行列式乘法法則

關(guān)于行列式乘法法則第1頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三1．用消元法解二元線性方程組(1)(2)§2.1引言第2頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三原方程組有唯一解由方程組的四個(gè)系數(shù)確定第3頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三若記則當(dāng)時(shí)該方程組的解為第4頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三2．在三元一次線形方程組求解時(shí)有類似結(jié)果即有方程組當(dāng)時(shí)，有唯一解第5頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三其中n元一次線性方程組它的解是否也有類似的結(jié)論呢？第6頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三歷史資料：17世紀(jì)末，萊布尼茲在研究線性方程組的解時(shí),首先使用現(xiàn)在稱為結(jié)式的一個(gè)行列式.大約1729年，馬克勞林開始用行列式方法解含2-4個(gè)未知量的線性方程組，克萊姆1750年給出行列式求解線性方程組的重要結(jié)論，即克萊姆法則.這些早期工作大都是為了研究方程組而利用行列式這一工具，以求得到方程組解的簡潔表達(dá)式.對(duì)行列式的系統(tǒng)研究第一人是法國人范德邦,而行列式這一名詞則由柯西給出，現(xiàn)今符號(hào)是凱萊1841年引進(jìn)的.東方最早給出行列式概念的是日本人關(guān)孝和（早于萊布尼茲）.第7頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三為此，本章依次解決如下問題：2）n級(jí)行列式的性質(zhì)與計(jì)算？1）怎樣定義n級(jí)行列式？3）方程組(＊)在什么情況下有解？有解的情況下，如何表示此解？第8頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、排列二、逆序逆序數(shù)§2.2排列三、奇排列偶排列四、對(duì)換第9頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、排列定義稱為一個(gè)級(jí)排列．由1，2，…，n

組成的一個(gè)有序數(shù)組123，132，213，231，312，321．如，所有的3級(jí)排列是

——共6=3！個(gè).(

階乘)注：所有不同級(jí)排列的總數(shù)是第10頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三二、逆序逆序數(shù)

我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)．在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與標(biāo)準(zhǔn)次序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，則稱這對(duì)數(shù)為一個(gè)逆序；第11頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三①排列123稱為標(biāo)準(zhǔn)排列，其逆序數(shù)為０．注：②排列的逆序數(shù)常記為③

后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù).后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)或前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)．方法一方法二第12頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例1．排列

31542中，逆序有31，32，54，52，42的逆序數(shù).

例2．求級(jí)排列解：方法一第13頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．三、奇排列、偶排列定義標(biāo)準(zhǔn)排列

123為偶排列．注：練習(xí)：求下列排列的逆序數(shù)并討論其奇偶性．（1）（2）第14頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三答案:當(dāng)時(shí)為偶排列；當(dāng)時(shí)為奇排列.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶排列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇排列.方法一方法二（2）τ第15頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三四、對(duì)換1.定義把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，得到另一個(gè)排列，這一變換稱為一個(gè)對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．第16頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證明1)特殊情形：作相鄰對(duì)換對(duì)換與除外，其它元素所成逆序不改變.對(duì)換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．2.定理1設(shè)排列為第17頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)時(shí)，所成逆序不變;經(jīng)對(duì)換后的逆序增加1個(gè),經(jīng)對(duì)換后所成逆序不變，的逆序減少1個(gè).因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時(shí)，現(xiàn)來對(duì)換與2)

一般情形第18頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.第19頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三所有級(jí)排列中，奇、偶排列各半，均為個(gè).

設(shè)在全部

階排列中，有個(gè)奇排列，個(gè)偶排列，下證．

將

個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這

個(gè)奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，

同理，將

個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這

個(gè)偶排列全變成奇排列，并且它們彼此不同，推論1證明故第20頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一系列對(duì)換互換，并且所作對(duì)換的次數(shù)與這個(gè)任意一個(gè)排列與標(biāo)準(zhǔn)排列都可經(jīng)過排列的奇偶性相同．3.定理2

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),因此知結(jié)論成立.證明而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)為0）,第21頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、行列式定義二、n

級(jí)行列式的等價(jià)定義§2.3n級(jí)行列式第22頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、行列式的定義1.二級(jí)行列式2.三級(jí)行列式第23頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三沙路法對(duì)角線法第24頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三3.n

級(jí)行列式的定義等于所有取自不同行不同列的n

個(gè)元素的乘積(1)每一項(xiàng)（1）都按下列規(guī)則帶有符號(hào)：當(dāng)為奇排列時(shí)（1）帶負(fù)號(hào)；當(dāng)為偶排列時(shí)（1）帶正號(hào)；n級(jí)行列式的代數(shù)和，這里為的排列.第25頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三即這里表示對(duì)所有1、2、…、n的n級(jí)排列求和．第26頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三2)中的數(shù)稱為行列式D處于注:第i行第j列的元素，i稱為行指標(biāo)，j稱為列指標(biāo).3)n級(jí)行列式定義展開式中共有n！項(xiàng)．1)行列式常簡記為或主對(duì)角線副對(duì)角線第27頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例1計(jì)算行列式第28頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例2.第29頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一般地,對(duì)角形行列式第30頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三類似可得：上三角形行列式下三角形行列式第31頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例3.

