某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法

本科畢業(yè)論文某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書題目某些非線性常微分方程的常數(shù)變易法 1、本論文的目的、意義：本論文的主要目在于通過對常微分方程的深入分析，分別對一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程的性質(zhì)、解法進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納、總結(jié)，并深入探討兩類方程的解法。最后，利用兩類方程的理論知識去分析和解決某些特殊的非線性常微分方程，并給出相關(guān)應(yīng)用的例子。將常數(shù)變易法可以運(yùn)用到一些物理或者化學(xué)一些其他學(xué)科的問題解決中，對于其中的那些非線性常微分方程進(jìn)行求解，使得問題更加簡便化。2、學(xué)生應(yīng)完成的任務(wù)1、通過查閱相關(guān)資料，進(jìn)一步掌握常數(shù)變易法的背景，意義及研究現(xiàn)狀；2、掌握有關(guān)常數(shù)變易法和非線性常微分方程的基礎(chǔ)知識；3、分析并總結(jié)兩類非線性常微分方程的性質(zhì)及求解方法；4、舉例說明兩類非線性常微分方程的解法；5、檢查論文中的內(nèi)容是否有錯誤；6、做好相關(guān)的英文文獻(xiàn)翻譯工作；3、論文各部分內(nèi)容及時(shí)間分配：（共15周）第一部分 參閱相關(guān)書籍和利用網(wǎng)上有關(guān)資料，掌握常數(shù)變易法的背景，意義等基礎(chǔ)知識；(2周)第二部分探討，分析并總結(jié)一階非線性常微分方程的性質(zhì)和解題方法；(2周)第三部分 探討，分析并總結(jié)二階非線性常微分方程的性質(zhì)和解題方法；(3周)第四部分 舉例說明兩類非線性常微分方程的解法；(3周)第五部分 檢查論文的內(nèi)容是否有錯誤；(2周)第六部分 完成英文翻譯工作和論文的修改。(2周)評閱及答辯 (1周)備注指導(dǎo)教師： 年月日審批人： 年月日摘要常數(shù)變易法是求解微分方程的一種特殊方法，利用常數(shù)變易法在解決某些方程特解時(shí)簡便易用。列舉了幾種常數(shù)變易法區(qū)別于教材中的一些用法，并比較了此方法在某些方面的優(yōu)劣。常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程行之有效的方法。本文從求解一類特殊形式的一階常微分方程入手,證明了變量分離方程、Bernoulli方程、部分齊次方程以及其它形式的一階非線性常微分方程可用常數(shù)變易法求解,從而將常微分方程中的常數(shù)變易法用于更加廣泛的地發(fā)去。閱讀理解首次積分求得的六個定理以及推論，將六個類型的方程與常數(shù)變易法相結(jié)合，并對定理運(yùn)用常數(shù)變易法進(jìn)行證明，求解。應(yīng)用變量變換方法，解幾類可化為分離變量的二階非線性微分方程，擴(kuò)大了變量變換方法的使用范圍，提供微分方程的可積類型，給出幾個通積分的表達(dá)式。二階線性微分方程在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。本文利用常數(shù)變易法對二階非線性微分方程進(jìn)行討論后,給出了求其通解表達(dá)式的具體方法。關(guān)鍵詞：常微分方程;常數(shù)變易法;非線性；二階非線性；可積類型；通解分。AbstractConstantvariationmethodisaspecialmethodofsolvingdiferentialequation．Itissimplertouseconstantvariationmethodtogetsomespecialsolutions．Severalconstantvariationmethodsdifferentfromthoseintextbooksarelistedheretofindouttheiradvantagesanddisadvantagesinsomeaspects．