第二節(jié)多元函數(shù)概念

第二節(jié) 多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1前面幾章討論的函數(shù)都只有一個(gè)自變量,稱一元函數(shù).但在實(shí)際問題中,往往牽涉到

多方面的因素,反映到數(shù)學(xué)上,就是一個(gè)變

量依賴于多個(gè)變量的情形,這就提出了多元函數(shù)以及多元函數(shù)微積分問題.本章將在一元微積分的基礎(chǔ)上,討論多元函數(shù)的微分法和積分法.主要討論二元的情況.一、多元函數(shù)的定義x2yz例1

設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z，則長方形的體積V

=

x

yz

(

x

>

0,

y

>

0,

z

>

0)當(dāng)x,y,z的值分別給定時(shí)，按這個(gè)公式，V就有一個(gè)確定的值與之相對應(yīng)，這時(shí)我們就稱V是x,y,z的三元函數(shù).一、多元函數(shù)的定義3例2在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)為y

=

CKa

Lb

,這里C,α,β為常數(shù)，L＞0，K＞0分別表示投入的勞力數(shù)量和資本數(shù)量，y表示產(chǎn)量.當(dāng)K,L的值給定時(shí)，y就有一確定值與之對應(yīng)，因此稱y是K,L的二元函數(shù).以上是多元函數(shù)的實(shí)例，下面給出二元函數(shù)的定義。一、多元函數(shù)的定義4設(shè)D

是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn)定義P(x,y)?

D，變量z

按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z

是變量x,y

的二元函數(shù)，記為z

=

f

(

x,

y)

,

(

x,

y)

?

D類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．當(dāng)n

?2時(shí)，n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念.二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.5二元函數(shù)的圖形xyzo例如,

z

=

sin

xy圖形如右圖.再如,

x2

+

y2

+

z2

=

a2球面.D

=

{(

x,

y)

x2

+

y2

￡

a2

}.單值分支:z

=

a2

-

x2

-

y2z

=

-

a2

-

x2

-

y2

.6解2x

-

y

>

0|

3

-

x

2

-

y2

|￡

12x

>

y2

￡

x2

+

y2

￡

4所求定義域?yàn)镈

=

{(

x,

y)

|

2

￡

x2

+

y2

￡

4,

x

>

y2

}.x

-

y2arcsin(3

-

x2

-

y2

)求f

(x,y)=的定義域．例3xyo7二、二元函數(shù)的極限定義設(shè)二元函數(shù)z

=f

(x,y)在點(diǎn)P0

(x0

,y0

)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果存在常數(shù)A，對"e

>0

,$d

>0

,只要0

<(x

-x0

)2

+(y

-y0

)2

<d

,恒有f

(

x

,

y

)

-

A

<

e

，則稱函數(shù)z

=f

(x,y)當(dāng)(x,y)fi

(x0

,y0

)時(shí)以A

為極限,記為lim

f

(

x,

y)

=

A

.(

x

,

y

)fi

(

x0

,

y0

)891=

0

.x2

+

y2lim

(x2

+

y2

)sin(

x,

y)fi

(0,0)1-

0

|證|(x

2

+y2

)sin|x

2

+

y21x2

+

y2=|

x2

+

y2

| |

sin￡

x2

+

y2

，"

e

>

0,

$d

=

e,<d

時(shí)，1x

2

+

y2|

(

x2

+

y2

)

sin-0

|<e

，證畢．例4

證明當(dāng)0

<(x

-0)2

+(y

-0)2恒有例5求lim2

.2x2

y(

x,

y)fi

(0,0)

x

+

y解由基本不等式x2

+y2

?2

|

xy|,知x2

y

x2

yx0

￡x2

+

y2￡

2xy

=

2

fi

0

((x,

y)

fi

(0,0))由夾逼定理，lim1022

=

0

.x2

y(

x,

y)fi

(0,0)

x

+

y在一元函數(shù)的極限中,

x

fi

x0的方式可以任意；同理,在二元函數(shù)的極限中,

P(

x,

y)

fi

P0

(

x0

,y0

)的方式更為復(fù)雜,它要求

P

以任何方式趨于

P0

時(shí),f

(

x,

y)

均趨于

A.因此,假如

P

以不同的方式趨于P0

時(shí),

f

(

x,

y)

趨于不同的極限,則說明

f

(

x,

y)

當(dāng)P

fi

P0

時(shí)無極限.11xyx2

+

y2考察f

(x,y)=當(dāng)(x,y)fi

(0,0)時(shí)的極限.但如果沿射線y

=kx

(k?0),則xy因此,當(dāng)(

x,

y)

fi

(0,0)

時(shí),

無極限.x2

+

y2例6解

沿

x

軸考察,f

(

x,

y)

=

0

，沿y

軸考察,f

(

x,

y)

=

0

，lim(

x

,

y

)fi

(0,0)y=0lim(

x

,

y

)fi

(0,0)x=0limxyy=kx(

x

,

y

)fi

(0,0)

x

2

+

y22kx2x2

+

k

2

x=

limxfi

0=

?

0

，1

+

k

212k三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)二元函數(shù)z

=f

(x,y)在點(diǎn)P0

(x0

,y0

)的某一f

(

x,

y)

=

f

(

x0

,y0

)

，鄰域內(nèi)有定義,若lim(

x,

y

)fi

(

x0

,

y0

)則稱z

=f

(x,y)在(x0

,y0

)處連續(xù).一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.例如，函數(shù)z

=

1-

x2

-

y2

在D

={(x,

y)

|

x2

+

y2

￡1}內(nèi)連續(xù).13由例6

知,xyx2

+

y2當(dāng)(x,y)fi

(0,0)時(shí)無極限,討論函數(shù)140,22x2

+

y2

=

0,

x2

+

y2

?

0x

+

yxyf

(

x,

y)

=在(0,0)的連續(xù)性．例7故在(0,0)處不連續(xù).在(0,0)處連續(xù).注意比較：0,x

2

+

y2

=

0,

x

2

+

y2

?

0x2

yf

(

x,

y)

=

x

2

+

y2討論函數(shù)150,22x2

+

y2

=

0,

x2

+