－7是加減混合形式，不能直接應(yīng)用加法的交換律和結(jié)合律。轉(zhuǎn)換成加法形式(－5)＋6＋(－7),才能應(yīng)用。故A項正確(－3)－(－7)＋8＋12=24，最大值是24，(－3)＋(－7)－8－12=－30，最小值是－30。故B項正確?；橄喾磾?shù)的兩數(shù)之和為0，則a＋c=0，b＋c=0。代換得：a＋b＋c=a＋0=a，a＋b＋c=b＋0=b，即a＋b＋c=a=b。故C項正確。D項應(yīng)用了加法的交換律，沒有運用結(jié)合律。結(jié)合律應(yīng)加括號分組寫成：（4＋）＋[(－2)＋(－5)]。2.若|b＋3|和(2a－4)是相反數(shù)，則ab的值為（）A.8B.－8C.－6【答案】C【解析】|b+3|和(2a－4)都是非負(fù)數(shù)，即0或正數(shù)。正數(shù)和正數(shù)之間不存在相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，滿足已知條件。則：b+3=0，2a-4=0，解得a=2，b=－3，所以ab=－63.下列選項中正確的是（）A.(－12)÷(－5)得數(shù)一定是正數(shù)B.(－9)×24=(－9－)×24=(－9)×24－×24運用的是乘法分配律C.a÷b÷c=a÷(b÷c)=a÷(b×)=a÷運用的是除法結(jié)合律D.若m和n既互為倒數(shù)，又互為相反數(shù)，則m＋n－mn＋1=1【答案】B【解析】49是奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪一定是負(fù)數(shù)。48是偶數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪一定是正數(shù)。負(fù)數(shù)除以正數(shù)，得數(shù)一定是負(fù)數(shù)。故A項錯誤。B項運用了乘法結(jié)合律，簡化了運算。故B項正確。沒有除法結(jié)合律。只有把除法轉(zhuǎn)化為乘法，才能運用乘法結(jié)合律。故C項錯誤。D項中，m和n互為倒數(shù)，則mn=1。m和n又互為相反數(shù)，則m＋n=0。所以m＋n－mn＋1=0－1＋1=0。故D項錯誤。4.若有理數(shù)a、b、c滿足等式|a－1|＋|b＋3|＋(3c－1)=0，則(abc)÷(abc)的值等于（）A.－1B.C.1D.－【答案】D【解析】|a－1|、|b＋3|、(3c－1)都是非負(fù)數(shù)，要使已知等式成立，則|a－1|、|b＋3|、(3c－1)同時都等于0，即a－1=0，b＋3=0，3c－1=0，解得a=1，b=－3，c=。代入已知式子得：(abc)÷(abc)=[1·(－3)·]÷[1·(－3)·()]=[(－3)·]÷[1·(－27)·]=[－1]÷[(－27)·]=1÷(－3)=－。填空題：1.計算：(1)1－2＋3－4＋5－6＋…＋199－200=_________；(2)98＋94＋90＋86＋…＋2－100－96－92－88－…－4=_________?！敬鸢浮?1)1－2＋3－4＋5－6＋…＋199－200=－100；【解析】這200個數(shù)中，每兩個數(shù)相減，得數(shù)都為－1，這樣的兩個數(shù)共有100對。∴該式=(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(199－200)，=(－1)＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)，=100·(－1)，=－100。(2)98＋94＋90＋86＋…＋2－100－96－92－88－…－4=－50?！窘馕觥靠砂岩阎街械臄?shù)寫成正數(shù)和負(fù)數(shù)兩組相加的形式：該式=(98＋94＋90＋86＋…＋2)＋(－100－96－92－88－…－4)。其中，98＋94＋90＋86＋…＋2，從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)減前一個數(shù)，差都等于－4。經(jīng)驗證：這組數(shù)的個數(shù)=＋1=＋1=25個。其中，－100－96－92－88－…－4，從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)減前一個數(shù)，差都等于4。經(jīng)驗證：這組數(shù)的個數(shù)=＋1=＋1=25個?！嘣撌焦灿?5＋25=50個數(shù)。觀察該式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正負(fù)每兩個數(shù)一對相加，得數(shù)都為－2，共25對?！嘣撌?(98－100)＋(94－96)＋(90－92)＋(86－88)＋…＋(2－4)，=(－2)＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)，=25·(－2)，=－50。2.觀察排列的數(shù)：-1?2???-3???4?-5????6???-7???8???-9?10??-11??12??-13??14??-15??16?按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第9?個數(shù)是_______?！敬鸢浮?0【解析】如圖，以橫向為行，以豎向為列。由已知發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從第2行起，每行數(shù)的個數(shù)都比上一行增加兩個數(shù)。即：每行數(shù)的個數(shù)分別為1,3,5,7,9,…，2n－1。則：第10行有2×10－1=19個數(shù)。第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)在中間第10個數(shù)的左側(cè)，其對應(yīng)的數(shù)列為：2，6,12，…，共9行。從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：中間的一列數(shù)，從上至下，2加4得到6，6加6得到12，不斷增加，得到下一個數(shù)。依次類推，到第9行得到的數(shù)90。3.一個大長方形被分成8個小長方形，其中有5個小長方形的面積如圖中的數(shù)字所示，填上表中所缺的面積數(shù)，這個大長方形的面積為_______。【答案】S大長方形=96【解析】如圖，設(shè)表中所缺的小長方形面積為S、S、S，小長方形的長分別為x、x，寬分別為y、y、y、y。S長方形=長×寬。則：S=xy，S=xy，S=xy。由已知小長方形面積得：x·y=10①，x·y=18②，x·y=9③，x·y=15④，x·y=6⑤。由①得：x=，則S=xy=·y=10·。由②③得：x==，即：==?！郤=10·=5。由x=代換得：S=·y=10·。由②⑤得：x==，即：==?！郤=10·=。由②得：x=，則S=xy=·y=18·。由①④得：x==，即：==。∴S=18·=27?！郤=9，S=，S=27。S大長方形=10＋9＋15＋＋18＋9＋27＋6=96。4.已知：a=－3＋6，b=×(－5)，c=(－4)÷(－2)，d=(－1)－(－2)。則：a×b×c÷d=________。【答案】【解析】按有理數(shù)的加減乘除乘方法則，由已知分別求得：a=6－3=，b=－（×5）=－，c=(－3)÷(－2)=÷=×=，d=1－(－8)=－7。注：(－1)相當(dāng)于4個－1連續(xù)相乘，(－2)相當(dāng)于3個－2連續(xù)相乘。則：a×b×c÷d=×(－)×÷(－7)=×(－)××(－)=[×(－)]×[×(－)]=(－10)×(－)=。注：化成乘積的形式后，依據(jù)乘法的結(jié)合律，4個數(shù)可以兩