第五章三角函數(shù)習(xí)題課13恒等變換綜合應(yīng)用

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線(xiàn)老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期第五章 三角函數(shù)習(xí)題課13 三角恒等變換的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用坐標(biāo)法推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.（邏輯推理）能推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.（邏輯推理）能運(yùn)用三角恒等變換公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）課前檢測(cè)·查基礎(chǔ)題型探究·悟思路強(qiáng)化訓(xùn)練·精評(píng)價(jià)1.已知sin?

??? =

?

，則sin 2??

+?

=

(?

?

?A.

?

??B.

????

??C.

?

???D.

???1@@

B

).[解析]

令??

=

?

?

??，則sin

??

=

?

，

??

=

?

???，?

?

?故sin 2??

+?

=

sin

?

?2?? =

cos

2??

=

1

?

2sin???

=

??

.故選B.?

?

??2.函數(shù)??=3sin2???cos2??

的單調(diào)遞增區(qū)間是(A.

[?

?

+2??π,

?

+2??π]

，

??

∈?

?B.

[?

?

+??π,

?

+??π]

，

??

∈?

?C.

[?

?

+

2??π,

??

+

2??π]

，

??

∈??

??D.

[?

?

+

??π,

??

+

??π]

，

??

∈??

??3@@

B

).?[解析]

??

= 3

sin

2??

?cos2??

=

2sin 2??

?

?

.由??

+2??π≤2????

≤?

+2??π

，??∈??

，可得??

+??π≤??≤?

+??π

，??∈??

.故選B.?

?

?

?

?3.若函數(shù)??

?? =

2sin

??

cos

??

（其中??

>

0

）在區(qū)間[?

?

,

?]

上不單調(diào)，則??

的取值范圍?

?

?

?為

．?<>m

?

,

+∞

/<>m[解析]

??

?? =

2sin

??

cos

??

=

sin????

，

??

∈

[?

?

,

?]

，?

?

?

?因?yàn)楫?dāng)??

>

0

時(shí)，

????

∈

[?

??

,

??]

，

??

?? 在[?

?

,

?]

上不單調(diào)，所以?

??

<

?

?

，則??

>?

?

?

?

?

??

.?4.已知m><??m></

為銳角，且<>mtan?/><m?

+?? =

3

．（1）

求<>mtan??/<>m

的值；[解析]

因?yàn)閠an?

?+??

=3

，所以tan?

?+??

=?????????????????

ta

n

??=3

，即????????????=3

，解得?tan??

=

?

．?

sin

????

????????????

??

?

/><m（2）

求<>m

的值．[解析]?

sin

????

?????????

?

???

??=

?

?

?

???

??????????

??????

????????????

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????????

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????

?????????

??=???

???????????

?????

=

sin??

+cos??

.?因?yàn)??

為銳角且tan??=?

，所以cos??=2sin??

．?由sin???+cos???=1

，得sin???=?

，所以sin??=?

，cos??=?

?

，可得sin??+cos??=?

??

?

，?即原式=?

?

．?探究1

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)????????????????

?????

???

????

???例1

化簡(jiǎn)：

?

=.?><m?

cos

2??/<>m方法指導(dǎo)

先化同角，切化弦，利用二倍角公式變成同名函數(shù)再約分.[解析]原式=??

????????????????????

???????

???×

?

?????

???=????????

?????

???

???

???

?

?=???????????

????????

??

?=

??????

=

?

cos2

.方法總結(jié) 三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)中“降次升角”和“升次降角”是基本的規(guī)律，根號(hào)中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次．針對(duì)訓(xùn)練1.化簡(jiǎn)：（1）?????

?????

???

????

??

=．><m4sin??/<>m[解析]????

???

????

????????=

?????????????????

??????=

?????

????????

??????=

4sin??

.???????????

????????????????（2）

? ?

=

（其中0<??<π

）．<>mcos??/<>m[解析]

原式????????????

co

s

? ?????????=

?

?

?

?

?

????????????

?????????????????????????????

?=

?

? ?

=

?

，因?yàn)?<??<π

，所以0<?

<?

，故cos

?

>0

，?

?

?所以原式=cos??

.探究2

三角函數(shù)求值A(chǔ).

??B.

?

?C.

?D.

?

??

?

?例2

已知tan

?

=

?

，則???????????

的值為(

A

).?

?

???????????

15@@?/<>m方法指導(dǎo) 先根據(jù)倍角公式化簡(jiǎn)，再分子、分母同時(shí)除以

cos?

?

，然后代入求值.m><[解析]

根據(jù)倍角公式，得cos??

=

1

?

2sin?

?

=

2cos?

?

?

1

，

sin??

=

2sin

?

cos

?，?

?

?

?所以??????????????????????????????????

co

s

???????????????

co

s

????????????

co

s

?????????????

co

s

??????

???????????????

??????????=

?

? ?

=

?

? ?

=

?

? ?

=

tan?

??

?=

.方法總結(jié) 解決三角函數(shù)求值問(wèn)題的方法：（1）有方向地將已知式或未知式化簡(jiǎn)，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見(jiàn)角的變換和角之<>m?/<>m間的二倍關(guān)系.（2）當(dāng)遇到?

