第五章三角函數(shù)5 3誘導公式課時1二

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，永不過期第五章 三角函數(shù)5.3

誘導公式課時1 誘導公式二、三、四學習目標了解公式二、公式三和公式四的推導方法.（邏輯推理）能夠準確記憶公式二、公式三和公式四.（數(shù)據(jù)分析）掌握公式二、公式三和公式四，并能靈活應用.（數(shù)學運算）自主預習·悟新知合作探究·提素養(yǎng)隨堂檢測·精評價寫出誘導公式一.[答案]

<>msin

2??π

+

?? =

sin??m></

，

cosm><

2??π+?? =

cos??m></

，

tanm><

2??π

+?? =

tan??m></

，

??m><

∈

??m></

.角πm><

±

??m></

，

???m>< m></

的終邊與角??m>< m></

的終邊有怎樣的對稱關系？[答案]

（1）角πm><

+

??m></

與角??m>< m></

的終邊關于原點對稱；（2）角???m>< m></

與角??m>< m></

的終邊關于??m>< m></

軸對稱；（3）角π

?m><

??m></

與角??m>< m></

的終邊關于??m>< m></

軸對稱.3.誘導公式中角<>m??/<>m

一定是銳角嗎？<>m

/><m

m><?/<>m<>m

m<>/[答案]

誘導公式中角??

可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求??

≠

??π

+?

，

??

∈

??

.誘導公式一～四改變函數(shù)的名稱嗎？[答案]

誘導公式一～四都不改變函數(shù)名稱.化簡<>msin

???π

/<>m

.[答案]

<>msin

??

?

π =

?sin

π?

?? =

?sin??/<>m

.1.判斷下列結論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）誘導公式中角??

是任意角.(

×

)點??

??,

??

關于??

軸的對稱點是??′

???,

??

.(

×

)?（5）

在公式tan

??

?

π =

tan??

中，

??

=

?

不成立.(誘導公式中的符號是由角??

的象限決定的.(

×

)誘導公式一、二、三、四函數(shù)的名稱都不變.(

√

)√

)2.若cos

π?

?? =

?

，則cos??

=.?><m?

?/><m?[解析]

∵

cos

π?

?? =

?cos??

=

?

，

∴

cos??

=

?

?

.?

?3.已知tan??=6

，則tan

???=

<>m?6/<>m

.[解析]

tan

??? =

?tan??

=

?6

.o4.

sin

585

=

.?<>m?

?

/<>m[解析]

sin

585°

=

sin

360°

+

180°

+

45°

+

45°

=

?sin

45°

=

???

.探究1

公式二如圖，在平面直角坐標系內，設任意角<>m??/<>m

的終邊與單位圓交于點<>m???/<>m

，作點<>m???/<>m

關于原點的對稱點<>m???/<>m

.問題1：.以<>m?????/<>m

為終邊的角><m??/<>m

與角<>m??/<>m

有什么關系？/<>m

.根據(jù)三角函數(shù)的定義，得m><sin??=???

?<>m

m></<>m

，

cos??

=

??

m></

，

tan??

=[答案]

以<>m?????/<>m

為終邊的角<>m??/<>m

都是與角<>mπ

+

??/<>m

終邊相同的角，即<>m??

=

2??π

+

π

+

??

??

∈??問題2：.角<>m??/<>m

，<>m??/<>m

的三角函數(shù)值之間有什么關系？[答案]

設<>m???

???,

???

/><m

，

<>m???

???,

???

/<>m

，因為點><m???/<>m

是點><m???/><m

關于原點的對稱點，所以<>m???

=?

???/<>m

，

<>m???

=

????/><m

.????/<>m

，所以<>msin

π

+

?? =

???

=

????

=

?sin??/><m

，

<>mcos

π

+

?? =

???

=

????

=

?cos??m></

，

tanm><

π

+??

=???

?/<>m??

=

??

=tan??

