半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計分布-課件

第三章半導(dǎo)體中

載流子的統(tǒng)計分布有效狀態(tài)密度函數(shù)費米分布函數(shù)、費米能級本征半導(dǎo)體載流子濃度雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子濃度一般情況下載流子統(tǒng)計分布簡并半導(dǎo)體熱平衡狀態(tài)：沒有外界影響(如電壓、電場、磁場或溫度梯度)作用在半導(dǎo)體上的狀態(tài)。本征半導(dǎo)體：沒有雜質(zhì)原子和缺陷的純凈晶體。載流子：能夠參與導(dǎo)電，荷載電流的粒子。電子、空穴。半導(dǎo)體中的載流子基本概念本征半導(dǎo)體中究竟有多少電子和空穴？n0表示導(dǎo)帶中平衡電子濃度p0表示價帶中平衡空穴濃度本征半導(dǎo)體中有：n0=p0=nini為本征載流子濃度ni的大小與什么因素有關(guān)？T、Eg如何計算載流子濃度？

假設(shè)在能帶中能量E與E+dE之間的能量間隔dE內(nèi)有量子態(tài)dZ個，則定義狀態(tài)密度g（E）為：

3.1狀態(tài)密度函數(shù)1、K空間單個量子態(tài)所占體積；2、E~E+dE對應(yīng)的k空間體積；3、前兩者相除得到dZ；3、根據(jù)左式得到g(E);每個允許的能量狀態(tài)在k空間中與由整數(shù)組（nx，ny，nz）決定的一個代表點（kx，ky，kZ

）相對應(yīng)

3.1.1K空間中量子態(tài)的分布3.1.2

狀態(tài)密度函數(shù)能帶中能量E附近每單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)。導(dǎo)帶中有效電子能態(tài)密度：價帶中有效電子能態(tài)密度：3.2統(tǒng)計力學(xué)在一定溫度下，半導(dǎo)體中的大量電子不停地作無規(guī)則熱運動，從一個電子來看，它所具有的能量時大時小，經(jīng)常變化。但是，從大量電子的整體來看，在熱平衡狀態(tài)下，電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計分布規(guī)律性，即電子在不同能量的量子態(tài)上統(tǒng)計分布幾率是一定的。3.2統(tǒng)計力學(xué)粒子在有效能態(tài)中的分布：三種分布法則麥克斯韋-玻爾茲曼分布函數(shù)。認為分布中的粒子可以被一一區(qū)分，且對每個能態(tài)所容納的粒子數(shù)沒有限制。玻色-愛因斯坦分布函數(shù)認為分布中的粒子不可區(qū)分，每個能態(tài)所容納的粒子數(shù)沒有限制。費米-狄拉克分布函數(shù)認為分布中的粒子不可區(qū)分，且每個能態(tài)只允許一個粒子存在。3.2統(tǒng)計力學(xué)——1費米分布函數(shù)

熱平衡條件下半導(dǎo)體中電子按能量大小服從一定的統(tǒng)計分布規(guī)律。能量為E的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率為據(jù)上式，能量比EF高5kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率僅為0.7%；而能量比EF低5kT的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率高達99.3%。

fF(E)表示能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，那么1-fF(E)就是能量為E的量子態(tài)不被電子占據(jù)的幾率，也就是被空穴占據(jù)的幾率。費米概率函數(shù)理想情況，能量小于EF的能級被電子占據(jù)的概率為１能量E>EfE<EfE=Ef概率＝０

１1/2費米能級ＥF有一定溫度時T>0費米能級ＥF如果溫度不很高，那么EF±5kT的范圍就很小，這樣費米能級EF就成為量子態(tài)是否被電子占據(jù)的分界線：

1)能量高于費米能級的量子態(tài)基本是空的；

2)能量低于費米能級的量子態(tài)基本是滿的；

3)能量等于費米能級的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是50%。費米分布函數(shù)與溫度密切相關(guān)！??！2玻爾茲曼分布函數(shù)費米分布函數(shù)中，若E-EF>>kT，則分母中的1可以忽略，此時上式就是電子的玻耳茲曼分布函數(shù)。同理，當(dāng)EF-E>>kT時，上式轉(zhuǎn)化為下面的空穴玻耳茲曼分布費米能級費米能級標(biāo)志了電子填充能級的水平。半導(dǎo)體中常見的是費米能級EF位于禁帶之中，并且滿足

Ec-EF>>kT或EF-Ev>>kT的條件。因此對導(dǎo)帶或價帶中所有量子態(tài)來說，電子或空穴都可以用玻耳茲曼統(tǒng)計分布描述。由于分布幾率隨能量呈指數(shù)衰減，因此導(dǎo)帶絕大部分電子分布在導(dǎo)帶底附近，價帶絕大部分空穴分布在價帶頂附近，即起作用的載流子都在能帶極值附近。例：四個電子處于寬度為a=10埃的一維無限深勢阱中，假設(shè)質(zhì)量為自由電子質(zhì)量，求T=0K時的費米能級.3半導(dǎo)體中載流子