Themethodofconstantvariationisaneffectivewaytosolvethefirstordernon-homogeneouslinearordinarydifferentialequation.Thispaperstudiesthefirstorderordinarydifferentialequationinaspecialform,andprovesthattheequationofvariabledivided,Bernoulliequation,somenon-homogeneousequationsandthefirstordernon–linearordinarydifferentialequationinanotherformcanallbesolvedwiththismethod,andthenpopularizesthemethodofconstantvariation.Readingthesixobtainedbythefirstintegraltheoremandcorollary,Withsixtypesofequationsandconstantvariation,Iusetheconstantvariationtoprove,tosolvetheorems.Solutionstosomekindsofsecond-orderdifferenfialequationsbyusingvariabletransformationmethodaregivenandthescopeofapplicationsisexpanded．Meanwhile,theintegraltypesofdifferentialequationsareprovidedandtheexpressionsofreductionofintegralstoacommondenominatorarealsogiven．TheSecond-orderLinearHomogeneousEquationiswidelyusedinpracticalproblems.Thepaperdiscussesthesecond-ordernon-linearhomogeneousdifferentialequation“”bytheconstant-variationmethod,andpresentssomespecificmethodsontheexpressionofthegeneralsolution.Keywords：ordinarydifferentialequation;themethodofconstantvariation;non–linear;second—ordernonlineardifferentialequation;variabletransformationintegraltypereductionofintegralstoacommondenominator目錄第1章緒論 11.1引言 11.2本文的主要研究內(nèi)容 4第2章一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 52.1一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 52.1.1基本類型Ⅰ …………………52.1.2基本類型Ⅱ …………………52.1.3基本類型Ⅲ …………………62.1.4基本類型Ⅳ …………………62.1.5基本類型Ⅴ …………………62.1.6基本類型ⅤI……………72.2舉例 72.2.1基本方法Ⅰ …………………72.2.2基本方法Ⅱ …………………82.2.3基本方法Ⅲ …………………82.2.4基本方法IV ………………...92.2.5基本方法V ………………92.2.6基本方法VI ……………….102.2.7基本方法VII…………102.2.8基本方法VIII………………………10第3章二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例 123.1二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法 123.1.1二階非線性常微分方程組的一般形式與解法 123.1.2具有幾個定理性質(zhì)的可用常數(shù)變易法的方程…..………133.2舉例 13結(jié)論 22致謝 23參考文獻(xiàn) 24部分符號對照表 屬于 對任意的 存在>(<) 大于（小于） 大于或等于（小于或等于） 蘊(yùn)涵或推出 等價(jià)或充分必要 集合的并（集合的交） 積分號 求和符號 維實(shí)數(shù)空間 求極限dy/dxy對x求導(dǎo)第1章緒論1.1引言常數(shù)變易法是常微分方程中解決線性微分方程的主要手段，在教材中都沒有詳細(xì)的說明，在這里我給出常數(shù)變易法是如何一步一步推導(dǎo)出來的。我們先來看下面的式子：(1)對于這個式子最正常的思路就是“分離變量”。所以我們的思路就是如何將（1）式的x和y分離開來。起初的一些嘗試和啟示先直接分離：(2)從中看出y不可能單獨(dú)除到左邊來，所以是分不了的。這時(shí)想想以前解決“齊次方程”時(shí)用過的招數(shù)：設(shè).將代入(1)式:(3)這時(shí)u又不能單獨(dú)除到左邊來，所以還是不行。不過，這里還是給了我們一點(diǎn)啟示：如果某一項(xiàng)的變量分離不出來，那將該項(xiàng)變?yōu)榱闶潜容^好的方法。因?yàn)檫@樣“變量分離不出”這個矛盾就自然而然的消失了——整個都消失了，那也就不需要分什么了。比如說，對于（3）式，如果x＝－1/M(x)，那么那一項(xiàng)就消失了；再比如說，對于（2）式，如果M(x)＝0，那么那一項(xiàng)也消失了。