±??

這樣的角時(shí)，可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論建立聯(lián)系求解．針對(duì)訓(xùn)練2.已知<>mtan??=3/<>m

．?（1）求tan ??

+

? 的值；m><

m<>/（2）求???

??<>m??????????????????

????/<>m的值．[解析]

（1）

tan ??

+?

??????????=

????????????=

???

=

?2.???（2）???

??=??????????????????

????

?????????=??????????????????????????????????????=?×???????

?=

?

．探究3

三角恒等變換的綜合應(yīng)用?/><m例3

已知函數(shù)??

?? =

sin 2??

?

?

+

2cos???

?

1

．m><（1）求函數(shù)<>m??

??

/<>m

的最大值及其相應(yīng)的<>m??/<>m

的取值集合；<>m?

?m></

?m></<>m

m<>

/<>m（2）若?

<

??

<

?

且??

?? =

?

，求cos

2??

的值．[解析]

（1）

??

?? =

sin 2??

?

??+

2cos???

?

1

=

sin

2??cos

?

?

cos

2??sin

?

+

cos

2??

=?

??

sin

2??

+

?

cos

2??

=

sin 2??

+

?

，故??

?? =

sin 2??

+

?

，?

?

?

?所以當(dāng)2??+?

=2??π+?

，??∈??

，即??=??π+?

，??∈??

時(shí)，??

??

???

=1，?

?

??其相應(yīng)的??

的取值集合為{??|??=??π+?

,??∈??}．（2）由題意得??

?? =

sin 2??

+??=?

.由?

<??<?

，得??

<2??+?

<??

，所以?

?

?

?

?

?cos 2??

+?

=

?

?

．?

??

?因此cos2??

=

cos[

2??

+

?

??]=

cos 2??

+?

cos

?

+

sin 2??

+??

?

?sin

??=×?

?

?

?

???

?

?

+

?

×

?

=

??

???

．方法總結(jié)

應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問(wèn)題的三個(gè)步驟運(yùn)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)<>m↓/<>m統(tǒng)一化成??

?? =

??sin????

+

??cos????

+

??

的形式<>m↓/<>m利用輔助角公式化為??

?? =

??sin

????

+

?? +

??

的形式，研究其性質(zhì)??針對(duì)訓(xùn)練3.（1）在

△??????

中，已知

2cos?

???

cos

??

?

sin

???

?? ?

sin

??+cos

??

+?? =

?

，則??

=

．（2）已知函數(shù)??

?? =sin???+

??sin

??cos

???

cos???

，且??m><

/<>m

><m?

?=

1m<>/

．①求常數(shù)<>m??/<>m

的值及<>m??

??

/<>m

的最小值；?/<>m

m><

m></②當(dāng)??

∈

[0,

?]

時(shí)，求??

??

的單調(diào)遞增區(qū)間．m><?<>m?/><m?[解析]（1）由題意得[1+cos

?????

]cos

???sin

?????

sin

???cos

??=?

，即cos

??+cos???????cos

??

?

sin

???

??

sin

???cos

??

=

?

，則cos

??

=

?

，又??

∈ 0,

π

,

∴

??

=

?

．?

?

?（2）①

∵??

? =1

，∴sin?

?

+??sin

?

cos

?

?cos?

?

=1

，解得??=2

，?

?

?

?

??∴

??

?? =

sin???

+2sin

??cos

??

?

cos???

=

sin

2??

?

cos

2??

= 2

sin 2??

?

? ．當(dāng)

2??

?

?

=

2??π

?

? ??

∈

??

，即??

=

??π?

? ??

∈

??

時(shí)，

sin 2??

?

? 有最小值,最小值為?1

，則??

???

? ? ?的最小值為? 2

．②令

2??π?

?

≤

2??

?

?

≤

2??π

+

?

??

∈

?? ，得

??π?

?

≤

??

≤

??π

+

??

??

∈

?? ．?

?

? ? ?又??∈[0,?]，∴0≤??≤??

.? ?∴當(dāng)??

∈

[0,

?]

時(shí)，

??

??

的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,

??]

.? ???

?

??

?1.

sin

???

cos

???

?

cos

???

sin

??

=

(A.

??

?B.?

?C.

?sin

???D.

sin

???21@@

B

)．[解析]原式=?sin

???cos

??

+

cos

?

sin

??

=

sin?

??

???

?

??

???=

sin

??

=??

．2.已知sin??

+

cos??

=

?

，則2cos?

?

?

?? ?

1

=

(?

?A.

?B.

??C.

?

? D.

?

??

??

?

?23@@

C

).[解析]將sin??+cos??=?

兩邊同時(shí)平方，可得1+sin

2??=?

，∴sin

2??=?

?

.?

?

?∴

2cos?

?

?

?? ?

1

=

cos

?

?

2?? =

sin

2??

=

?

?

．?

?

?3.設(shè)??

為第四象限角，且?????

=??

，則tan2=????

?．?<>m?

?/<>m[解析]

∵

??

為第四象限的角，

∴

sin??

<

0

，

cos??

>

0

.∵

???

??

=

???

????