5同構(gòu)與導(dǎo)數(shù)放縮-原卷版-2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

第5講同構(gòu)與導(dǎo)數(shù)放縮知識(shí)與方法同構(gòu)不等式是近些年高考模擬題的熱點(diǎn)題型，經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸選擇填空和導(dǎo)數(shù)大題中，特別是恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，常規(guī)方法可能需要采用隱零點(diǎn)，往往較為繁瑣,而用同構(gòu)，則會(huì)達(dá)到四兩撥千斤的功效.那么何為同構(gòu)？什么時(shí)候用同構(gòu)呢？顧名思義，同構(gòu)，函數(shù)結(jié)構(gòu)相同時(shí)使用，或者通過變形使不等式兩邊的函數(shù)結(jié)構(gòu)相同。例如題目給了條件FG)≥0能等價(jià)變形為f[gG)]≥f[MQ],然后利用f6)的單調(diào)性，如遞增，再轉(zhuǎn)化為gG)≥島)，這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式，簡(jiǎn)稱同構(gòu)..同構(gòu)第一重境界：雙變量問題X]、X2地位完全等價(jià)，只需把同一個(gè)變量移到不等式同一邊即可。給大家一些常見的例子，一看便知.'S)_"'2)>k(x<X)of(X)—f(X)<kx—kxof(X)—kx<f(X)—kxX—X 1 2 1 2 1 2 11 2 22=y=f(X)—kX為增函數(shù)，求導(dǎo)證明即可f(X)—f(X)k k(X—X)kk k 1 2-<(X<X)=f(X)—f(X)>——1——2-=一一一=f(X)+—X—X XX1 2 1 2XXXX 1X12 12 12 2 1 1>f(x2)+k=y=f(X)+k為減函數(shù).2X X2同構(gòu)第二重境界：指對(duì)跨階時(shí)使用，何謂指對(duì)跨階？簡(jiǎn)單做一個(gè)介紹，eχ、X、lnX中，指數(shù)eχ增長(zhǎng)最快屬于第一階，X其次，屬于第二階，lnX增長(zhǎng)最慢，屬于第三階。如果題目中既出現(xiàn)eχ,又出現(xiàn)lnX,我們暫且稱之為指對(duì)跨階.指對(duì)跨階常見模型及處理方法：(1)積型：同右:ealnea≤blnb >f(X)=XlnXaea≤blnb——三種同構(gòu)方式~><同左:aea≤(lnb)e?nb >f(X)=XeX取對(duì):a+lna≤lnb+ln(lnb) >f(χ)=X+lnX(2)商型：同左:史＜aeinbinbeab一＜———三種同構(gòu)方式》《ainbea b同右: <一ineainbinx取對(duì):a-ina<InzP-ln(inb) Tf(x)=x-inx(3)和差型：ea±a>b±inb—兩種同構(gòu)方式>同左:ea±a>einb±inb同右:ea±inea>b±inbTf(x)=X±inx同構(gòu)第三重境界：有些同構(gòu)式不是很明顯的指對(duì)跨階，需要配湊常數(shù)或者自變量X,此類題型較為含蓄，需要同學(xué)們多加練習(xí)。舉例說明：【例】如：⑴aeax>inx—同1乘~~Taxeax>Xinxax>iogx0xax>xiogX0XaX>(iogX)?alogaxm mm2x3inx≥meXox2inx2≥一eX0xaGnx2)einx2以上就是同構(gòu)的三重境界，很多同學(xué)看完后可能同構(gòu)的運(yùn)用還是不夠靈活，要想用好同構(gòu),還要掌握兩種方法，指對(duì)變換與放縮.常見的指對(duì)變換有x=einx,x=ineX,基于此，有如下一些變形，需要大家理解并掌握.ex xxex=ex+inx，—=eX—inX；—=einX-X

