小學數(shù)學-“雞兔同籠”問題教學設計學情分析教材分析課后反思

《雞兔同籠》教學設計教學目標：1、使學生了解“雞兔同籠”問題的結構特點，掌握用列表法、假設法解決問題，初步形成解決此類問題的一般策略，建立“雞兔同籠”問題的數(shù)學模型。2、通過自主探索，合作交流，讓學生經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問題的過程，體驗不同解題策略的多樣性，進一步積累解決問題的經(jīng)驗。3、使學生感受古代數(shù)學問題的趣味性，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應用，提高學習數(shù)學的興趣。教學重、難點：建立“雞兔同籠”問題的數(shù)學模型，理解并掌握用假設法解決“雞兔同籠”問題。教具準備：多媒體課件、課前小研究教學過程：一、情境導入，激發(fā)興趣。1、課件出示：大約1500年前，我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一道數(shù)學趣題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”誰知道這道題講的是什么意思？2、指生回答：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？3、這就是今天我們要研究的內容---雞兔同籠。（板書）二、合作探究，構建“雞兔同籠”數(shù)學模型。（一）初步猜測，感受“化繁為簡”的必要性。1、同學們先來嘗試猜測雞、兔可能各有多少只？（找兩、三個同學猜測）2、你認為不好猜的原因是什么？（數(shù)據(jù)太大）3、過渡：看來這么大的數(shù)據(jù)，同學們猜測起來有一定的難度，那我們可以化繁為簡，把數(shù)據(jù)改小，從簡單入手，找出規(guī)律，再來嘗試解決這個問題。課件出示：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22條腿。雞和兔各有幾只？”（說明：為了防止分析時單位名稱出現(xiàn)混亂，把“22只腳”改成了“22條腿”）4.找數(shù)學信息師：題目中告訴了我們哪些數(shù)學信息？結合生活常識，你還能說出那些隱藏的信息？①雞和兔共8只。②雞和兔共有22條腿。③一只雞有2條腿。④一只兔有4條腿。（二）列表法解決“雞兔同籠”問題。（交流課前小研究）“雞兔同籠”課前小研究籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22條腿。雞和兔各有幾只？溫馨提示：請從1只雞試起，按順序列表。分別填出雞的只數(shù)和兔的只數(shù)，并列式算出每種情況腿的總條數(shù)，從而找出正確答案。然后與小組內的同學交流。雞（只）兔（只）腿（條）對/錯觀察雞的只數(shù)、兔的只數(shù)以及腿的條數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我發(fā)現(xiàn)：（）。師：你們覺得列表法怎么樣？（清楚、明白，既不重復也不遺漏。）師：如果數(shù)據(jù)大了再用列表法會怎么樣呢？（太麻煩）（三）假設法解決“雞兔同籠”的問題?？磥恚覀兊脤ふ乙环N新的方法。如果假設都是雞會怎樣呢？（配合幻燈片畫圖演示然后讓學生列式計算，再在小組內交流，重點講清每一步算式的含義，最后集體交流。）生1：假設全部是雞的話，8只雞就有16條腿，就比實際的22條腿少了6條腿。也就是有些兔當成雞了，一只兔當成一只雞就會少算2條腿，再用6÷2=3，就是兔有3只，雞有8－3=5只。師：剛才這位同學把籠子里的動物全假設成雞了，還有不同的假設法嗎？生2：假設全部是兔的話，8只兔就有32條腿，就比實際的22條腿多了10條腿。也就是有些雞當成兔了，一只雞當成一只兔就會多算2條腿，再用10÷2=5，就是雞有5只，兔有8－5=3只。（配合幻燈片畫圖演示）師：這兩種方法我們把它叫做假設法。（板書：假設法）師：用假設法解決“雞兔同籠”問題的時候你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎（假設都是雞，先算出來的是兔。假設都是兔，先算出來的是雞。）（四）課件介紹“雞兔同籠”問題的趣解。趣解：抬腿法，也可稱為吹哨法。雞兔同籠，頭8只，腿22條，問雞和兔各多少只？假設雞和兔訓練有素，吹一聲哨，它們抬起一條腿，(22-8=14)再吹一聲哨，它們又抬起一條腿，(14-8=6)這時雞都一屁股坐地上了，每只兔子還有兩條腿立著，所以，兔子有6÷2=3只，雞有8-3=5只。