當(dāng)然這些假設(shè)都是不可能的，因?yàn)閤和M(x)等于幾是你無法干預(yù)的。不過我們可以這么想：如果我們巧妙地構(gòu)造出一個函數(shù)，使這一項(xiàng)等于零，那不就萬事具備了嗎？進(jìn)一步：變量代換法我們可能覺得要構(gòu)造這么一個函數(shù)會很難。但結(jié)果是很簡單的。就是這么符合要求的一個函數(shù)。其中u和v都是關(guān)于x的函數(shù)。這樣求y對應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系就轉(zhuǎn)變成分別求u對應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系和v對應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系的問題。有人可能會覺得把一個函數(shù)關(guān)系問題變成兩個函數(shù)關(guān)系問題，這簡直是把問題復(fù)雜化了，不然,其實(shí)u和v都非常有用，看到下面就知道了。將代換代入（1）式會出現(xiàn)：(4)如果現(xiàn)在利用分離變量法來求u對應(yīng)于x的函數(shù)關(guān)系，那么就是我們剛剛遇到的沒法把u單獨(dú)分離出來的那一項(xiàng)，既然分不出來，那么干脆把這一項(xiàng)變?yōu)榱愫昧?。怎么變？這是v的用處就有了。令，解出v對應(yīng)x的函數(shù)關(guān)系，這本身就是一個可以分離變量的微分方程問題，可以將其解出來。(5)現(xiàn)在v解出來了，接下來該處理u了，實(shí)際上當(dāng)v解出來后u就十分好處理了。把（5）式代入（4）式，則這一項(xiàng)便被消掉了。剩下的是而這也是一個可以分離變量的微分方程。同樣可以十分容易地解出來：(6)現(xiàn)在u和v都已求出，那么y＝u·v也迎刃而解：(這里)(7)這個方法看上去增加了復(fù)雜度，實(shí)際上卻把一個不能直接分離變量的微分方程化成了兩個可以直接分離變量的微分方程。這個方法就叫“變量代換法”，即用u·v代換了y。再進(jìn)一步：常數(shù)變易法再進(jìn)一步觀察我們可以看出，求v的微分方程（即）其實(shí)就是求當(dāng)N(x)＝0時(shí)的齊次方程。所以，我們可以直接先把非齊次方程當(dāng)作齊次方程來解。即解出的解來。得：(8)注意這里的并非最終答案，從上一步我們知道這其實(shí)是v而已。而最終答案是u·v，v僅是其中一部分。因此這里的并不是我們要的y，因此還要繼續(xù)。把（8）式和上面提到的（7）式比較一下：(7)(8)（7）式是最終的結(jié)論，（8）式是目前我們可以到達(dá)的地方。那我們可以這樣子做：把（8）式的那個C換成u，再把這個u解出來，那么問題不就簡單了嗎？所謂的“常數(shù)變易法”就是這么來的，即把常數(shù)C硬生生地變成了u。接下來的事情就簡單多了，和前面是一個思路，把代換代入（1）式，由于是一個可以令那個分離不出變量的項(xiàng)被消掉的特解，因此即可知一定會解得。從中解出u，再帶回便可得到最終答案。常數(shù)變易法在這里并沒有顯出比變量代換法更好的優(yōu)勢（因?yàn)榫褪亲兞孔儞Q與常數(shù)變易法的正逆推導(dǎo)而已），但在解決高階線性微分方程時(shí)就會方便得多。因此常數(shù)變易法與變量變換法在本質(zhì)上是一樣的，就看我們在什么地方用哪一個方法了。從上面的一步步推導(dǎo)，可以總結(jié)為[4]：對于一階線性微分方程：dy/dx=M（x）y+N（x）（1）若Q（x）=0，則（1）變?yōu)椋篸y/dx=M（x）y（2）可知（2）為變量分離方程，所以可求得其通解為：（3）在（3）中，將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c（x）使它滿足（1），從而求出c（x）。為此，令（4）微分之，得到（5）將（4），（5）代入（1）中即可得到：從中可求得c（x），將c（x）代入（4）中即可得到方程（1）的通解。這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們就稱之為常數(shù)變異法。一般的高階常微分方程沒有統(tǒng)一，便捷的解法，處理問題的根本解決辦法就是降階，通過變換把高階的常微分方程的求解問題變成較低階的常微分方程來求解。特別的，對于二階齊線性方程，如果能夠知道它的一個非零特解，則可通過降階求得與它線性無關(guān)的另一個特解，從而得到方程的通解，對于非齊次性方程，就需要再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個特解，問題自然輕松地被解決了，因此，對于高階常微分方程的求解問題的關(guān)鍵就在于尋找齊線性方程的一個非零特解。