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成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期第五章 三角函數(shù)習(xí)題課13 三角恒等變換的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)會用坐標(biāo)法推導(dǎo)出兩角差的余弦公式.（邏輯推理）能推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.（邏輯推理）能運(yùn)用三角恒等變換公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換.（數(shù)學(xué)運(yùn)算）課前檢測·查基礎(chǔ)題型探究·悟思路強(qiáng)化訓(xùn)練·精評價1.已知sin?
??? =
?
，則sin 2??
+?
=
(?
?
?A.
?
??B.
????
??C.
?
???D.
???1@@
B
).[解析]
令??
=
?
?
??，則sin
??
=
?
，
??
=
?
???，?
?
?故sin 2??
+?
=
sin
?
?2?? =
cos
2??
=
1
?
2sin???
=
??
.故選B.?
?
??2.函數(shù)??=3sin2???cos2??
的單調(diào)遞增區(qū)間是(A.
[?
?
+2??π,
?
+2??π]
，
??
∈?
?B.
[?
?
+??π,
?
+??π]
，
??
∈?
?C.
[?
?
+
2??π,
??
+
2??π]
，
??
∈??
??D.
[?
?
+
??π,
??
+
??π]
，
??
∈??
??3@@
B
).?[解析]
??
= 3
sin
2??
?cos2??
=
2sin 2??
?
?
.由??
+2??π≤2????
≤?
+2??π
，??∈??
，可得??
+??π≤??≤?
+??π
，??∈??
.故選B.?
?
?
?
?3.若函數(shù)??
?? =
2sin
??
cos
??
（其中??
>
0
）在區(qū)間[?
?
,
?]
上不單調(diào)，則??
的取值范圍?
?
?
?為
．?<>m
?
,
+∞
/<>m[解析]
??
?? =
2sin
??
cos
??
=
sin????
，
??
∈
[?
?
,
?]
，?
?
?
?因?yàn)楫?dāng)??
>
0
時，
????
∈
[?
??
,
??]
，
??
?? 在[?
?
,
?]
上不單調(diào)，所以?
??
<
?
?
，則??
>?
?
?
?
?
??
.?4.已知m><??m></
為銳角，且<>mtan?/><m?
+?? =
3
．（1）
求<>mtan??/<>m
的值；[解析]
因?yàn)閠an?
?+??
=3
，所以tan?
?+??
=?????????????????
ta
n
??=3
，即????????????=3
，解得?tan??
=
?
．?
sin
????
????????????
??
?
/><m（2）
求<>m
的值．[解析]?
sin
????
?????????
?
???
??=
?
?
?
???
??????????
??????
????????????
??=???
????????
????????????
??=
??????????????
??????????????
??=
????
????????
????
?????????
??=???
???????????
?????
=
sin??
+cos??
.?因?yàn)??
為銳角且tan??=?
，所以cos??=2sin??
．?由sin???+cos???=1
，得sin???=?
，所以sin??=?
，cos??=?
?
，可得sin??+cos??=?
??
?
，?即原式=?
?
．?探究1
三角函數(shù)式的化簡????????????????
?????
???
????
???例1
化簡：
?
=.?><m?
cos
2??/<>m方法指導(dǎo)
先化同角，切化弦，利用二倍角公式變成同名函數(shù)再約分.[解析]原式=??
????????????????????
???????
???×
?
?????
???=????????
?????
???
???
???
?
?=???????????
????????
??
?=
??????
=
?
cos2
.方法總結(jié) 三角函數(shù)式化簡的方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“降次升角”和“升次降角”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．針對訓(xùn)練1.化簡：（1）?????
?????
???
????
??
=．><m4sin??/<>m[解析]????
???
????
????????=
?????????????????
??????=
?????
????????
??????=
4sin??
.???????????
????????????????（2）
? ?
=
（其中0<??<π
）．<>mcos??/<>m[解析]
原式????????????
co
s
? ?????????=
?
?
?
?
?
????????????
?????????????????????????????
?=
?
? ?
=
?
，因?yàn)?<??<π
，所以0<?
<?
，故cos
?
>0
，?
?
?所以原式=cos??
.探究2
三角函數(shù)求值A(chǔ).
??B.
?
?C.
?D.
?
??
?
?例2
已知tan
?
=
?
，則???????????
的值為(
A
).?
?
???????????
15@@?/<>m方法指導(dǎo) 先根據(jù)倍角公式化簡，再分子、分母同時除以
cos?
?
，然后代入求值.m><[解析]
根據(jù)倍角公式，得cos??
=
1
?
2sin?
?
=
2cos?
?
?
1
，
sin??
=
2sin
?
cos
?，?
?
?
?所以??????????????????????????????????
co
s
???????????????
co
s
????????????
co
s
?????????????
co
s
??????
???????????????
??????????=
?
? ?
=
?
? ?
=
?
? ?
=
tan?
??
?=
.方法總結(jié) 解決三角函數(shù)求值問題的方法：（1）有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之<>m?/<>m間的二倍關(guān)系.（2）當(dāng)遇到?