三、應用數(shù)學模型，解決實際問題。1、解決“雞兔同籠”問題的原題。2、解決課本上《智慧廣場》情境圖中的小汽車與摩托車的輛數(shù)問題。師：是不是只有雞和兔在同一個籠子里才是“雞兔同籠”問題？生活中有類似“雞兔同籠”的問題嗎？課件出示：一個停車場里停有四輪小汽車和兩輪摩托車共24輛。如果這些車共有86個輪子，那么停車場里有幾輛小汽車和幾輛摩托車？師：看來，雞兔同籠問題不只是代表著雞兔同籠，那老師得在雞兔同籠上加個引號。（老師在課題上加上雙引號），它就好像是一個模型！（板書：模型）我們可以在日常生活中找到很多它的影子。四、課堂總結。1、通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？2、教師總結。師：我覺得我們最大的收獲是從一個具體的數(shù)學問題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的運用，數(shù)學就是這樣發(fā)展起來的。如果我們在學習各種數(shù)學問題時能有“模型”意識，舉一反三，觸類旁通，那么我們一定會更加輕松地走向數(shù)學王國的殿堂。五、課后作業(yè)。請同學們想一想，在日常生活中還有哪些情況類似于雞兔同籠問題？創(chuàng)編一道題目并解答。板書設計：“雞兔同籠“（模型）列表法假設法……A、假設都是雞B、假設都是兔8×2＝16（條）8×4＝32（條）22－16＝6（條）32－22＝10（條）4－2＝2（條）4－2＝2（條）兔：6÷2＝3（只）雞：10÷2＝5（只）雞：8－3＝5（只）兔：8－5＝3（只）答：雞有5只，兔有3只。檢驗：5+3＝8（只）5×2+3×4=22（條）附：課前小研究設計：“雞兔同籠”課前小研究班級：姓名：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22條腿。雞和兔各有幾只？溫馨提示：請從1只雞試起，按順序列表。分別填出雞的只數(shù)和兔的只數(shù)，并列式算出每種情況腿的總條數(shù)，從而找出正確答案。然后與小組內的同學交流。雞（只）兔（只）腿（條）對/錯觀察雞的只數(shù)、兔的只數(shù)以及腿的條數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我發(fā)現(xiàn)：（）?！峨u兔同籠》學情分析學生在以前已經(jīng)掌握了一些解決問題的基本策略。他們已經(jīng)初步學習了應用“一一列舉”解決問題。學生的思維比較活躍，有一定的自主學習和小組合作經(jīng)驗。但《雞兔同籠》問題教學有一定的難度，課前我對學生進行了一定的了解。一小部分學生可能在書上見過或只是聽說過雞兔同籠問題，大部分學生是不會做的。對于多數(shù)的學生來說，學習《雞兔同籠》可能會有一定的難度。我們預測一下學生會怎么學?當然，學生怎么學，取決于教師怎么教，一般來說，如果教師直接出示例題，然后讓學生自主嘗試解答。接著是對各種方法進行展示交流，到最后，就是假設、方程、畫圖等各種方法的大雜燴，方法說完，也就下課了。學生在解說方法時，特別是假設法，是沒多少人能聽得懂的，同時，解說的同學只會說一下這個算式的結果表示什么，卻不會說為什么是這樣。因此，一節(jié)課下來，本身會的就會了，不會的還是不會，就算是模仿著寫出過程的，也是分不清求出來的是雞還是兔。因此，這樣的課是失敗的，而真正的原因是：沒有讓學生得到體驗。因此，基于這樣的學情，我們必須引導學生親身經(jīng)歷探索解決問題的策略與方法的過程，讓學生領悟“猜測、發(fā)現(xiàn)、簡化、抽象、解決問題”的整個思維過程。從經(jīng)歷解決“雞兔同籠”到“小汽車、摩托車”等問題的過程，從而提煉出“雞兔同籠”問題的模型。最后，將模型演繹到各種生活現(xiàn)象和問題情境中促進模型的進一步內化，完成模型的建構與應用。