電子空穴的平衡分布

導(dǎo)帶電子濃度與價帶空穴濃度要計算半導(dǎo)體中的導(dǎo)帶電子濃度，必須先要知道導(dǎo)帶中能量間隔內(nèi)有多少個量子態(tài)。又因為這些量子態(tài)上并不是全部被電子占據(jù)，因此還要知道能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率是多少。將兩者相乘后除以體積就得到區(qū)間的電子濃度，然后再由導(dǎo)帶底至導(dǎo)帶頂積分就得到了導(dǎo)帶的電子濃度。導(dǎo)帶電子的分布價帶空穴的分布半導(dǎo)體中載流子電子空穴的平衡分布假設(shè)電子空穴有效質(zhì)量相等，則EF位于禁帶中線半導(dǎo)體中載流子

n0p0的方程熱平衡時的電子濃度n0這里假設(shè)費米能級始終位于禁帶中。積分下限：Ec；積分上限：這里設(shè)為無窮大。由于E>EC;EC-EF>>kT所以有E-EF>>kT半導(dǎo)體中載流子n0p0的方程引入中間變量，得到為伽馬函數(shù)，其值為半導(dǎo)體中載流子n0p0的方程其中稱為導(dǎo)帶有效狀態(tài)密度，因此同理可以得到價帶空穴濃度其中稱為價帶有效狀態(tài)密度半導(dǎo)體中載流子n0p0的方程平衡態(tài)半導(dǎo)體導(dǎo)帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0與溫度和費米能級EF的位置有關(guān)。其中溫度的影響不僅反映在Nc和Nv均正比于T3/2上，影響更大的是指數(shù)項；3.3本征半導(dǎo)體載流子濃度本征半導(dǎo)體：本征激發(fā)：不含有任何雜質(zhì)和缺陷。導(dǎo)帶電子唯一來源于成對地產(chǎn)生電子－空穴對，因此導(dǎo)帶電子濃度就等于價帶空穴濃度。本征半導(dǎo)體的電中性條件是qp0-qn0=0即n0=p0=ni本征載流子濃度本征半導(dǎo)體的費米能級稱為本征費米能級，EF=EFi。上兩式相乘有：任何平衡態(tài)半導(dǎo)體載流子濃度積n0p0

等于本征載流子濃度ni2。對確定的半導(dǎo)體材料，受式中Nc和Nv、尤其是指數(shù)項exp(-Eg/kT)的影響，本征載流子濃度ni隨溫度的升高顯著上升。平衡態(tài)半導(dǎo)體n0p0積與EF無關(guān)；對確定半導(dǎo)體，mn*、mp*和Eg確定，n0p0積只與溫度有關(guān)，與是否摻雜及雜質(zhì)多少無關(guān)；一定溫度下，材料不同則mn*、mp*和Eg各不相同，其n0p0積也不相同。溫度一定時，對確定的非簡并半導(dǎo)體n0p0積恒定；3.3本征半導(dǎo)體載流子濃度公認值會與上式計算得到的ni值有一定誤差：有效質(zhì)量為低溫下進行的回旋共振實驗測定值，此參數(shù)可能與溫度有關(guān)；狀態(tài)密度函數(shù)由理論推導(dǎo)得到，有可能與實驗結(jié)果不十分吻合。3.3本征半導(dǎo)體載流子濃度3.3本征半導(dǎo)體載流子濃度

與溫度關(guān)系很大：溫升１５０度時，濃度增大４個數(shù)量級。3.3本征半導(dǎo)體載流子濃度

本征費米能級位置上式兩邊取自然對數(shù)并求解EFi有：禁帶中央本征費米能級精確位于禁帶中央；本征費米能級會稍高于禁帶中央；本征費米能級會稍低于禁帶中央；練習(xí)1）兩塊半導(dǎo)體材料A，B除了禁帶寬度不同，其他參數(shù)完全相同。Eg(A)=1eV,Eg(B)=1.2eV.求T=300K時兩種材料的ni比值。2）假設(shè)某種半導(dǎo)體材料的導(dǎo)帶狀態(tài)密度為一個常數(shù)C，且假設(shè)費米統(tǒng)計分布和玻耳茲曼近似有效。試推導(dǎo)熱平衡狀態(tài)下導(dǎo)帶內(nèi)電子濃度的表達式。3.4雜質(zhì)半導(dǎo)體中載流子濃度摻入施主雜質(zhì)的半導(dǎo)體，施主能級Ed位于比導(dǎo)帶底Ec低ΔEd的禁帶中，且ΔEd<<Eg。對于摻入Ⅲ族元素的半導(dǎo)體，被受主雜質(zhì)束縛的空穴能量狀態(tài)(稱為受主能級Ea)位于比價帶頂Ev低ΔEa的禁帶中,ΔEa<<Eg.