.新知生成公式二：<>msin

π+??=

?sin??/<>m

，

<>mcos

π

+

??=

?cos??/<>m

，

<>mtan

π

+

??=

tan??/<>m

.新知運用例1

計算下列各式的值：?/<>m（1）

cos

???

；m><（2）

sin

225°cos

210°

+

cos

30°sin

210°

?

tan

45°

.m><

/<>m方法指導

利用誘導公式將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角（一般為特殊角）的三角函數(shù).[解析] （1）

cos

???

=

cos 4π

+???

?=

cos π

+?=

?cos

?

=

??

?

??

.+

cos

30°sin

180°

+30°?

tan

45°（2）原式=sin

180°+45°cos

180°+30°=

sin

45°cos

30°

?

cos

30°sin

30°

?

tan45°=?

×

?

?

1?

?=?

×

?

??

???

???

.?方法總結

解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式子之間的角、函數(shù)名稱及有關運算之間的差異及聯(lián)系.?已知cos

π

+

?? =

?

?

，則sin

??

?2π =

(20@@).A.

?B.

?

?C.

±

??

?D.

±

??D?[解析]

由cos

π

+??=?cos??=??

，可得cos??=?

，則sin??=±?

，?

?

??故sin

??

?2π =

sin??

=

±

?

.故選D.探究2

公式三如圖，在平面直角坐標系內，設任意角<>m??/<>m

的終邊與單位圓交于點<>m???/<>m

，作點<>m???/<>m

關于<>m??/<>m軸的對稱點<>m???/<>m

.問題1：.以<>m?????/<>m

為終邊的角><m??/><m

與角<>m??/<>m

有什么關系？[答案]

因為點<>m???/><m

關于<>m??/<>m

軸的對稱點為<>m???/<>m

，所以以<>m?????/<>m

為終邊的角<>m??/<>m

都是與角<>m???/<>m

終邊相同的角，所以??m><

=

2??π

+

??? ??

∈

??

/<>m

.?<>m?<>m根據(jù)三角函數(shù)的定義，得m<>sin??=??

m></

，cos??=??

m></

，tan??=問題2：.角<>m??/<>m

，<>m??/<>m

的三角函數(shù)值之間有什么關系？[答案]

設<>m???

???,

???

/<>m

，

<>m???

???,

???

/><m

，因為點<>m???/><m

是點><m???/><m

關于><m??/<>m

軸的對稱點，所以<>m???

=???/<>m

，

<>m???

=

????/<>m

.????/<>m

，=

???

=

????

=

?sin??/><m

，

><mcos

?????

??=

???

=

???

=

cos??/<>m

，

<>mtan

??? =

?

=

?

?

=?

?所以<>msin

????

tan??/<>m

.新知生成公式三：<>msin

???=

?sin??/<>m

，

<>mcos

???=

cos??/<>m

，

<>mtan

???=

?tan??/<>m

.新知運用例2

（1）計算tan

?945°

；m><

m></><m（2）化簡???

??

???

???????

????/<>m

.方法指導

（1）利用誘導公式化成特殊角，然后求值；（2）利用誘導公式化簡后，再利用同角關系化簡.[解析]

（1）

tan

?945°

=

?tan

945°

=

?tan

225°

+

2

×

360°

=

?tan

225°

=?

tan

180°

+

45°

=

?tan

45°

=

?1

.（2）原式=

???????

???

=

????????

=

?1

.???

???

?????方法總結

三角函數(shù)式化簡的常用方法：（1）利用誘導公式，將任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù).（2）將表達式中的切函數(shù)轉化為弦函數(shù).化簡下列各式：（1）???

???

????

????；（2）<>m???

????

????

????

/<>m???

???°????

????°<>m???

????°

????

????°

/<>m.[解析]

（1）原式=??????????????

???

????

???=

?????????

=1

.?????????（2）原式=???

???°???°

?[????