《雞兔同籠》效果分析“雞兔同籠”這部分內容對于學生來說是比較陌生的，理解起來也是有點難度的。不過整節(jié)課下來，學生的學習效果還是不錯的。通過學習，不僅讓學生掌握了知識，而且讓學生在解決這些問題的過程中能主動嘗試從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，培養(yǎng)了學生解決實際問題的實踐經(jīng)驗和能力。最重要的是讓學生經(jīng)歷猜想、假設、實驗、推理等數(shù)學探索的過程，體會到解題策略的多樣性以及其中蘊含的豐富的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)了學生的學習興趣和思維能力、推理能力，進一步積累了解決問題的活動經(jīng)驗。但是這堂課研究的方法多，容量大，好多地方可能只是蜻蜓點水，學生的理解可能還不夠深刻，練習還不到位。少部分學生對方法的掌握可能有“照葫蘆畫瓢”的現(xiàn)象《雞兔同籠》教材分析“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的數(shù)學趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。在現(xiàn)實生活中，“雞兔同籠”的現(xiàn)象幾乎是找不到的，沒見過有人把雞和兔放在一個籠子里，即使放在一個籠子里又有誰會去數(shù)他們的腳呢?直接數(shù)頭不就行了？那么是不是說“雞兔同籠”是一個完全沒有價值的數(shù)學問題呢？顯然不是，“雞兔同籠”問題的數(shù)學模型是二元一次整數(shù)方程，雖然在小學里學生并不學習二元一次整數(shù)方程，可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運用到小學教材中并占據(jù)著重要的位置。教學這些內容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學生的數(shù)學學習而言，“雞兔同籠”的學習有什么價值呢？“雞兔同籠”問題，實際上主要是構建一種數(shù)學模型，讓我們采用有效的手段來解決類似的數(shù)學問題。一個老師如果從來不曾在這些方面作過思考的話，可以肯定，他的數(shù)學課堂上數(shù)學知識、概念、問題和方法等很難見到“數(shù)學模型”的影子，他的學生也可能從未感受過“數(shù)學模型”的力量。眼界決定境界。一個老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識，往往會決定著他的教學深刻性和數(shù)學課堂的品質。下面對教材內容做一簡單分析?！半u兔同籠問題”是五四制青島版小學數(shù)學五年級下冊第二單元智慧廣場的內容。教材信息窗呈現(xiàn)的是停車場這一現(xiàn)實情景，通過文字說明的形式讓學生理解題意，并提出數(shù)學問題“停車場里有幾輛小汽車和幾輛摩托車？”從而展開對建立“雞兔同籠”問題教學模型的教學。教材編排上主要讓學生嘗試用不同方法解決“雞兔同籠”問題，培養(yǎng)學生的解決問題的策略能力。可我為了給學生更好的建立“雞兔同籠”問題的模型，充分地傳承和弘揚經(jīng)典的數(shù)學文化，我直接把《孫子算經(jīng)》中關于“雞兔同籠”問題的原題，用課件科學而生動地再現(xiàn)于課堂，極大地激發(fā)和調動了學生的探究興趣，讓學生充分了解“經(jīng)典”，感受“經(jīng)典”，較好地提升了課堂的教學品味。為了更快的得出問題模型，我把數(shù)字改小讓學生探究出模型。滲透了“化繁為簡”的思想，學生得出數(shù)學模型后，再利用模型解決“雞兔同籠”問題的原題和課本上《智慧廣場》的小汽車與摩托車的輛數(shù)問題。這樣就將數(shù)學模型還原為具體可感的數(shù)學現(xiàn)實，使已經(jīng)構建的數(shù)學模型不斷得以擴充和提升。跟以往教材相比，這部分內容是新增加的，因而這部分內容對于大多數(shù)教師來說是比較陌生的。所以在教學這部分內容時，往往會產(chǎn)生許多困惑與誤解。因此，我們很有必要對教材編排這部分內容的目的與意義以及教學這部分內容時應注意什么等問題進行深入的思考與探討。這一題型具有廣泛的代表性，教材選“雞兔同籠”這個題材，主要不是為了解決“雞兔同籠”問題本身，而是要借助“雞兔同籠”這個載體滲透一些重要的數(shù)學思想方法，讓學生在解決這些問題的過程中能主動嘗試從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋找解決問題的策略，培養(yǎng)學生解決實際問題的實踐經(jīng)驗和能力。最重要的目的是讓學生通過接觸這些重要的數(shù)學思想方法，經(jīng)歷猜想、實驗、推理等數(shù)學探索的過程，激發(fā)學生對數(shù)學的好奇心和求知欲，增強學生學習數(shù)學的興趣?！睆亩鸩綄崿F(xiàn)《標準》所提出的教學目標。雞兔同籠問題的解法多種多樣，從各版本教材來看，有列表法、畫圖法、假設法、方程法等。每種解法都有很強的思維性，對學生的思維能力、邏輯推理能力都有很好的促進作用。但讓人疑惑的是，到底哪個才是重點？