已知

,求的系數(shù)

.由n級(jí)行列式定義，是一個(gè)的多項(xiàng)式函數(shù)，且最高次冪為,顯然含的項(xiàng)有兩項(xiàng):與即與中的系數(shù)為-1.解:第32頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三這里表示對(duì)所有1、2、…、n的n級(jí)排列和．二、n

級(jí)行列式的等價(jià)定義第33頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證明：按行列式定義有記對(duì)于D中任意一項(xiàng)總有且僅有中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等;第34頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三反之，對(duì)于中任意一項(xiàng)也總有且僅有D中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等．于是D與中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而第35頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三類似地，有第36頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、行列式的性質(zhì)二、應(yīng)用舉例§2.4行列式的性質(zhì)第37頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三轉(zhuǎn)置行列式行列式設(shè)稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記作或第38頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三行列互換，行列式不變，即一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1第39頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三記另一方面，按行列式的等價(jià)定義Ｄ可表成證：其中按行列式的定義第40頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符號(hào)之外．即推論

行列式中某一行（列）為零，則行列式為零．

性質(zhì)2或者說，以一數(shù)乘行列式的一行（列）就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘此行列式．記為或第41頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可按此行（列）拆成兩個(gè)行列式之和，即性質(zhì)3第42頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三思考：？第43頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三如果行列式中有兩行（列）相同，那么行列式為0．（所謂兩行相同指的是兩行元素對(duì)應(yīng)都相等）．性質(zhì)4設(shè)行列式證：中第

i行與第

k

行相同，第44頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三即，于是，第45頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三行列式中兩行（列）成比例，則行列式為0.證：由性質(zhì)2、性質(zhì)4即得．把行列式的某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式不變.記為或證：由性質(zhì)3、性質(zhì)5即得．性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)7對(duì)換行列式中兩行（列）位置，行列式反號(hào)．記為或第46頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)證：第47頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)性質(zhì)第48頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例1.計(jì)算行列式說明：計(jì)算行列式時(shí)可多次利用行列式的性質(zhì)把它化為上三角形或下三角形，從而算得行列式的值．第49頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例2.計(jì)算行列式解：第50頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例3.計(jì)算行列式解：第51頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第52頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例4.若

n級(jí)行列式滿足證明：當(dāng)

n

為奇數(shù)時(shí)，的每行提取-1，得證：由有設(shè)第53頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三∴當(dāng)

n為奇數(shù)時(shí)，故第54頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、矩陣二、矩陣的初等行變換§2.5行列式的計(jì)算三、行列式的計(jì)算四、矩陣的初等列變換第55頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、矩陣1.定義由s×n個(gè)數(shù)排成

s行

n列的表稱為一個(gè)

s×n矩陣，j為列指標(biāo).簡記為數(shù)

稱為矩陣A的

i

行j

列的元素，其中i為行指標(biāo)，第56頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三若矩陣則說A為數(shù)域

P上的矩陣．當(dāng)

s=n時(shí)，稱為n級(jí)方陣．由n級(jí)方陣定義的

n級(jí)行列式稱為矩陣A的行列式，記作或detA．第57頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三2.矩陣的相等則稱矩陣A與B相等，記作

A=B．設(shè)矩陣如果第58頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三1)以P中一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的一行；2)把矩陣的某一行的k倍加到另一行，；3)互換矩陣中兩行的位置．注意：二、矩陣的初等行變換1.定義數(shù)域P上的矩陣的初等行變換是指：矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣B，一般地A≠B．第59頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三如果矩陣A的任一行從第一個(gè)元素起至該行的2.階梯形矩陣第一個(gè)非零元素所在的下方全為零；若該行全為0，則它的下面各行也全為0，則稱矩陣A為階梯形矩陣．

第60頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成階梯形矩陣．性質(zhì)1第61頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第62頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第63頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三

例1

計(jì)算行列式

三、行列式的計(jì)算方法：階梯陣，從而算得行列式的值．對(duì)行列式中的A作初等行變換，把它化為第64頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三1)以P中一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的一列；2)把矩陣的某一列的k倍加到另一列，；3)互換矩陣中兩列的位置．四、矩陣的初等列變換定義數(shù)域P上的矩陣的初等列變換是指：矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．第65頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三注意：把它化成列階梯陣，從而算得行列式的值．計(jì)算行列式時(shí)，也可對(duì)A作初等列變換，也可同時(shí)作初等行變換和列變換，有時(shí)候這樣可使行列式的計(jì)算更簡便．第66頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、余子式、代數(shù)余子式二、行列式按行(列)展開法則§2.6行列式按一行（列）展開第67頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三引入可見，三級(jí)行列式可通過二級(jí)行列式來表示．第68頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、余子式、代數(shù)余子式定義在

n

級(jí)行列式中將元素

所在的第

i

行與第

j

列劃去，剩下個(gè)元素按原位置次序構(gòu)成一個(gè)級(jí)的行列式，稱之為元素的余子式,記作．第69頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三令稱之為元素的代數(shù)余子式．注：①

行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式．無關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān)．②

元素的余子式和代數(shù)余子式與的大小第70頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三元素除外都為

0，則1.引理二、行列式按行(列)展開法則若n

級(jí)行列式

D=的中第

i

行所有第71頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證：先證的情形，即由行列式的定義，有第72頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論成立。一般情形：第73頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論成立。第74頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三2.定理行列式

D等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或行列式按行（列）展開法則第75頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證：第76頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例1.計(jì)算行列式解：第77頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例2.證明范德蒙行列式

第78頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證：用數(shù)學(xué)歸納法.

