全國高中物理競賽相對論專題訓(xùn)練題答案

全國高中物理競賽相對論專題訓(xùn)練題答案

1）根據(jù)動量守恒定律，假設(shè)電子靜止時質(zhì)量為m，光子頻率為ν，電子完全吸收光子能量后以速度υ運(yùn)動，有公式hν/c=mυ/(1-υ^2/c^2)，同時碰撞前后系統(tǒng)總能量E=mc^2/(1-υ^2/c^2)。將υ消去后，得到E=2mc^2+hν^2/(1-υ^2/c^2)。然而，由碰撞前后系統(tǒng)總能量的計算公式E=hν+mc^2可知，E與E'不等，因此該假設(shè)過程不符合能量守恒定律，不可能發(fā)生。2）在光電效應(yīng)過程中，束縛在金屬中的電子和射入金屬的光子構(gòu)成的系統(tǒng)動量不守恒，只需考慮能量轉(zhuǎn)換問題。設(shè)電子逸出金屬表面所需的最小功為逸出功W，逸出后電子速度為υ，入射光子能量為hν，電子靜止質(zhì)量為m，則有公式hν≥W+mc^2/(1-υ^2/c^2)。由于逸出電子速度一般比光速小很多，可以近似認(rèn)為1-υ^2/c^2≈1，因此公式簡化為hν≥W+mc^2。只要滿足這個條件，就能產(chǎn)生光電效應(yīng)。解析本題需要用到熱力學(xué)第一定律，即能量守恒定律。根據(jù)題意可知，液態(tài)氫的焓變?yōu)?285.8kJ/mol，而氫氣的焓變?yōu)?，因此氫氣的熱量來自于液態(tài)氫的放熱，即Q=-nΔH=-2mol×(-285.8kJ/mol)=571.6kJ根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程，可得PV=nRT其中P為氫氣的壓強(qiáng)，V為氫氣的體積，n為氫氣的摩爾數(shù)，R為氣體常數(shù)，T為氫氣的溫度。將上式化簡可得V=nRT/P將Q代入熱力學(xué)第一定律的公式中可得Q=ΔU+W其中ΔU為氫氣的內(nèi)能變化，W為氣體對外做功。由于氫氣的體積不變，因此W=0，代入上式可得ΔU=Q=571.6kJ根據(jù)內(nèi)能的定義，可得ΔU=nCvΔT其中Cv為氫氣的定容熱容，ΔT為氫氣的溫度變化。將上式代入上式可得nCvΔT=571.6kJ由于氫氣的體積不變，因此氫氣的溫度變化只與內(nèi)能變化有關(guān)。因此，可以通過氫氣的內(nèi)能變化來計算氫氣的溫度變化。將氫氣的摩爾質(zhì)量和定容熱容代入上式可得ΔT=571.6kJ/(2mol×20.8J/(mol·K))=1376K因此，氫氣的溫度變化為1376K。解析：(1)測得B尺長度縮短了，導(dǎo)致結(jié)果為A2B1，A2B2，A1B1，A1B2。(2)測得A尺長度縮短了，導(dǎo)致結(jié)果為A2B1，A1B1，A2B2，A1B2。(3)測得A尺和B尺長度均縮短了，縮短的長度一樣，結(jié)果為ABA2B1，22（同時），A1B2，A1B1。解析：(1)設(shè)lx、ly為S上測得桿長在x、y方向分量，lx'、ly'為S'上測得桿長在x'、y'方向分量。由公式tgθ=ly/lx=ly'/lx'/(1-v^2/c^2/2)，可得θ=arctg[(1-v^2/c^2)/(1-v^2/c^2/2)]。(2)由長度縮短公式l'=l*(1-v^2/c^2)^0.5，可得l=l'/(1-v^2/c^2/2)^0.5，再代入坐標(biāo)變換公式，可得長度縮短只發(fā)生在運(yùn)動方向上。解析：(1)S系固連在實驗室上，S'固連在原子核上，S、S'相應(yīng)坐標(biāo)軸平行。取X軸正向為沿原子核運(yùn)動方向上。由洛倫茲變換公式，可得vx'=(vx-v)/(1-vvx/c^2)。(2)由速度變換公式，可得v'x=(v+vx)/(1+vvx/c^2)。代入數(shù)據(jù)計算可得v'x≈0.946c。(3)由能量守恒公式Ek+mc^2=E'+mc^2，代入數(shù)據(jù)計算可得Ek≈0.054mc^2。(4)由動量守恒公式p=mv=mvx，代入數(shù)據(jù)計算可得p≈0.121mc。解析：1.光子與反射鏡碰撞過程中的動量和能量守恒定律表現(xiàn)為Ec+MV=-E'c+MV'，E+MV^2/2=E'+MV'^2/2。2.從上兩式消去V'，得E+E'=(1+V/c)(M+M')，E-E'=(1-V/c)(M-M')。3.當(dāng)V/c<<1時，可得E'≈E(1-2V/c)。注：文章中的一些符號可能無法正確顯示，因此在改寫時需要根據(jù)上下文進(jìn)行推斷和修改。