第十九章原子量子理論

第十九章§19-1的氫原子理1897（194個譜線分別叫做、、

6563、

4861、

4340 41021885

14

6563 4861 4340A410219-1

n 式中為波長，R1.097107m1稱為常數(shù)。我們把可見光區(qū)所有譜線的總體稱1896年里得伯用波數(shù)來代替巴爾末中德波長從而得到光譜學(xué)中常見的形式：~1R11

(n

（19- n2

n

n

帕邢(F.Paschen)系：~1R11

(n n2

布喇開(F.Brackett)系：~1R

1

Pfun

R

n21n2

（19-

~1~1R11 n1,2,3,4,5;nn1,nf ffi式中

式（19-3）的意義：氫原子中電子從第ni個狀態(tài)向第nf狀態(tài)躍遷時發(fā)光波長德nf值不同，對應(yīng)不同線系；同一nf不同ni

f nf

（19-T(n)RT(n)R,nn nn （19-4）稱為并合原理，1808年為了闡述化學(xué)上的定比定律和倍比定律創(chuàng)立原子論認(rèn)為原子是組，1903年英國物理學(xué)家首先提出原子的模型來回答了這個問題此模型稱為不僅為此，模型與許多實驗結(jié)果不符，特別是粒子的散射實驗(見圖)。1909（即散射角0）或沿散射角很小的方向（一般為2~3）1/8000的粒子，其散射角大小為90，甚至接近180，即被彈回原入射方上。如果按

19-21911年 在粒子散射的基礎(chǔ)上提出了原子的核式結(jié)構(gòu)， 們所公認(rèn)1對氫原子，電子質(zhì)量占原子質(zhì)量的1/1873倍。原子線度~1010m，原子核線度1015~1014m原子核式模型的實驗基礎(chǔ)：2按此模型，原子核是很小的，在粒子散射實驗中，絕大多數(shù)粒子穿過原子時，因受核作用很小故它們的散射角很小數(shù)粒子能進(jìn)入到距原子核很近的地方。這些粒子受核作用（排斥）較大，故它們的散射作用也很大，極少數(shù)粒子正對原子核運動，故它們的散射角接近180。3適用于原子內(nèi)部的微觀過程，因此，須建立適用于原子內(nèi)部微觀現(xiàn)象的理論。根據(jù)原子核模型和原子的穩(wěn)定性出發(fā)應(yīng)用的量子概念于1o定態(tài)假設(shè)2o量子化假設(shè)L

LLLmVrn或

(n

(19-(19-式中，h為常數(shù)，r為軌道半徑，n稱為量子數(shù) 頻率條件EEvEvEiEfh(19-說明：(1)1o(2)定態(tài)概念1設(shè)電子速度為V，軌跡半徑為r，質(zhì)量為m即V (19-0 4r0mVrn

得V

，代式(19-8)nh rr n2h2n

0

（n

2,3, （19-n1時，r1

rrnh2n n21

（19-2當(dāng)電子處于第n個軌跡上時，有：E1mV

zr2zr2 znn19- 0Ep402 2

EnEkEp2

（19-由式（19-8）2

0En80

00 n2800

（n

2, （19-

0me20n1時，E10

2

13.6eV，E1n1EE1nn 10

（19-E1E1E1E

4

9 討論（n時，能量連續(xù)1、能級圖（能級與譜線對應(yīng)關(guān)系）2、常數(shù)理論值與實驗值相0 理論，Enn282h2，電子從ni態(tài)向nf態(tài)躍遷時，根據(jù)頻 0v1EE 1 1

