第一章 集合與常用邏輯用語 知識點(diǎn)總結(jié)梳理高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5/5新教材人教A版2019版數(shù)學(xué)必修第一冊第一章知識點(diǎn)清單目錄第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念1.2集合間的基本關(guān)系1.3集合的基本運(yùn)算1.4充分條件與必要條件1.5全稱量詞與存在量詞1.1集合的概念一、元素與集合的相關(guān)概念1.元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集），常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.3.集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.4.集合中元素的特性（1）確定性：集合中的元素必須是確定的.（2）互異性：集合中的元素一定是不同的，相同對象歸入同一集合只能算作一個元素（3）無序性：構(gòu)成集合的元素?zé)o先后順序之分.二、元素與集合的關(guān)系1.屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a2.不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a三、常用數(shù)集及其記法（1）N（2）N（3）Z（4）Q（5）R四、集合的表示方法1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.2.描述法：把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|五、集合中元素特性的運(yùn)用1.確定性的運(yùn)用：元素在集合中，元素就滿足集合的限制條件，由此可以列出方程或不等式，可以解出字母的所有可能值或取值范圍.2.互異性的運(yùn)用：在表示集合時，相同的對象只能算一個元素，在求解集合問題時互異性是檢驗(yàn)的依據(jù).3.無序性的運(yùn)用：研究元素與集合的關(guān)系時，無序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).六、集合的表示1.方法的選擇：元素個數(shù)少或者元素個數(shù)多但是有規(guī)律時可考慮列舉法；元素個數(shù)多且有公共屬性或者不宜列舉時考慮描述法.2.用列舉法表示集合時的省略：元素個數(shù)多或元素個數(shù)無限時，在不發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.如“從1到1000的所有自然數(shù)”可以表示為{1，2，3，…，1000}，自然數(shù)集N可以表示為{0，1，2，3，…}.3.用描述法表示集合時的注意事項(xiàng)（1）寫清楚集合中的代表元素及其范圍，如數(shù)或點(diǎn)等；（2）用于描述共同屬性內(nèi)容的語言要力求簡潔、準(zhǔn)確；（3）所有描述的內(nèi)容都要寫在“{}”內(nèi)，且“{}”內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語.七、集合中參數(shù)問題的解法求解含參數(shù)的集合問題時，若參數(shù)的取值對解題有影響，則需對參數(shù)進(jìn)行分類討論.1.對參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的邏輯劃分.如在研究方程ax+b=0時，若a≠0，則此方程是一元一次方程，按一元一次方程求解即可；若a=0，則此方程不是一元一次方程2.求參數(shù)值的問題：先利用條件列出含參數(shù)的等式，再解方程（組）求值，最后檢驗(yàn)參數(shù)的值是否符合題意.解題時要注意：（1）列等式時要考慮到元素的無序性，元素的無序性主要體現(xiàn)在：①給出的對象屬于某集合，則它可能等于集合中的任一元素；②給出的兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.（2）求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，所求參數(shù)的值不僅要適合所有條件，還要滿足同一集合中的元素互不相等.3.求參數(shù)的取值范圍問題：先利用條件列出不等式（組），再解不等式（組）得到參數(shù)的取值范圍.16/161.2集合間的基本關(guān)系一、子集、集合相等、真子集1.子集（1）概念：如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B

的子集，記作A?B（或B?A），讀作“A包含于B”（或“B包含A”）（2）圖示：（3）性質(zhì)：任何一個集合是它本身的子集，即A?A；對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C2.集合相等（1）概念：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個

元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B（2）圖示：（3）性質(zhì)：A?B，且B?A?A=B；A=B，且B=C，則A=C3.真子集（1）概念：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作A?B（或B?A）（2）圖示：（3）性質(zhì)：A?B，且B?C，則A?C；A?B，且A≠B，則A?B二、空集1.定義：不含任何元素的集合叫做空集2.符號：?3.規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、Venn圖1.在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.Venn圖可以直觀地表示集合間的關(guān)系.常見數(shù)集間的關(guān)系如圖所示.?四、集合間關(guān)系的判斷1.判斷集合間關(guān)系的方法（1）列舉法：對于能用列舉法表示的集合，先用列舉法將兩個（或多個）集合表示出來，再通過對比兩個（或多個）集合中的元素來判斷其關(guān)系.（2）元素特征法：弄清集合中元素的限制條件，再利用限制條件來判斷集合間的關(guān)系.（3）圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖表示集合，可直觀地判斷兩個（或多個）集合間的關(guān)系.五、探究已知集合的子集個數(shù)1.假設(shè)集合A中含有n（n∈N*）個元素，則：（1）A的子集個數(shù)是2n；（2）A的非空子集個數(shù)是2n-1；（3）A的真子集個數(shù)是2n-1；（4）A的非空真子集個數(shù)是2n-2.2.含有限制條件的子集問題，一般可根據(jù)條件列出所有適合題意的子集，采用列舉法解決.特別地，設(shè)有限集合A，B中分別含有m個，n個元素（m，n∈N*，m≤n），且A?C?B，則符合條件的有限集C的個數(shù)為2n-m.六、根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍的方法1.若集合是有限集，則根據(jù)集合間的關(guān)系，列出方程（組）求解，解題時還要注意考慮集合中元素的互異性.2.若集合是用不等式描述的，則通常借助數(shù)軸進(jìn)行分析，將各個集合在數(shù)軸上表示