解析：（1）沿棒長方向運(yùn)動時的“長度收縮”效應(yīng)和（2）運(yùn)動物體的“質(zhì)速關(guān)系”都是相對論效應(yīng)。當(dāng)棒（K系）以速度v相對于觀察者（K′系）沿棒長方向（x軸）運(yùn)動時，靜止棒長l是固有長度，因此，運(yùn)動長度為：l'=l/√(1-v2/c2)運(yùn)動質(zhì)量為：m'=m/√(1-v2/c2)則線密度為：ρ'=m'/l'=ρ/√(1-v2/c2)若棒在垂直長度方向上運(yùn)動時，長度不變，即l''=l，運(yùn)動質(zhì)量仍為m'，則線密度為：ρ''=m'/l=ρ/√(1-v2/c2)練習(xí)16：根據(jù)洛侖茲變換，得到兩個事件的空間和時間間隔公式：Δx'=(Δx-vΔt)/√(1-v2/c2)Δt'=(Δt-Δxv/c2)/√(1-v2/c2)由題意得：Δt=1s，Δx=1m，Δx'=2m。因此：Δt'=-0.577×10^-8(s)v=c(1-(Δx/Δx')2)^0.5將Δt'v/Δx'c=-0.5帶入可得Δt'=-Δx'/(2c)，即Δt'=-0.5×10^-8(s)。注意，在S'系中觀察到兩事件不是同時發(fā)生的，所以間隔Δx'=2m可以大于間隔Δx=1m。如果在S'系中觀察到兩事件也是同時發(fā)生的，那么Δx'就表示運(yùn)動長度，就不可能大于本征長度Δx，這時可以用長度收縮公式Δx'=Δx/√(1-v2/c2)，計算它們的相對速度。練習(xí)17：以地球為S系，則Δt=10s，Δx=100m。根據(jù)洛侖茲坐標(biāo)和時間變換公式：x'=(x-vt)/√(1-v2/c2)t'=(t-vx/c2)/√(1-v2/c2)飛船上觀察運(yùn)動員的運(yùn)動距離為：Δx'=(Δx-vΔt)/√(1-v2/c2)≈-4×10^9(m)運(yùn)動員運(yùn)動的時間為：Δt'=(Δt-vΔx/c2)/√(1-v2/c2)≈16.67(s)在飛船上看，地球以0.8c的速度后退，后退時間約為16.67s；運(yùn)動員的速度遠(yuǎn)小于地球后退的速度，所以運(yùn)動員跑步的距離約為地球后退的距離，即4×10^9m。練習(xí)18：在相對論能量關(guān)系E=E0+EK中，靜止能量E0已知，且E0=mc2，總能量為：E=E0/√(1-v2/c2)+EK/√(1-v2/c2)所以，粒子的運(yùn)動時為：Δt'=Δt/√(1-v2/c2)練習(xí)19：根據(jù)相對論動能公式，粒子的非相對論動能為Ek=mv2/2，相對論動能為E`k=mc2/(1-v2/c2)，其中m為運(yùn)動質(zhì)量。將兩個動能相等，可得mc2/(1-v2/c2)-mv2/2=0，整理得v2/c2=1/2(1-1/(1+(2mc2/mv2))).解得速率為v=c(1-2mc2/mv2)^(1/2)。練習(xí)20：1.根據(jù)光速不變原理，兩慣性系中光速大小相同，以和分別表示光子速度方向在S和S系中與x和x軸的夾角，則有cosθ=cosθ'/(1-v/c)和cosα=cosθ/(1+v/c)，其中v為兩系間相對速度。因此，有α=arccos(v/c+cosθ)/(1+v/c)。可以看出，光源的速度v越大，圓錐的頂角越小。2.在S'系中，質(zhì)點靜止，在Δt'時間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點靜能的減少，即PΔt'=Δmc2，式中Δm為Δt'時間內(nèi)質(zhì)點減少的質(zhì)量。在S系中，質(zhì)點以速度v勻速運(yùn)動，由于輻射，其動量和能量亦減少。轉(zhuǎn)化為光子的總動量為Δp=Δmv/(1-v2/c2)，轉(zhuǎn)化為光子的總能量為ΔE=Δmc2/(1-v2/c2)。在S系中，光源靜止，因此可以測得輻射時間Δt'為本征時。當(dāng)在S系中發(fā)生膨脹時，Δt會變成Δt'=Δt/(1-v^2/c^2)。通過這些公式可以計算出單位時間內(nèi)輻射的全部光子的總動量和總能量，分別為Δpv/c和ΔE=PΔt。根據(jù)相對論的理論，光速是不變的，而且不同參考系中的觀察者會有不同的時間和空間的體驗。因此，當(dāng)光源在S系中靜止時，我們可以測量出輻射時間Δt'。但是，當(dāng)在S系中發(fā)生膨脹時，時間會變得緩慢，因此我們需要使用Δt'=Δt/(1-v^2/c^2)來計算出在S系中的時間。通過這個公式，我們可以計算出單位時間內(nèi)輻射的全部光子的總動量和總能