???°???°

]???

????°???°

?[????

???°????°

]=????

??°????

??°???

??°?[????

???°???°

]=

????

??°

=

?

.????

??°

?探究3

公式四如圖，在平面直角坐標系內，設任意角<>m??/<>m

的終邊與單位圓交于點<>m???/<>m

，作點<>m???/<>m

關于<>m??/<>m軸的對稱點<>m???/<>m

.問題1：.以<>m?????/<>m

為終邊的角><m??/><m

與角<>m??/<>m

有什么關系？[答案]

因為點<>m???/><m

關于<>m??/<>m

軸的對稱點是<>m???/><m

，所以以<>m?????/<>m

為終邊的角<>m??/<>m

都是與角<>mπ

?

??/<>m

終邊相同的角，即??m><

=

2??π

+ π

?

?? ??

∈

??

/<>m

.?<>m?<>m根據(jù)三角函數(shù)的定義，得m<>sin??=??

m></

，cos??=??

m></

，tan??=問題2：.角<>m??/<>m

，<>m??/<>m

的三角函數(shù)值之間有什么關系？[答案]

設<>m???

???,

???

/<>m

，

<>m???

???,

???

/><m

，因為點<>m???/><m

是點><m???/><m

關于><m??/<>m

軸的對稱點，所以<>m???

=?

???/<>m

，

<>m???

=

???/<>m

.????/<>m

，所以m><sin

π

?

?? =

???

=

???

=

sin??/<>m

，

<>mcos

π

?

?? =

???

=

????

=

?cos??/<>m

，

tanm><

π

?

????=

??

=??/<>m?

??

=

?tan??

.新知生成公式四：<>msin

π???=

sin??/<>m

，

<>mcos

π

?

??=

?cos??/<>m

，

<>mtan

π

?

?? =

?tan??/<>m

.新知運用?

cos

180°

?

?? =

??

，則sin

180°

+

??

cos

180°

?

??

等于?/><m<>m

m></（2）已知cos

??

?75°

=

?

?

，求cos

255°

?

??

的值.m<>例3

（1）已知sin

??

?360°?????（1）

><m

/<>m

.方法指導

要先尋找已知角與未知角之間的聯(lián)系，然后采用誘導公式將未知角的三角函數(shù)用已知角的三角函數(shù)表示，從而得出結論.[解析]

（1）

∵

sin

??

?360°

?

cos

180°

?

?? =

sin??

+

cos??

=

??

，∴

sin

180°

+

??

cos

180°

?

?? =

sin??cos??

=?????????

???

=

????

.?

??（2）

∵

cos

??

?75°

=

?

?

，?∴

cos

255°

?

?? =

cos[180°

? ??

?

75°

]

=

?cos

??

?

75°

=

?

.方法總結解決條件求值問題的策略：（1）解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關運算之間的差異及聯(lián)系.（2）可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化.??（1）

若cos

2π???

=

?

且??

∈ ?

?

,0

，則sin

π?

?? =

(03@@).A.

??

?B.

?

??C.

?

??D.

±

??B?[解析]

因為cos

2π??? =

cos??

=

?

，

??

∈??

?

,0

，?所以sin??

=

? 1

?cos???

=

?

?

，?則sin

π??? =

sin??

=

?

?

.?（2）

已知cos

?

?

??

=?

，則cos ??

+??

=?

?.?<>m?

?

/><m[解析]

cos ??

+????=

cos[π?

?

???

]?=

?cos

?

??? =

???

.?1.

cos

???

=(A.

??B.

?

??C.?

?D.

??

?34@@

C

).[解析]cos

???

=

cos 4π???

?=

cos ?

???=

cos

?

=??

.A.

?1+

3

B.

1

+

3C.

?1

?

32.

tan

300°

+

sin

450°

的值是(

D

).36@@D.

1

?

3+

sin

90°

=

?tan

60°

+

1

=