(a)施主能級和施主電離(b)受主能級和受主電離圖

雜質(zhì)能級和雜質(zhì)電離非本征半導(dǎo)體：摻雜半導(dǎo)體3.4非本征半導(dǎo)體電子和空穴的平衡狀態(tài)分布3.4非本征半導(dǎo)體的載流子濃度電子占據(jù)施主能級的幾率

雜質(zhì)半導(dǎo)體中，施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)要么處于未離化的中性態(tài)，要么電離成為離化態(tài)。以施主雜質(zhì)為例，對施主電子來說，每個施主能級都有兩種可能的自旋方向，每個施主能級就對應(yīng)兩種量子態(tài)。當(dāng)把其中一個電子放入其中一個量子態(tài)上之后，就排除了將其他電子放入第二個量子態(tài)的可能，這種情況下電子占據(jù)施主能級的幾率為一、雜質(zhì)能級上的電子和空穴雜質(zhì)能級最多只能容納某個自旋方向的電子。3.4雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度

施主濃度:ND

受主濃度:NA

（2）電離雜質(zhì)的濃度

（1）雜質(zhì)能級上未離化的載流子濃度nD和pA

：二、n型半導(dǎo)體的載流子濃度

n0=p0+nD+

（7）當(dāng)溫度從高到低變化時，對不同溫度還可將此式進一步簡化假設(shè)只含一種n型雜質(zhì)，在熱平衡條件下，半導(dǎo)體是電中性的：n型Si中電子濃度n與溫度T的關(guān)系：雜質(zhì)離化區(qū)過渡區(qū)本征激發(fā)區(qū)特征：本征激發(fā)可以忽略，p0≈0導(dǎo)帶電子主要由電離雜質(zhì)提供。電中性條件n0=p0+nD+

可近似為

n0=nD+（9）1、雜質(zhì)離化區(qū)（1）低溫弱電離區(qū)：

特征：nD+<<ND

弱電離(2)中間弱電離區(qū)：

本征激發(fā)仍略去，隨著溫度T的增加，nD+已足夠大，故直接求解方程（8）（3）強電離區(qū)：

特征：雜質(zhì)基本全電離nD+≈ND

電中性條件簡化為n0=ND

（18）

這時，注：強電離與弱電離的區(qū)分：決定雜質(zhì)全電離的因素：

1、雜質(zhì)電離能；

2、雜質(zhì)濃度。在室溫（RT）時，當(dāng)雜質(zhì)濃度≧10ni時，nD+≈ND2、過渡區(qū)：

電中性條件：n0=ND+p0特征：（1）雜質(zhì)全電離nD+=ND

（2）本征激發(fā)不能忽略雜質(zhì)強電離后，如果溫度繼續(xù)升高，n0是否還等于Nd?費米能級的位置會怎樣改變？討論：顯然：n0>>p0，這時的過渡區(qū)接近于強電離區(qū)。多數(shù)載流子（多子）少數(shù)載流子（少子）

處在過渡區(qū)的半導(dǎo)體如果溫度再升高，本征激發(fā)產(chǎn)生的ni就會遠大于雜質(zhì)電離所提供的載流子濃度，此時，n0>>Nd，p0>>Nd，電中性條件是n0=p0，稱雜質(zhì)半導(dǎo)體進入了高溫本征激發(fā)區(qū)。在高溫本征激發(fā)區(qū)，因為n0=p0，此時的EF接近Ei。

過渡區(qū)后，如果溫度繼續(xù)升高，n0是否還等于Nd?費米能級的位置會怎樣改變？

低溫段(100K以下)由于雜質(zhì)不完全電離，n0隨著溫度的上升而增加；然后就達到了強電離區(qū)間，該區(qū)間n0=ND基本維持不變；溫度再升高，進入過渡區(qū)，ni不可忽視；如果溫度過高，本征載流子濃度開始占據(jù)主導(dǎo)地位，雜質(zhì)半導(dǎo)體呈現(xiàn)出本征半導(dǎo)體的特性。施主濃度為5×1014cm-3

的n型Si中隨溫度的關(guān)系曲線。對p型半導(dǎo)體的討論與上述類似。對于雜質(zhì)補償半導(dǎo)體，若Nd+和Na-分別是離化施主和離化受主濃度，電中性條件為

