歐拉多面體公式

多面體歐拉公式的歷史、建立過程和方法古希臘的畢達哥拉斯學派和柏拉圖學派,他們發(fā)現(xiàn)了五種正多面體:正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。歐幾里得在《幾何原本》中曾試圖證明只有這五種正多面體,但沒有成功。在很長的歷史時期里,這個問題沒有解決。后來,人們逐漸認識到,依靠角度、長度、面積等幾何量的測量或計算,這個問題難以解決,而從多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)的關系入手,有可能獲得成功。1639年,笛卡兒考察了五種正多面體頂點數(shù)(V)、棱數(shù)(E)和面數(shù)(F)的關系，采用不完全歸納法，猜測到:頂點數(shù)與面數(shù)之和減去棱數(shù),是一個不變量2,也就是:V+F-E=2。后來,他又用一些簡單的多面體來驗證自己的猜想,但是沒有給出嚴格的證明,也沒有發(fā)表。1751年,歐拉給出了這一性質(zhì)的一個證明。后人稱它為多面體歐拉公式。歐拉之所以對這一性質(zhì)感興趣,是要用它來做多面體的分類。［1］但歐拉沒有考慮到連續(xù)變換下的不變性。歐拉問題的提出：任意一個三角形的內(nèi)角和為180度,與三角形的形狀無關，進而得到任一個凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)兀，表明凸多邊形的內(nèi)角和由邊數(shù)完全決定，而與形狀無關。那么，推廣到空間,對于由若干個多邊形圍成的凸多面體,是否也有某種類似的簡單性質(zhì)呢?歐拉就這樣由類比提出了問題。歐拉證明如下：一個多面體有幾種角呢?每條棱處有一個由兩個面組成的二面角;每個頂點處,有一個由相交于這個頂點的各個面所圍成的角,叫立體角(它的大小等于以立體角頂點為球心的單位球面被這個立體角的各個面所截出的球面多邊形的面積的大小)；每個面多邊形的每一個內(nèi)角，叫多面體的一個面角。歐拉首先考察多面體的所有二面角之和(記為工§)及所有立體角之和(記為工?)，看它們是否有某種簡單的性質(zhì)。歐拉從最簡單的多面體—四面體開始考察。四面體由四個三角形圍成(圖1),為了便于計算，歐拉考察了兩種退化的情形。(1)四面體退化成一個三角形和它內(nèi)部一點與三個頂點所連成的線段(圖2)。（2）四面體退化成一個平面凸四邊形和它的兩條對角線（圖（2）四面體退化成一個平面凸四邊形和它的兩條對角線（圖3）。圖【 圖2對于情形（1）（圖2）,三角形三邊處的二面角皆為0內(nèi)部三條線段處的二面角皆為兀，所以工6=3兀.三角形三個頂點處立體角皆為兀，內(nèi)部頂點處的立體角等于2兀（即半個單位球面的面積，球面面積為4兀r2），所以工①=2兀。對于情形（2）（圖3）,四邊形四條邊處的二面角皆為0,兩條對角線處的二面角皆為兀，所可見四面體的二面角之和與立體角之和都與四面體的形狀有關，沒有類似于三角形內(nèi)角和定理這樣簡單的性質(zhì)?多么令人失望啊，然而歐拉并沒有就此止步，因為還有面角和尚未考察呢.記多面體的面角和為工a,歐拉先考察四面體.四面體由四個三角形圍成，所有面角之和Ya=4兀,與四面體的形狀無關.這個結果對歐拉是一個鼓舞.繼續(xù)考察五面體.五面體（一）（圖4）由兩個三角形和三個四邊形圍成,所有面角之和工a=2xk+3x(4-2)兀=8兀五面體（二）（圖5）由一個四邊形和四個三角形圍成,所有面角之和工a=(4-2)兀+4xk=6兀這兩個Ea不等，說明面角和不能簡單地由面的個數(shù)來決定.歐拉接著又考察了幾個多面體，看能不能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