1.2本文的主要研究內(nèi)容首先，通過對常數(shù)變易法的背景、概念的進(jìn)一步理解,本文系統(tǒng)地分析了兩類非線性常微分方程的各種性質(zhì)并加以舉例以方便理解。在一般的教材中，往往僅限于對于線性常微分方程的常數(shù)變易法，在此基礎(chǔ)上，本文深入探討了關(guān)于一階非線性常微分方程和二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，將所探討的結(jié)果進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納和總結(jié)并給出了每種解法的特點(diǎn)和使用條件。在實(shí)際的計(jì)算中，根據(jù)各種計(jì)算方法的特點(diǎn)和使用條件，合適地選擇解法可使計(jì)算簡化。其次，本文初步探討了關(guān)于高階非線性常微分方程的常數(shù)變易法問題。結(jié)合例題，本文指出在利用兩類非線性常微分方程的解法的必要條件，并分析其中的原因并給出相應(yīng)的解決方法。另外，關(guān)于兩類非線性常微分方程的常數(shù)變易法的證明使得解法更加的容易理解，思路清晰。同時(shí)，分析了兩類非線性常微分方程之間的聯(lián)系，即降階法。最后，我們可以得出我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化。希望上述工作能對進(jìn)一步深入研究常數(shù)變易法的運(yùn)用和廣泛應(yīng)用提供必要的準(zhǔn)備。第2章一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例本章分兩節(jié)，第一節(jié)著重介紹關(guān)于一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，第二節(jié)進(jìn)行舉例，以便能夠更加了解解題得方法。然后將所探討的結(jié)果進(jìn)行分析、歸納和總結(jié)，并給出每種計(jì)算方法的特點(diǎn)和適用條件。2.1一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法2.1.1我們知道可以通過常數(shù)變異法求解一階線性常微分方程，而對于一階非線性常微分方程的求解，還沒有很統(tǒng)一，確切的解法，那我們是不是可以將常數(shù)變異法從線性常微分方程推廣到非線性常微分方程上面呢？這一章我將會對這個問題進(jìn)行探討研究。并給出一些例子以用來驗(yàn)證。其中M（x），N（y），f（x，y）在所考慮的區(qū)間上是連續(xù)的，且f（x，y）0。一階非線性常微分方程的一般形式為：F（x，y，dy/dx）=0（1）如果能從（1）中求出dy/dx，并且dy/dx可以用下式來表示dy/dx=M（x）N（y）+f（x，y）（2）可以看出（2）式是可分離變量的常微分方程，所以（2）式就可以用常數(shù)變異法來求解。方程dy/dx=M（x）N（y）是可分離變量的常微分方程，則我們分離變量可得：dy/N（y）=M（x）dx，兩邊積分可得出其通解，不妨設(shè)其通解為G（y）=，其中c為任意實(shí)常數(shù)。然后我們就可得出（2）的通解為y=（3）將（3）代入（2）中可得：這是一個關(guān)于未知函數(shù)c(x)的一階常微分方程，如果這個方程是線性的或可分離變量的，那么即可求出未知函數(shù)c（x），將c（x）代入（3）即可得出（2）的通解。由上可見，常數(shù)變異法可以用來求解非線性常微分方程，但是并不是所有的非線性方程都可以用常數(shù)變異法來求解。那么還有有哪些非線性的常微分方程可以用常數(shù)變異法來求解呢？下面給出幾種。2.1（4）顯而易見，方程是可分離變量的常微分方程，其通解為（此為隱函數(shù)的形式，不用解出y）。設(shè)（4）的通解為（5）代入（4）中可得：這是一個可分離變量的常微分方程，其通解為：（6）將（6）代入（5）中即可得（4）的通解。2.1可知這是伯努利方程的通解為：設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：因其為可分離變量常微分方程，所以可求出c（x），伯努利方程可用常數(shù)變異法來求解。2.1.4基本類型=4\*ROMANIV的通解為設(shè)原方程的通解為：代入原方程可得：可知其為可分離變量的常微分方程，可求出c（x）。因此這種方程可以用常數(shù)變異法來求解。2.1的通解為：設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：可知其為可分離變量的常微分方程，所以可以用常數(shù)變異法來求解。2.1.5基本類型VI若非線性常微分方程的形式為：假設(shè)M（x），N（x，y）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，N（x，y）0。