'x eX一一exxinx=inx?einX，X+inX=inXeX，X—inX=in一xe2(1)ex≥x+1neXT≥XneX≥exneX≥—X2,4x(2)inx≤x一1nineX≤XninX≤-einx≤x一1ninx≤ex一2 ,I- 1 「、，inx≥1一一nxinX≥X-1，X常見的指對(duì)變換與放縮結(jié)合有如下幾種：eXxex=ex+inx≥x+inX+1，—=eX-inX>X—inX+1xx =e?nX一X≥inx-x+1；eXx2ex=ex+2inx≥x+2inX+1，X2ex=ex+2inx≥e(x+2inx)exTf(X)=—XTf(X)=xTf(x)=ex±xaa，/mm≥—exxx2ex≥1+x+—2典型例題【例1】對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù).logX-k-2kX≥0:21一一一e2λX--lnX≥≥0;λH.X2lnX-meX≥0;a(eaX+1)≥J1Y2X+—lnX./V XJaln(X-1)+2(X-1)≥ax+2eX;(6)X+alnx+e-χ≥Xa(X>1).e-X-2X-lnX=0;X2eX+lnX=0;【例2】若2X-2y<3-X-3-yA.ln(y-X+1)>0則()B.ln(y-X+1)<0，C.ln∣x-y∣>0D.lnX-y∣<0【例3】已知不等式ax>logx(a>0,a≠1),對(duì)?X∈(0,+∞)恒成立，則a的取值范圍是a.【例4】設(shè)實(shí)數(shù)λ>0,若對(duì)任意的X∈(0,+∞),不等式λe大X-lnX≥0恒成立，則λ的取值范圍為.ωlnX=一Xg(X)=Xe-X若存在x1∈(0,+∞),X2∈R,使得f(X)=g(X)=k(k<0)成立2ek的最大值為()Ix1，，12，則(xΛ

XG 4 1A.Q2 B.e c?— D.—e2 e2【例6】若對(duì)任意x＞。，恒有α(e"+l)≥2[x+']lnx,則實(shí)數(shù)。的最小值為.【例7】已知函/(x)=eχ-αln(αx-0)+”(α＞O),若關(guān)于X的不等式/00＞。恒成立，則實(shí)養(yǎng)。的取值范圍為()/ 、A.∏),e2 B,H),e2∕ C.1? D.【例8】對(duì)任意x＞。，不等式2〃e2x-ln%+lnα≥0恒成立，則實(shí)數(shù)。的最小值為.【例9】已知函數(shù)/G)=〃ei—lnx+lnα.(1)當(dāng)Q=e時(shí)，求曲線y=∕G)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若/G)≥l,求a的取值范圍.【例】IO.已知函數(shù)/(x)=oe4χ-2XlnX.(1)若〃=L討論/G)的單調(diào)性；(2)若∕G)≥O,求α的取值范圍.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知函數(shù)/(X)=叱，g(x)=xer,若存在x∈(0,+∞)

X 1/(x)=gG)=M左<。)成立，則XX的最小值為()

1 2 122 2A.-1 B.—— C.——e e2?er使得1

D.--

e2?設(shè)實(shí)數(shù)〃?〉°?且不寺式陽XInX一(X+m)em'≤0對(duì)x＞。恒成立，則m的最大值是Q2A.e B.— C.2e D.Qi23.已知〃＜。，不等式心+ι?eχ+αlnx≥O對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞l恒成立，則實(shí)數(shù)。的最小值為()C 1A.——— B.—2e C.—- D.—eIe e4.=mln(x+,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()A.O≤m≤3 B.m≥3C.m<3D.m<Q5.已知。＞。，函數(shù)/(x)=e.i—ln(χ+α)-I(X＞0)的最小值為0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是((

A.o4b?γ1ID.ΦC.√6.已知/函數(shù)/G)=X20x-2+lnx-2,的零點(diǎn)，則e2τ°+Inx=7.已知函數(shù)/(x)=Xeai—Inx-ax,若∕G)≥。對(duì)任意%＞。恒成立，則實(shí)數(shù)α的最小值是?8.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+l,g(χ)=ɑre?-4,其中a>Q,求證：g(x)-2∕(x)≥2(lnd!-ln2)9.已知函數(shù)/(%)=x(2x-〃)，若/(x)≥l+x+lnx,求α的取值范圍.10.已知函數(shù)/(X)=xcχ—Cix^,g(x)=InX+X—χ2+1——,當(dāng)Q>0時(shí)，若aZzG)=/G)—QgG)≥。恒成立，求α的取值范圍..已知函數(shù)f(X)=ex+a(lnX—x),求證0<a≤e2時(shí)，f(χ)+e2≥。.X2lnx+1C.已知函數(shù)f(x)= +3a,xg(x)=xe2ax+a.(1)討論f(x),g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若方程f(X)=g(x)有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.“、?Yax3.已知函數(shù)f(x)=2lnX—1+--eaxI2)_r1 1? ,g(x)=x2eaxlnx+——ax-11 4)⑴若a=0,求g(x)的極值;(2)證明:fG)≤g(D?14.已知函數(shù)f(x)=X-lnX,已知實(shí)數(shù)a>0,若f(x)+αe2X+lna≥0在(0,+∞)上恒成立，求α的取值范圍._，八1、 -16.若X∈(0,-)時(shí)，關(guān)于X的不等式ax?eOX+2lnX≤0恒成立，求a的最大值.e17.已知函數(shù)f(X)