波長倒數(shù)為：

Ei

hcn282h2n282h2me4

1 1

82

2

2R 2

（19-

ni

nf

ni

0式中，RR理82h3c1.097373100

，(第2激發(fā)態(tài)(第1激發(fā)態(tài)n=1系E0(nE E EE39E E1圖19-1、理論建立的基礎(chǔ)與成功之。在于地解釋了氫原子及類氫類系的譜線規(guī)律理論不僅討論了氫原子的具體問。2、理論的缺理論不能解釋結(jié)構(gòu)稍微復(fù)雜一些的譜線結(jié)構(gòu)（如堿金屬結(jié)構(gòu)的情況，也不能說明氫原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)和譜線在勻強磁場中的現(xiàn)象。1915年—1916年，索末菲和各自獨立地把理論推廣到更一般的橢圓軌跡考慮到相對論校正并寬度等問題，仍無法處理。這一系列突出地了—理論的嚴(yán)重局限性。1R[11]，nn nn nfR(

1)]1nn=10：

[1.097107(

)]10.921107m

n=2：

[1.097107(

1)]11.215107m

末系的最長和最小波長解 末系波長倒數(shù)1R[11

n2（1）n=3

[1.097107(

1)]16.563107m

（2）n

[1.097107(

1)]13.646107m2

1

n n=1nWEEE1E1

13.6eV

n=2nWEEE1E1

3.4eV

根據(jù)所學(xué)過的內(nèi)容我們可以說光的和衍射等現(xiàn)象為光的波動性提出了有力的而新的實驗事實——黑體輻射光電效應(yīng)和效應(yīng)則為光的粒子（即量子性19231924已為人們所理解和接受法國物理學(xué)家德布羅意認(rèn)為如同過去對光的認(rèn)識比較 hhP（19-2121 vc時，可取mp

h

mv2

hUhU 29.110311.6 UUA12.21010m12.2UUAUA即 （UUA二、意波的實驗證實電子衍射實實物粒子的波動性，當(dāng)時是作為一個假設(shè)提出來的，直到1927年和革末用1如圖所示，K是發(fā)射電子的燈絲，D是一組光欄縫，M是單晶體，B是集電器，G是電流計。燈絲與欄縫之間有電勢差U，從K發(fā)射的電子經(jīng)電場加速，經(jīng)光欄變成平行光 射角射到單晶M上，并在M上向各方向散射，其中沿方向反射的電子進(jìn)入集電器B中反射電子流的強度由電流計G量出集電器只接受滿足反射定律的電子，目的是改變這一情況下反射電子強度和U之間的關(guān)系實驗中角保持不（2個角改變U而測I 法B MU圖19-2UIUU

單調(diào)增加時，I3、實驗結(jié)果說明了電子具有波動 圖19-行為呢？我們知道，X2dsinkmhmmhmhUp

kU2dsinkU

(khh三、意波的統(tǒng)計解（1）UA右，而電子的意波長比可見光短得多，按12.2知，UUA例19-4：一中，電子的速率為8.4106m/s，求意波長

8.4106msc=3108ms 6.62

0pmv9.110318.40

0.867

m0.867Ap 量子化條

n

nhnrnn pnh

1n1

hhhh

§19-3測關(guān)yxxaPK19- asin(1)（第1級極小 （19-P0，在1xPx滿足下式：Px17

PxPsin(1)aPxp

（19-（19-（19-x的不確定度x等于縫寬度a，∴式（19-20）可化為xxPx上式稱為海森堡測關(guān)系，x、Px分別稱為粒子的坐標(biāo)x和動量Px的不確定量。說明（1）由測關(guān)系，x、Px不可能同時為零，即粒子坐標(biāo)和相應(yīng)方向的量不能同時測準(zhǔn)確定。x測得越準(zhǔn)時，即x越小時，Px測得越即Pxx（如x—>0）Px必然無法精確測量（x—>0Px—>∞，反之亦然。測關(guān)系是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映 關(guān)系推廣到三維情況：yP zP 例19-6：在電子單縫衍射中，若縫寬為a0.1nm(1nm109m)，垂直如射在單縫上，則衍射電子橫向動量的最小不確定度Px為多少？xPxh