我們還可以推出下面三個定理：一,一階常微分方程可用常數(shù)變異法求解的一個充分條件是：，，其中M(x)，N（x）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，N（x，y）0。二，一階常微分方程可用常數(shù)變異法求解的一個充分條件是：，其中N（x，y）在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，，N（x，y）0。三，一階常微分方程可用常數(shù)變異法求解的一個充分條件是：，其中在所考慮的區(qū)間上連續(xù)，N（x，y）0。以上只列舉了八種求解方法，當(dāng)然還有其他的一些方法。對于形如具有上述的形式即可通過各自的方法進(jìn)行求解，因?yàn)椴⒉皇撬械姆蔷€性常微分方程均可以用常數(shù)變異法來求解。若不能通過這八種方法來求解，可以按照一的方法進(jìn)行求解，先將方程轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蹋?）的形式，如若可以，即可用常數(shù)變異法進(jìn)行求解，不然則只有另尋它途。2.2舉例通過2.1的方法，下面給出從上往下的依次舉例，以便更加容易理解掌握上述方法，以使得將一階非線性常微分方程的求解更加簡便化。2.2.1基本方法Ⅰ求解解：將原方程化成形如（2）的形式的通解為：設(shè)原方程的通解為：代入原方程可得：即，積分得：即所以原方程的通解即為：。2.2.2基本方法Ⅱ求方程的通解。解：原方程可化為即（即為一的形式）的通解為設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：即積分得：即所以原方程的通解為2.2.3基本方法Ⅲ求解解：的通解為設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：即，積分得：即所以原方程的通解為2.2.4基本方法=4\*ROMANIV求解解：的通解為設(shè)原方程的通解為：代入原方程可得即積分可得代入可得：2.2.5基本方法=4\*ROMANV求解解：的通解為：設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：分離變量可得：積分得：因?yàn)樗詫⒋肷鲜娇傻迷匠痰耐ń猓骸?.2.6基本方法=6\*ROMANVI求解：解：方程的通解為：。令，代入到原方程可得：即：，此為可分離變量常微分方程，解得：所以原方程的通解為：。2.2.7求解：，。解：方程的通解為：令，代入到原方程可得：即：，此為可分離變量常微分方程組，解之得：2.2.8求解：解：方程的解為：令，代入到原方程可得：即：，此為可分離變量常微分方程，所以可求出：代入原方程可求出：。第3章二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法與舉例3.1二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法3.二階非線性常微分方程的一般形式為：（1）必須為非線性常微分方程。設(shè)是方程（1）中對應(yīng)的方程（2）的一個不恒為零的解。令，則有代人方程即得：化簡可得：又所以上式可變?yōu)椋涸倭畈⒋肷鲜娇傻茫海?）可知（6）為關(guān)于z的一階非線性常微分方程，可用常數(shù)變易法對其進(jìn)行求解，對其積分可得，再乘以即可得到（4）的通解：3.具有以下幾個定理性質(zhì)的方程均可以通過常數(shù)變異法進(jìn)行求解[11]：定理l若,則二階非線性微分方程（1）的通積分為（2）其中為任意常數(shù)。在定理1中令，則有推論1若，則二階非線性微分方程的通積分為其中為任意常數(shù)。[11]給出的6個定理以及推論均是由首次積分得出的，下面我用常數(shù)變易法的求解方法來證明該方程是如何得出的。證明:上式可變?yōu)?a)在這里設(shè)是方程(1)中對應(yīng)的方程：(b)的一個不恒為零的解。令，則有代入方程可得化簡可得：又因?yàn)槭欠匠讨袑?yīng)的方程：的一個不恒為零的解。所以代入化簡所得的方程可得：令并代入上式可得：（c）在（c）中將當(dāng)做已知函數(shù)，對（c）進(jìn)行一階非線性常微分方程的常數(shù)變易法求解，即可得出z，z為關(guān)于的函數(shù)，再將代入即可得到，則即可得到結(jié)論。在3.2舉例中的3.2.3給出具體步驟，以下推論均可用此方法退出,就不一一證明了。定理2若且，則二階非線性微分方程（3）的通積分為（4）其中為任意常數(shù)。在定理2中令，則有下面的推論。推論2若且，則二階非線性微分方程的通積分為