從解答問題的速度來看，肯定是假設法最快，甚至到最終，學生就只愿意用這種方法；列方程，雖然也簡單，但解起方程來，讓人吃不消，所以學生也不愿意用。而列表法，如果教師不強求，學生也不會用。但很明顯，教材似乎都想要，難道讓學生學《雞兔同籠》，就是為了完成解題的多樣性？我想肯定不是這樣的。主要目的應該是讓學生在解決這些問題的過程中能主動嘗試尋找解決問題的策略，進一步積累解決問題的實踐經(jīng)驗和能力。從而向學生滲透一些重要的數(shù)學思想方法，因此不能讓學生照搬模型，死套模型解題?！峨u兔同籠》評測練習“雞兔同籠”課前小研究籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有22條腿。雞和兔各有幾只？溫馨提示：請從1只雞試起，按順序列表。分別填出雞的只數(shù)和兔的只數(shù)，并列式算出每種情況腿的總條數(shù)，從而找出正確答案。然后與小組內的同學交流。雞（只）兔（只）腿（條）對/錯觀察雞的只數(shù)、兔的只數(shù)以及腿的條數(shù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？我發(fā)現(xiàn)：（）。“雞兔同籠”課堂練習1、解決“雞兔同籠”問題的原題。“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”（籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？）2、解決課本上《智慧廣場》情境圖中的小汽車與摩托車的輛數(shù)問題。一個停車場里停有四輪小汽車和兩輪摩托車共24輛。如果這些車共有86個輪子，那么停車場里有幾輛小汽車和幾輛摩托車？“雞兔同籠”課后作業(yè)請同學們想一想，在日常生活中還有哪些情況類似于雞兔同籠問題？創(chuàng)編一道題目并解答?！峨u兔同籠》課后反思“雞兔同籠”這部分內容對于學生來說是比較陌生的，理解起來也是有點難度的。不過整節(jié)課下來，學生的學習效果還是不錯的?，F(xiàn)在談一下我上完課的幾點體會：1、大膽轉換情境，讓學生充分了解“經(jīng)典”，感受“經(jīng)典”。青島版教材信息窗呈現(xiàn)的是停車場這一現(xiàn)實情境，通過文字說明的形式讓學生理解題意，并提出數(shù)學問題“停車場里有幾輛小汽車和幾輛摩托車？”從而展開對建立“雞兔同籠”問題的教學?？晌覟榱私o學生更好的建立“雞兔同籠”問題的模型，充分地傳承和弘揚經(jīng)典的數(shù)學文化，我直接把《孫子算經(jīng)》中關于“雞兔同籠”問題的原題，用課件科學而生動地再現(xiàn)于課堂，極大地激發(fā)和調動了學生的探究興趣，讓學生充分了解“經(jīng)典”，感受“經(jīng)典”，較好地提升了課堂的教學品味。為了更快的得出問題模型，我把數(shù)字改小讓學生探究出模型。滲透了“化繁為簡”的思想，學生得出數(shù)學模型后，再利用模型解決“雞兔同籠”問題的原題和課本上《智慧廣場》的小汽車與摩托車的輛數(shù)問題。這樣就將數(shù)學模型還原為具體可感的數(shù)學現(xiàn)實，使已經(jīng)構建的數(shù)學模型不斷得以擴充和提升。2、讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學模型建立的過程，充分感受數(shù)學的魅力。關于“數(shù)學建?！保兄^為確定的含義，即“把現(xiàn)實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數(shù)學模型來解釋應用現(xiàn)實問題。兒童數(shù)學教學的終極目標，應該是讓學生都懂數(shù)學、愛數(shù)學，對數(shù)學懷有敬畏之心和熱愛之情。要實現(xiàn)這樣的目標，數(shù)學教學就不能只停留在知識和方法層面，而是要深入到數(shù)學的“腹地”，用數(shù)學自身的魅力來吸引學生。數(shù)學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學學習只有深入到“模型”、“建?！钡囊饬x上，才是一種真正的數(shù)學學習。這種“深入”，就小學數(shù)學教學而言，更多地是指用數(shù)學建模的思想和精神來指導數(shù)學教學。通過課前調查我發(fā)現(xiàn)，個別學生接觸過雞兔同籠問題，大部分學生對雞兔同籠問題是很陌生的。這樣，學生之間的層次是不一致的。本節(jié)課，學生看到“雞兔同籠”的數(shù)學問題后，很多同學習慣性的應用了畫圖法和列表法解決了問題。