±??
這樣的角時，可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論建立聯(lián)系求解．針對訓(xùn)練2.已知<>mtan??=3/<>m
．?（1）求tan ??
+
? 的值；m><
m<>/（2）求???
??<>m??????????????????
????/<>m的值．[解析]
（1）
tan ??
+?
??????????=
????????????=
???
=
?2.???（2）???
??=??????????????????
????
?????????=??????????????????????????????????????=?×???????
?=
?
．探究3
三角恒等變換的綜合應(yīng)用?/><m例3
已知函數(shù)??
?? =
sin 2??
?
?
+
2cos???
?
1
．m><（1）求函數(shù)<>m??
??
/<>m
的最大值及其相應(yīng)的<>m??/<>m
的取值集合；<>m?
?m></
?m></<>m
m<>
/<>m（2）若?
<
??
<
?
且??
?? =
?
，求cos
2??
的值．[解析]
（1）
??
?? =
sin 2??
?
??+
2cos???
?
1
=
sin
2??cos
?
?
cos
2??sin
?
+
cos
2??
=?
??
sin
2??
+
?
cos
2??
=
sin 2??
+
?
，故??
?? =
sin 2??
+
?
，?
?
?
?所以當(dāng)2??+?
=2??π+?
，??∈??
，即??=??π+?
，??∈??
時，??
??
???
=1，?
?
??其相應(yīng)的??
的取值集合為{??|??=??π+?
,??∈??}．（2）由題意得??
?? =
sin 2??
+??=?
.由?
<??<?
，得??
<2??+?
<??
，所以?
?
?
?
?
?cos 2??
+?
=
?
?
．?
??
?因此cos2??
=
cos[
2??
+
?
??]=
cos 2??
+?
cos
?
+
sin 2??
+??
?
?sin
??=×?
?
?
?
???
?
?
+
?
×
?
=
??
???
．方法總結(jié)
應(yīng)用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步驟運(yùn)用和、差、倍角公式化簡<>m↓/<>m統(tǒng)一化成??
?? =
??sin????
+
??cos????
+
??
的形式<>m↓/<>m利用輔助角公式化為??
?? =
??sin
????
+
?? +
??
的形式，研究其性質(zhì)??針對訓(xùn)練3.（1）在
△??????
中，已知
2cos?
???
cos
??
?
sin
???
?? ?
sin
??+cos
??
+?? =
?
，則??
=
．（2）已知函數(shù)??
?? =sin???+
??sin
??cos
???
cos???
，且??m><
/<>m
><m?
?=
1m<>/
．①求常數(shù)<>m??/<>m
的值及<>m??
??
/<>m
的最小值；?/<>m
m><
m></②當(dāng)??
∈
[0,
?]
時，求??
??
的單調(diào)遞增區(qū)間．m><?<>m?/><m?[解析]（1）由題意得[1+cos
?????
]cos
???sin
?????
sin
???cos
??=?
，即cos
??+cos???????cos
??
?
sin
???
??
sin
???cos
??
=
?
，則cos
??
=
?
，又??
∈ 0,
π
,
∴
??
=
?
．?
?
?（2）①
∵??
? =1
，∴sin?
?
+??sin
?
cos
?
?cos?
?
=1
，解得??=2
，?
?
?
?
??∴
??
?? =
sin???
+2sin
??cos
??
?
cos???
=
sin
2??
?
cos
2??
= 2
sin 2??
?
? ．當(dāng)
2??
?
?
=
2??π
?
? ??
∈
??
，即??
=
??π?
? ??
∈
??
時，
sin 2??
?
? 有最小值,最小值為?1
，則??
???
? ? ?的最小值為? 2
．②令
2??π?
?
≤
2??
?
?
≤
2??π
+
?
??
∈
?? ，得
??π?
?
≤
??
≤
??π
+
??
??
∈
?? ．?
?
? ? ?又??∈[0,?]，∴0≤??≤??
.? ?∴當(dāng)??
∈
[0,
?]
時，
??
??
的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,
??]
.? ???
?
??
?1.
sin
???
cos
???
?
cos
???
sin
??
=
(A.
??
?B.?
?C.
?sin
???D.
sin
???21@@
B
)．[解析]原式=?sin
???cos
??
+
cos
?
sin
??
=
sin?
??
???
?
??
???=
sin
??
=??
．2.已知sin??
+
cos??
=
?
，則2cos?
?
?
?? ?
1
=
(?
?A.
?B.
??C.
?
? D.
?
??
??
?
?23@@
C
).[解析]將sin??+cos??=?
兩邊同時平方，可得1+sin
2??=?
，∴sin
2??=?
?
.?
?
?∴
2cos?
?
?
?? ?
1
=
cos
?
?
2?? =
sin
2??
=
?
?
．?
?
?3.設(shè)??
為第四象限角，且?????
=??
，則tan2=????
?．?<>m?
?/<>m[解析]
∵
??
為第四象限的角，
∴
sin??
<
0
，
cos??
>
0
.∵
???
??
=
???
????
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