其中為任意常數(shù)。定理3若且，則二階非線性微分方程（5）的通積分為（6）其中為任意常數(shù)。在定理3中令，則有下面的推論。推論3若且，則二階非線性微分方程的通積分為其中為任意常數(shù)。定理4若為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程(7)的通積分為(8)其中為任意常數(shù)。在定理4中令，則有下面的推論。推論4若為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程的通積分為。其中為任意常數(shù)。定理5若為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程（9）的通積分為（10）其中為任意常數(shù)。在定理5中令，則有下面的推論。推淪5若為非零常數(shù)，則二階非線性微分方程的通積分為，其中為任意常數(shù)。定理6若，則二階非線性微分方程（11）的通積分為（12）其中為任意常數(shù)。在定理6中令時(shí)，則有下面的推論。推論6若，則二階非線性微分方程的通解為其中為任意常數(shù)。3.2舉例3.2解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理1得出。3.2.解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理2得出。3.2.解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則的通解為：設(shè)原方程的通解為代入原方程可得：可知其為可分離變量的常微分方程，所以可以用常數(shù)變異法來求解?？傻茫簞t化簡并代入可得：可知可用常數(shù)變易法求解，求解可得：又則再將帶回到原方程即可得到，也可由定理3得出。3.2.解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理4得出。3.2.解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理5得出。3.2.解：原式可化為：明顯可知是上面方程對應(yīng)的方程：的一個不恒為零的解。令，則，代回到原式可得：令，則則通過一階非線性方程的常數(shù)變易法即可得到方程的通解，也可由定理6得出。結(jié)論本文重點(diǎn)探討了一階和二階非線性常微分方程的常數(shù)變易法，即對兩類方程進(jìn)行系統(tǒng)地分析、比較、歸納、總結(jié)。針對兩類方程，本文分別給出八種和是四種解題方法，每一個方法都有自己的特點(diǎn)。在實(shí)際計(jì)算過程中，需根據(jù)各類問題的特點(diǎn)，適當(dāng)選擇相應(yīng)的解法可簡化計(jì)算。然后指出我們做非線性常微分方程的方法可歸結(jié)為：線性化，可積化，降階化。通過這三種方法可將一階，二階非線性常微分方程求解出來，甚至更高階的非線性常微分方程求解得出，其中必不可少的一個方法就是常數(shù)變易法。致謝在完成這次畢業(yè)論文的過程中，要非常感謝指導(dǎo)老師—鄧麗老師。在整個過程中，鄧?yán)蠋熃o予了我很大的幫助和支持。論文初期，老師給了我很多相關(guān)的資料和書籍，并指出了需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的主要章節(jié)。老師給我安排了合理的進(jìn)度，每周都不辭辛苦地從老校區(qū)趕到新校區(qū)答疑，總是能夠非常圓滿地解決我所遇到的困難。平時(shí)鄧?yán)蠋熯€專門抽時(shí)間打電話詢問論文進(jìn)展情況，督促我抓緊時(shí)間按質(zhì)按量完成任務(wù)。論文初稿完成后，鄧?yán)蠋熯M(jìn)行了仔細(xì)地審閱，對一些基本格式和論文內(nèi)容的修改提出了很多寶貴意見。能夠順利完成這次畢業(yè)論文，離不開鄧?yán)蠋煹拇罅χС趾蛶椭?。另外，在這期間，還不斷就一些基本知識及定理的證明請教同學(xué)，大家都熱情地與我一起討論，使得一些問題得到了順利地解決，在此深表謝意。同時(shí)，對四年來辛勤培養(yǎng)和關(guān)心我們的數(shù)學(xué)系全體老師表示由衷地感謝，感謝在生活和學(xué)習(xí)上幫助過我的同學(xué)們，從他們的身上我學(xué)到了書本上永遠(yuǎn)學(xué)不到的東西，謝謝你們。參考文獻(xiàn)[1]湯光榮等，求解的若干公式，長沙電力學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1996，11（1），83-86[2]譚信民，一階非線性常微分的三種可積類型，韶關(guān)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）1996,17（4）,13-19[3]湯光榮，常微分方程專題研究，武漢華中理工大學(xué)出版社，1994[4]王高雄，周之銘，朱思銘等，常微分方程[M],北京高等教育出版社，1983[5]彭向陽．二階二次微分方程的解[J]．長沙大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，13(2)：l8-20[6]周尚仁，權(quán)宏順．常微分方程習(xí)題集[M]．北京：人民教育出版社，1980．104-l15[7]湯光宋，原存德．