PxhPx

hx

6.62haha

6.62

(Ns

19-7200ms1的速率，動量不確定度為0.01，確定電子位置時，不解：xPxhxxx

h

Px 1049.110313.64102(m已確定原子大小的數(shù)量級為1010m，電子則更小，在這種情況下，電子位置不確定 19-8：一光子波長為3000A，測定此波長時產(chǎn)生的相對誤差為

h，∴x

p

dh

h

h d

3000 x

310§19-4粒子的波函數(shù)方量子力學(xué)是研究微觀客體運動的一門科學(xué)。反映微觀粒子運動的基本方程是方程，微觀粒子運動狀態(tài)用方程的函數(shù)（波函數(shù)）來表述。1、自由粒子（無外界作用）沿+x方向的單頻平面余弦波yx,t vt2x

yx,tyx,t可表示電場強度和磁場強度，等等。上i(2t)2y(x,t)

i2vt2x

i

Ai2vtx y(x,t)

（19-對于自由粒子（沿+x 意假

E可將（19-12）化成（yx,t

i2Etpx

（19-p式（19-23）EP、沿+x為自由粒子的意波，p

i2Et

x

r,

Pi2Etpxpypzxyz,te

2波動觀點：光強光波振幅平 光子數(shù)光波振幅平粒子觀點：光強波動觀點：波強波函數(shù)振幅平 電子數(shù)波函數(shù)振幅平粒子觀點：波強（一般情況下，波函數(shù)是復(fù)數(shù)由波函數(shù)統(tǒng)計意義知，t時刻，在xyzdVdxdydz內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子數(shù)幾率xyz2dxdydz如果把波函數(shù)乘上適當(dāng)因子，使t時刻在xyz處出現(xiàn)粒子幾率xyz,t2dxdydzx,y,z,t2dxdydz *dV （19-式（19-24）稱為波函數(shù)的歸一化條V。它表明：粒子在全空間找到的幾率=1。滿足歸xyz,t2（或*）意義：粒子在t時刻出現(xiàn)在xyz率（幾率連續(xù)xyz,t2dxdydz意義：粒子在t時刻出現(xiàn)在xyz附近體積元dxdydz(2)x,y,

單值性（幾率單值的要求有限性（平方可積的要求 連續(xù)性（幾率連續(xù)分布連續(xù)的要求（1）2（*）才有物理意義，1926年在意物質(zhì)波假說的基礎(chǔ)上建立了勢場中微觀粒子的微分方，1、一維自由粒子的 i2Et

i2粒子波函數(shù)x,t

，令xAei2Et i2

(x,t) xAe

x有關(guān)，與t無關(guān)，x也稱為波函數(shù)（定態(tài)波函數(shù)

i2

可知

2

i 1

pAe2

p 2m p2

422mEE0k即

（19-此式為自由粒子一維運動的方程（定態(tài)方程2、一維勢場中粒子 方程EEkuEkEu

（19-式（19-26）為一維勢場中粒子的方程3、三維情況下粒子 方

EE

此式為三維勢場中粒子的方程§19-5uuuu設(shè)粒子質(zhì)量為mVx

0x

x0,x

19-∵V(x)不隨時間變化，∴是一維定態(tài)問題。由方程d

82m 0

0x

h

可知：0

h2

k2，ddx

k2xc1sinkxc2coskxc1、c2為常數(shù)。 0c1sin0ccos0 c2 22由知ac1sinka若c10，則x0，無意義。c10

sinka即ka

ka

sinnx

2a2aa10a

dx

c1sin

x c xdxc2 1 2a可取c12a可有x

sinnx（歸一化波函數(shù)2aa2a

(x)

2sinnx0xa，(x)0（x0x0 由 nh2n

E和k n2n2hE8a2m

（19-n1,2,3,4En、

nx、

（1）

19-量是連續(xù)的概念完全基態(tài)能（或零點能E1

零完