出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值是否符合題意.3.涉及“A?B”或“A?B”的問題，若集合A中含有參數(shù)，通常要分A=?和A≠?兩種情況進(jìn)行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視.1.3集合的基本運(yùn)算一、并集與交集1.并集（1）文字語言：由所有屬于集合A或(并集中的“或”有三層意思：屬于A不屬于B，不屬于A屬于B，既屬于A又屬于B)屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B（2）符號語言：A（3）圖形語言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：A∪B=B∪A?(A∪2.交集（1）文字語言：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交（2）符號語言：A（3）圖形語言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：A∩B=B∩(A∩B)二、全集與補(bǔ)集1.全集：一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集

合為全集，通常記作U.2.補(bǔ)集（1）文字語言：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA（2）符號語言：?UA={x|x∈U，且x?A}（3）圖形語言：（4）運(yùn)算性質(zhì)：?UA?U，?UU=?，?U?=U，?U(?UA)=A，A∪(?UA)=U，A∩(?UA)=?3.德·摩根定律（1）?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB)；（2）?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).1.4充分條件與必要條件一、充分條件和必要條件1.定義：一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q。這時，我們就說，由p可推出q，記作：p?q。①p是q的充分條件；②q是p2從集合角度理解：p?q或二、充要條件1.充要條件：一般地，如果既有p?q，又有q?此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。①顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件。概括的說，如果p?那么p與q互為充要條件。2.從邏輯關(guān)系上看：條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論p?q但q?pP是q成立的充分不必要條件p?q但p?qP是q成立的必要不充分條件p?q但q?pP是q成立的充要條件p?q但q?pP是q成立的既不充分也不必要條件1.5全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞與全稱量詞命題1.全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示。2.全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中任意一個x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)二、存在量詞與存在量詞命題1.存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示。2.存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M，p(x)三、命題的否定1.將一個命題的結(jié)論換成原來結(jié)論的反面，條件不變，得到一個新的命題，這個命題就是原來命題的否定.四、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定命題類型命題的符號表示命題的否定的符號表示命題的否定的類型全稱量詞命題P：?x∈M，p(x)?p：?x∈M，?p(x)存在量詞命題存在量詞命題P：?x∈M，p(x)?p：?x∈M，?p(x)全稱量詞命題五、全稱量詞命題、存在量詞命題及其否定的真假判斷1.判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，關(guān)鍵是看命題中含有的量詞是全稱量詞還是存在量詞.特別要注意有些全稱量詞命題中全稱量詞省略的情形.2.全稱(存在)量詞命題的否定是將其全稱量詞(存在量詞)改為存在量詞(全稱量詞)，并把結(jié)論否定，即“改量詞，否結(jié)論”.對于命題的否定，要注意一些常見否定詞語的使用，下面是常用的正面敘述詞語和它的否定詞語.原詞語等于(=)小于(<)都是至少有一個至多有一個至多有n個否定詞語不等于(≠)不小于(≥)不都是一個也沒有至少有兩個至少有(n+1)個3.要判定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每個元素x，驗(yàn)證p(x)成立;但要判定該命題是假命題，只需找出集合M中的一個x=x0，使p(x0)不成立即可要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只需在集合M中找到一個x=x0，使p(x0)成立即可;否則，這一命題就是假命題，需要對集合M中的每個元素x，驗(yàn)證p(x)不成立4.命題與命題的否定的真假相反.當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時，可以通過判斷原命題的真假來得出命題的否定的真假.六、全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定中的求參問題解決含有量詞的命題求參問題的思路(1)全稱量詞命題求參數(shù)范圍的問題一般為“恒成立”問題，存在量詞命題求參數(shù)范圍的問題一般轉(zhuǎn)化為“有解”問題.解決問題時，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍，也可用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍.(2)對于命題p的有些問題，正面解決很難或者很復(fù)雜，這時我們可以考慮它的反面，即把與