如果考慮雜質(zhì)強電離及其以上的溫度區(qū)間，Nd+=Nd

和Na－=Na，上式為與n0p0=ni2聯(lián)立求解得到雜質(zhì)強電離及其以上溫度區(qū)域此式都適用。

3.5一般情況下的載流子濃度雜質(zhì)補償半導(dǎo)體以Ei為參考的表達式為(Nd-Na)>>ni對應(yīng)于強電離區(qū)；(Nd-Na)與ni可以比擬時就是過渡區(qū)；如果(Nd-Na)<<ni，那么半導(dǎo)體就進入了高溫本征激發(fā)區(qū)。雜質(zhì)補償半導(dǎo)體的費米能級練習(xí)1）已知硅晶體中含有原子比為10-6的As雜質(zhì)，然后再均勻摻入3×1016cm-3的P原子和1018cm-3的B原子，假設(shè)熱退火后所有的雜質(zhì)完全激活。請問：A硅的導(dǎo)電類型。B多數(shù)載流子濃度2）300K時，在Si中含有8×1016cm-3的As原子和2×1016cm-3的B原子，計算熱平衡時電子和空穴的濃度及Fermi能級的位置。費米能級的位置n型和p型費米能級的位置與摻雜濃度的關(guān)系費米能級的位置與溫度的關(guān)系可見n型半導(dǎo)體的n0和EF是由溫度和摻雜情況決定的。雜質(zhì)濃度一定時，如果雜質(zhì)強電離后繼續(xù)升高溫度，施主雜質(zhì)對載流子的貢獻就基本不變了，但本征激發(fā)產(chǎn)生的ni隨溫度的升高逐漸變得不可忽視，甚至起主導(dǎo)作用，而EF則隨溫度升高逐漸趨近Ei。半導(dǎo)體器件和集成電路能正常工作在雜質(zhì)全部離化而本征激發(fā)產(chǎn)生的ni遠小于離化雜質(zhì)濃度的強電離溫度區(qū)間。在一定溫度條件下，EF位置由雜質(zhì)濃度Nd決定，隨著Nd的增加，EF由本征時的Ei逐漸向?qū)У譋c移動。n型半導(dǎo)體的EF位于Ei之上，EF位置不僅反映了半導(dǎo)體的導(dǎo)電類型，也反映了半導(dǎo)體的摻雜水平。3.6簡并半導(dǎo)體及其載流子濃度半導(dǎo)體中玻耳茲曼分布函數(shù)并不總是適用，n型半導(dǎo)體中如果施主濃度Nd很高，雜質(zhì)能級會分裂為能帶，隨著濃度的增加，能帶逐漸展寬，當(dāng)Nd增大到可以與有效狀態(tài)密度相比擬時，有可能與導(dǎo)帶底相交疊。EF就會與導(dǎo)帶底Ec重合甚至進入導(dǎo)帶，此時E-EF>>kT不再成立，必須用費米分布函數(shù)計算導(dǎo)帶電子濃度，這種情況稱為載流子的簡并化，服從費米分布的半導(dǎo)體稱為簡并半導(dǎo)體。提問：n型半導(dǎo)體中如果施主濃度Nd很高，玻耳茲曼分布函數(shù)是否仍然適用？簡并化條件

因此用Ec-EF的大小作為判斷簡并與否的標(biāo)準(zhǔn).不同分布函數(shù)得到的n0/Nc與(EF-Ec)/(k0T)關(guān)系費米能級的位置？簡并半導(dǎo)體的載流子濃度簡并半導(dǎo)體的n0與非簡并半導(dǎo)體計算類似，只是分布函數(shù)要代入費米分布因為，再令，，上式化簡為其中積分稱為費米-狄拉克積分，因此簡并半導(dǎo)體的n0表達式為下圖是費米-狄拉克積分F1/2(ξ)與ξ的關(guān)系：費米-狄拉克積分F1/2(ξ)與ξ關(guān)系簡并時雜質(zhì)未充分電離As在Ge和Si中的ΔED分別為0.0127eV和0.049eV，簡并時

EC-EF=0，經(jīng)計算得到室溫下的離化率分別只有23.5%和7.1%，因此簡并時雜質(zhì)沒有充分電離。盡管雜質(zhì)電離不充分，但由于摻雜濃度很高，多子濃度還是可以很高的。因為簡并半導(dǎo)體中的雜質(zhì)濃度很高，雜質(zhì)原子之間相距較近，相互作用不可忽略，雜質(zhì)原子上的電子可能產(chǎn)生共有化運動，從而使雜質(zhì)能級擴展為能帶。雜質(zhì)能帶的出現(xiàn)使雜質(zhì)電離能減小，當(dāng)雜質(zhì)能帶與半導(dǎo)體能帶相連時會形成新的簡并能帶，同時使?fàn)?/p>