高階非線性常微分方程組的可積類型[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)。1995，16(9)：82l-828[8]李廣民，于力．一類二階非線性微分方程的求積問題．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用敦學(xué)，1996，12(1)：73-77[9]湯光宋．解兩類大量線性微分方程的常數(shù)變易法．贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1987(2)：8-l3[10]上海師大數(shù)學(xué)系，中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海師院數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．上海：人民教育出版社．1978[11]陳肖石，湯光榮，利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程，西江大學(xué)學(xué)報(bào),2000年第二期[12]劉久方，劉學(xué)生，常微分方程中常數(shù)變易法的推廣，大連大學(xué)學(xué)報(bào),2009年第六期目錄TOC\o"1-3"\h\z前言 11城市現(xiàn)狀 21.1自然狀況 21.2社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)狀 51.3城市結(jié)構(gòu)與人口 61.4城市能源供應(yīng)及消費(fèi)狀況 71.5環(huán)境狀況 71.6交通條件 82設(shè)計(jì)依據(jù)、設(shè)計(jì)原則及規(guī)范與標(biāo)準(zhǔn) 92.1設(shè)計(jì)依據(jù) 92.2編制原則 92.3編制應(yīng)遵循的規(guī)范、標(biāo)準(zhǔn) 113我國城鎮(zhèn)燃?xì)飧艣r與發(fā)展燃?xì)庹?123.1我國能源 123.2城鎮(zhèn)燃?xì)飧艣r 143.3我國發(fā)展城鎮(zhèn)燃?xì)庹?194氣源確定與氣源基本參數(shù) 194.1氣源條件 194.2CNG與LNG氣源選擇 224.3CNG供氣及供氣基本參數(shù) 235工程項(xiàng)目范圍、供氣規(guī)模及主要工程量 245.1工程項(xiàng)目建設(shè)的必要性 245.2工程項(xiàng)目范圍 255.3供氣原則 255.4供氣對象與供氣范圍 265.5氣化人口與氣化率的確定 265.6工程分期 275.7各類用戶耗熱定額 275.8居民與商業(yè)用戶高峰系數(shù)的確定 285.9供氣比例與供氣規(guī)模 305.10各類用戶耗氣量平衡與高峰流量 315.11儲氣與調(diào)峰 346CNG氣源站 386.1站址選擇 386.2建站規(guī)模及占地面積 396.3總圖布置 396.4CNG氣源站豎向設(shè)計(jì) 406.5交通運(yùn)輸及道路 416.6綠化 416.7用地指標(biāo) 416.8工藝設(shè)計(jì)與主要設(shè)備 426.9管材選擇及防腐 476.10公用工程 487中壓管網(wǎng)輸配系統(tǒng) 537.1中壓輸配系統(tǒng)壓力級制確定 537.2城區(qū)中壓管網(wǎng)布置原則 557.3中壓管網(wǎng)布置 567.4中壓管網(wǎng)的敷設(shè)和特殊地段的處理 577.5管材選擇與防腐 587.6管道水力計(jì)算 598、組織機(jī)構(gòu)及勞動定員 619環(huán)境保護(hù)專篇 629.1設(shè)計(jì)采用規(guī)范及標(biāo)準(zhǔn) 639.2污染物及治理措施 639.3綠化設(shè)計(jì) 6410消防專篇 6510.1設(shè)計(jì)采用規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn) 6510.2工程項(xiàng)目火災(zāi)危險(xiǎn)性分析 6510.3消防措施 6610.4建立健全各種規(guī)章制度 6711勞動保護(hù)、職業(yè)安全與工業(yè)衛(wèi)生 6811.1設(shè)計(jì)依據(jù)及遵循的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范 6811.2安全措施 6811.3勞動保護(hù)與工業(yè)衛(wèi)生 7012各類用戶對燃?xì)鈨r(jià)格承受能力分析 7112.1居民用戶對燃?xì)鈨r(jià)格承受能力分析 7112.2商業(yè)用戶對天然氣價(jià)格承受能力分析 7213節(jié)能 7313.1能耗分析 7313.2節(jié)能措施 73HYPERLINK\l"_Toc2572