時(shí)，

假設(shè)對(duì)于級(jí)范德蒙行列式結(jié)論成立．即結(jié)論成立．第79頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三把從第

n

行開始，后面一行減去前面一行的倍，得下證對(duì)于

n

級(jí)范德蒙行列式結(jié)論也成立.第80頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第81頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三范德蒙行列式中至少兩個(gè)相等．注：第82頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三3.推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第83頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三證第84頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三相同∴當(dāng)時(shí),同理可證,第85頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：第86頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例3.設(shè)求

解：和第87頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第88頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三例4.證明：

對(duì)k用數(shù)學(xué)歸納法第89頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、非齊次與齊次線性方程組的概念二、克蘭姆法則及有關(guān)定理§2.7克蘭姆法則第90頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、非齊次與齊次線性方程組的概念設(shè)線性方程組非齊次線性方程組．若常數(shù)項(xiàng)不全為零，則稱為簡記為第91頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三則稱為齊次線性方程組．若常數(shù)項(xiàng)即簡記為第92頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三(1)非齊次線性方程組(m=n時(shí)的情況)．(2)齊次線性方程組(m=n時(shí)的情況)．第93頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三線性方程組（1）(2)的系數(shù)行列式

第94頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三對(duì)于齊次線性方程組除零解外的解（若還有的話）稱為非零解．注：一定是它的解，稱之為零解．第95頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三二、克萊姆法則定理4如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式

則方程組(１)有唯一解第96頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三其中是把行列式中第列所得的一個(gè)n階行列式，即的元素用方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)代換

第97頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三資料：克萊姆是瑞士數(shù)學(xué)家，1704年7月31日生于日內(nèi)瓦，1752年1月4日去世于法國塞茲河畔的巴尼奧勒.早年在日內(nèi)瓦讀書，1724年起在日內(nèi)瓦加爾文學(xué)院任教，1734年成為幾何學(xué)教授，1750年任哲學(xué)教授.他一生未婚，專心治學(xué)，平易近人，德高望重，先后當(dāng)選為倫敦皇家學(xué)會(huì)、柏林研究院和法國、意大利等學(xué)會(huì)成員.1750年，他在專著《線性代數(shù)分析導(dǎo)論》中提出了克萊姆法則.(其實(shí)萊布尼茲（1693年）和馬克勞林（1748年）也給出了該法則，但他們的記法不如克萊姆，故流傳下來).第98頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第99頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三第100頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三注：在第三章中還將證明這個(gè)條件也是充分的．即有非零解第101頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三．例2：問取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解?解:若方程組有非零解，則∴當(dāng)時(shí)，方程組有非零解．第102頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三評(píng)論：

cramer法則給出一類線性方程組的公式解，明確了解與系數(shù)的關(guān)系，這在以后的許多問題的討論中是重要的，同時(shí)便于編成程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算.但作為一種計(jì)算方法而言要解一個(gè)n個(gè)未知量、n個(gè)方程的線性方程組，要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式，計(jì)算量較大.另一方面該公式對(duì)n個(gè)未知量，m個(gè)方程的一般線性方程組的求解就無能為力。第103頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、k

級(jí)子式余子式代數(shù)余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理§2.8拉普拉斯定理行列式乘法法則三、行列式乘法法則第104頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三拉普拉斯（749-1827）：法國數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家,16歲入開恩大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后為巴黎軍事學(xué)院教授.曾任拿破侖的內(nèi)政部長,后被拿破侖革職.也曾擔(dān)任過法蘭西學(xué)院院長.寫了《天體力學(xué)》（共5卷）,《關(guān)于幾率的分析理論》的不朽著作，贏得“法蘭西的牛頓”的美譽(yù).拉普拉斯的成就巨大，現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有所謂的拉普拉斯變換、拉普拉斯方程、拉普拉斯展開式等.他正好死于牛頓死亡的第100年，他的最后一句話是‘我們知之甚少，不知道的卻甚多’.第105頁，講稿共116頁，2023年5月2日，星期三一、k

級(jí)子式與余子式、代數(shù)余子式定義在一個(gè)n級(jí)行列式D中任意選定k行k列按照原來次序組成一個(gè)k級(jí)行列式M，稱為行列()，位于這些行和列的交叉點(diǎn)上的個(gè)元素式D的一個(gè)k級(jí)子式；在D中劃去這k行k列后式，稱為

k級(jí)子式M的余子式；