通過引導又用假設法解決了問題。多種數(shù)學思想、方法的滲透，不僅提高了學生的解題能力，更重要的是讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生在抽象能力、思維能力、推理能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展，充分感受到數(shù)學的魅力。3、教學設計重點突出，難點亦有突破。課堂上，雖然解決問題的方法很多，但是列表法、假設法是解決問題的基本方法。在課堂上教師重點讓學生展示了這兩種方法，并進行了師生質疑，使基本方法人人都會，其他方法作為開闊學生的思路，簡化處理。使不同的學生學不同的數(shù)學，不同水平的孩子在課堂上都有所收獲。教學中利用多媒體課件，運用畫圖法，數(shù)形結合，形象直觀地幫助學生加深了對假設法解決雞兔同籠問題的理解。教師通過畫圖，形象生動地展示了整個思維過程，符合學生的認知特點，有效地化解了重點和難點，達到了良好的教學效果。4、注重思維能力的培養(yǎng)和數(shù)學思想的滲透。日本數(shù)學家米山國藏說：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。本節(jié)課，通過“雞兔同籠”問題的學習，不僅使學生學到了知識，而且體會到解題策略的多樣性以及其中蘊含的豐富的數(shù)學思想方法。用“列表法”解決問題，滲透了函數(shù)的思想和方法；用“假設法”解決問題，滲透了假設的思想和方法。用“方程法”解決問題，滲透了代數(shù)思維。有效地培養(yǎng)了學生的學習思維能力和解決問題的能力。5、注重數(shù)學文化的傳承。雞兔同籠問題是《孫子算經(jīng)》中一道影響較大的名題，一直流傳至日本等國，引起了許多國家的眾多數(shù)學愛好者的廣泛關注。教學中，教師把“數(shù)學文化”和《孫子算經(jīng)》及其中關于雞兔同籠問題的原題，用課件科學而生動地再現(xiàn)于課堂，極大地激發(fā)和調動了學生的探究興趣，充分地傳承和弘揚了經(jīng)典的數(shù)學文化，較好地體現(xiàn)和提升了課堂的教學品味?？偟膩碚f，本節(jié)課把學習的主動權交給學生，讓學生在合作學習的活動中主動完成知識的建構過程。因此，在整堂課中，學生學得興趣盎然，在問題得到解決的同時體驗到了成功的喜悅，感受到了數(shù)學的價值和數(shù)學學習的樂趣。但教學中也存在著一些問題，反思如下：1、小組合作中教師如何調控才能進一步提高合作學習的效率，如時間的把握、學生合作過程的控制、合作學習的效果等還需進一步探討。2、要注重培優(yōu)輔困，特別是學困生的輔導如何在課堂教學中落實，使他們通過教師的引導取得明顯的學習效果，真正落實新課標提出的“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”目標。3、這堂課研究的方法多，容量大，好多地方可能只是蜻蜓點水，學生的理解可能還不夠深刻，練習還不到位。少部分學生對方法的掌握可能有“照葫蘆畫瓢”的現(xiàn)象?！峨u兔同籠》課標分析雞兔同籠問題是我國古代流傳下來的一類數(shù)學趣題，它集趣味性、解法的多樣性、應用的廣泛性于一體，具有訓練智能的教育功能和價值，是數(shù)學教學的好題材。

（一）注意滲透數(shù)學思想

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將數(shù)學基本思想作為“四基”之一提出，模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”之稱的概念提出，明示了數(shù)學思想的重要性。教學過程中，要幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟基本的數(shù)學思想和方法。

1．滲透“化繁為簡”的思想。

雞兔同籠的原題數(shù)據(jù)比較大，不利于首次接觸該類問題的學生進行探究。因此，通過化繁為簡思想引導學生從簡單問題著手，幫助學生探索出解決該類問題的一般方法后，再解決《孫子算經(jīng)》中數(shù)據(jù)較大的原題。這樣處理，可使學生充分體會到從簡單問題入手的必要性，經(jīng)歷先尋找簡單問題的求解策略，再將其應用到解決較復雜問題的過程，從而使學生初步感受化繁為簡的思想。

2．滲透“數(shù)形結合”的思想。

讓學生認識、理解、運用假設法是本節(jié)課的教學重點，也是教學難點。列表嘗試法雖然有局限性，但它是假設法的基礎，因此在引導學生用列表嘗試