2023屆湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣一中數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的最小正周期為，若，則的最小值為（）A． B． C． D．3．設(shè)，則（）A．3 B．2 C．1 D．04．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為成等比數(shù)列，且，則等于（）A． B． C． D．5．已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．6．等差數(shù)列中，，則().A．110 B．120 C．130 D．1407．中,，則（）A．5 B．6 C． D．88．函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，其中是圖象的最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．10．在中，，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．正方體中，分別是的中點(diǎn)，則所成的角的余弦值是__________．12．已知數(shù)列滿足則的最小值為__________.13．已知六棱錐的底面是正六邊形，平面，.則下列命題中正確的有_____．(填序號(hào))①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PAE；③BC∥平面PAE；④直線PD與平面ABC所成的角為45°.14．函數(shù)的反函數(shù)為____________．15．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．16．?dāng)?shù)列滿足，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線和.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.18．已知直線：，一個(gè)圓的圓心在軸上且該圓與軸相切，該圓經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓的方程；（2）求直線被圓截得的弦長．19．從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？20．眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽(yù)，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識(shí)競賽.已知甲、乙兩隊(duì)參賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.（1）分別求甲隊(duì)總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分的概率.21．已知點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量∥，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若m＝3，求向量與的夾角．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

連，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，不難看出的最小值是的連線,由余弦定理即可求解．【詳解】解：連，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，

連，則的長度就是所求的最小值．

，可得

又,

,

在中，由余弦定理可求得,故選B．【點(diǎn)睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，余弦定理的應(yīng)用，是中檔題．2、A【解析】

由正弦型函數(shù)的最小正周期可求得，得到函數(shù)解析式，從而確定函數(shù)的最大值和最小值；根據(jù)可知和必須為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)才能夠滿足等式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可構(gòu)造方程組求得，；從而可知時(shí)取最小值.【詳解】由最小正周期為可得：，和分別為的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)設(shè)為最大值點(diǎn)，為最小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及到正弦型函數(shù)最小正周期和函數(shù)值域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)的最值確定和為最值點(diǎn)，從而利用整體對(duì)應(yīng)的方式求得結(jié)果.3、B【解析】

先求內(nèi)層函數(shù)，將所求值代入分段函數(shù)再次求解即可【詳解】，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)具體函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】

成等比數(shù)列，可得，又，可得，利用余弦定理即可得出．【詳解】解：成等比數(shù)列，，又，，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱可得，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∵奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

直接運(yùn)用等差數(shù)列的下標(biāo)關(guān)系即可求出的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，因此，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、D【解析】

根據(jù)余弦定理，可求邊長.【詳解】，代入數(shù)據(jù)，化解為解得或（舍）故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了已知兩邊及其一邊所對(duì)角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎(chǔ)題型.8、D【解析】函數(shù)的周期為，四分之一周期為，而函數(shù)的最大值為，故，由余弦定理得，故.9、B【解析】

補(bǔ)集：【詳解】因?yàn)?，所?選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算，需要掌握交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算。屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】

先根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算出的值，然后再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)形式下向量的夾角計(jì)算，難度較易.注意：的夾角并不是，而應(yīng)是的補(bǔ)角.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取的中點(diǎn)，由得出異面直線與所成的角為，然后在由余弦定理計(jì)算出，可得出結(jié)果．【詳解】取的中點(diǎn)，由且可得為所成的角，設(shè)正方體棱長為，中利用勾股定理可得，又，由余弦定理可得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的計(jì)算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合適的三角形，利用余弦定理或銳角三角函數(shù)來計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題．12、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．13、②④【解析】

利用題中條件，逐一分析答案，通過排除和篩選，得到正確答案．【詳解】∵AD與PB在平面的射影AB不垂直，∴①不成立；∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六邊形ABCDEF中，AB⊥AE，PAAE=A，∴AB⊥平面PAE，且AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE，故②成立；∵BC∥AD∥平面PAD，平面PAD平面PAE=PA，∴直線BC∥平面PAE也不成立，即③不成立．在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故④成立．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，解題時(shí)要注意直線與平面成的角、直線與平面垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．14、【解析】

由原函數(shù)的解析式解出自變量x的解析式，再把x和y交換位置，即可得到結(jié)果.【詳解】解：記∴故反函數(shù)為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的定義，求反函數(shù)的方法和步驟，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域．15、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)題意可求得和的等式相加，求得，進(jìn)而推出，判斷出數(shù)列是以6為周期的數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)求出答案?！驹斀狻繉⒁陨蟽墒较嗉拥脭?shù)列是以6為周期的數(shù)列，故【點(diǎn)睛】對(duì)于遞推式的使用，我們可以嘗試讓取或，又得一個(gè)遞推式，將兩個(gè)遞推式相加或者相減來找規(guī)律，本題是一道中等難度題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）借助兩直線垂直的充要條件建立方程求解；（2）借助兩直線平行充要條件建立方程求解.【詳解】（1）若，則.（2）若，則或2.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，與重合，時(shí)，符合條件，∴.【點(diǎn)晴】解析幾何是運(yùn)用代數(shù)的方法和知識(shí)解決幾何問題一門學(xué)科,是數(shù)形結(jié)合的典范,也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.解答本題時(shí)充分運(yùn)用和借助題設(shè)條件中的垂直和平行條件,建立了含參數(shù)的直線的方程,然后再運(yùn)用已知條件進(jìn)行分析求解,從而將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸,進(jìn)而使問題獲解.如本題的第一問中求參數(shù)的值時(shí)，是直接運(yùn)用垂直的充要條件建立方程,這是方程思想的運(yùn)用；再如第二問中求參數(shù)的值時(shí)也是運(yùn)用了兩直線平行的條件,但要注意的是這個(gè)條件不是兩直線平行的充要條件,所以一定代回進(jìn)行檢驗(yàn),這也是學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由題意設(shè)圓心，半徑，將點(diǎn)代入圓C的方程可求得a，可得圓的方程；（2）求出圓心C到直線l的距離d，利用勾股定理求出l被圓C所截得弦長．【詳解】（1）∵圓心在軸上且該圓與軸相切，∴設(shè)圓心，半徑，，設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入得，∴，∴所求圓的方程為.（2）∵圓心到直線：的距離，∴直線被圓截得的弦長為.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及圓的方程的應(yīng)用問題，考查了垂徑定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．19、(1)，；(2)至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【解析】

(1)利用等比數(shù)列求和公式可求出n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入與n年內(nèi)的總投入；（2）設(shè)至少經(jīng)過年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，可得－＞0，結(jié)合（1）可得，解得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內(nèi)的總投入為=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］第1年旅游業(yè)收入為400萬元，第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)，…，第n年旅游業(yè)收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］(2)設(shè)至少經(jīng)過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此－＞0，即：1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力、等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.20、(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】

（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，分析可知A事件三人都沒有答對(duì)，按相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生計(jì)算概率，B事件即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，由n次獨(dú)立事件恰有k次發(fā)生計(jì)算即可（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件，分別有互斥事件概率加法公式及相互獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為0分”為事件，“甲隊(duì)總得分為2分”為事件，甲隊(duì)總得分為0分，即甲隊(duì)三人都回答錯(cuò)誤，其概率；甲隊(duì)總得分為2分，即甲隊(duì)三人中有1人答錯(cuò)，其余兩人答對(duì)，其概率；（2）記“乙隊(duì)得1分”為事件，“甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分”為事件；事件即乙隊(duì)三人中有2人答錯(cuò)，其余1人答對(duì)，則，甲隊(duì)得2分乙隊(duì)得1分即事件、