立方體（圖6）由六個正方形圍成,所有面角之和工^=6x（4-2加=12兀正八面體（圖7）由八個三角形圍成,所有面角之和工a=8xi=8兀五棱柱（圖8）由兩個凸五邊形和五個平行四邊形圍成,所有面角之和=2x（5一2）i+5x（4一2）兀=16兀尖頂塔形（圖9）是在立方體上加一個四棱錐,由五個正方形和四個三角形圍成,所有面角之和 =5x（4一2）i+4xn=14n從上述數(shù)據(jù)能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎?歐拉發(fā)現(xiàn)雖然它們都不相等，但都小于2Vn（此處v是多面體的頂點數(shù)），且與2Vn的差是一個常數(shù)2Vn-Ea=4n。將觀察所得材料進行歸納,尋找和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，決不是一種簡單的一眼就能看出的事情，在這里，如何進行歸納是能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律的關鍵?歐拉把觀察所得面角和與ZV二進行比較，表現(xiàn)了非凡的創(chuàng)造性,導致了發(fā)現(xiàn).歐拉認為上述結果不像是偶然的巧合，因為在考察的多面體中，既有規(guī)則的（例如立方體、正四面體和正八面體）也有不規(guī)則的（例如五面體（一）和（二））以及五棱柱和尖頂塔形?于是歐猜想:對于任意凸多面體有Za=2Vn-4n ⑴即多面體的面角和由它的頂點數(shù)完全決定?注意，這只是一個猜想.歐拉接著又考察了一些多面體,結果可以列成下表.名面體F72VrlV*r—工U正十二面體122040jt■J77正二面怵202012rr+2(4丹—4)^2n■Ttt+1(2n—2)sr?；7T所得結果均支持上述猜想，這些雖然增加了猜想成立的可能性，但歐拉明白這還不是對一般情形的證明。接下來，歐拉從另一角度計算多面體的面角和工Q?設多面體各個面多邊形的邊數(shù)分別為S,S,S,…,S此處F是多面體的面的個數(shù)?于TOC\o"1-5"\h\z12 3 F是乏Z a= (S -2)兀 +(S -2)兀+…+(S -2)兀=(S +S+…+S -2F)兀\o"CurrentDocument"1 2 F 1 2 F其中S+S+…+S二2E。是多面體所有F個面多邊形的邊數(shù)的總和?在這個總和中，多1 2 F面體的每一條棱恰好被計算了兩次(因為每一條棱都是相鄰兩個面的公共邊)?設多面體的棱數(shù)為E,于是有S+SH HS=2E。1 2 F因此得到=2(E—F)兀 (2)即多面體的面角和由它的棱數(shù)和面數(shù)完全決定?注意，關系式(2)是經(jīng)過證明得到的結論,而不是猜想.歐拉綜合了猜想(1)和事實(2)(從這兩個式子中消去)得到V-E+F=2 (3)因此(3)仍然是一個猜想，尚需要證明.上述發(fā)現(xiàn)公式(3)的過程，基本上是按照歐拉關于這個問題的一篇論文敘述的.歐拉在這篇論文中沒有給出公式的證明?在另一篇論文中，歐拉試圖給出證明，但證明中有一個很大的漏洞.下面介紹波利亞的書中給出的與前面的討論很接近的一個證明.注意到，將一個多面體連續(xù)地變形(例如使多面體變得更傾斜)時，多面體各面的交線(即棱)和各面的交點(即頂點)的位置也會連續(xù)地變化，但多面體的總體結構,即多面體的面、棱和頂點之間的相互關系不會改變，于是面數(shù)F,棱數(shù)E及頂點數(shù)F也不會改變.雖然各個面角可能會改變，但前面已經(jīng)證明工a=2兀(E-F),即面角和工a是不會改變的.下面將多面體連續(xù)地變形到一個非常極端的情形來計算工a(我們對一般情形的多面體來證明，但我們心中可以具體想著一個立方體).以多面體的一個面為底，將其適當擴大,擴大到使其余F—1個面向底面的正投影全都落在該底面內(nèi)，然后將該多面體垂直壓向底面?于是多面體被“壓平”為兩個重疊在一起的多邊形?上下兩塊的外輪廓線互相重合?下面一塊是整塊(即底面)，上面一塊分成F-1個多邊形，每個小多邊形都是原來多面體的一個面?例如以立方體的一個面ABCD為底面，壓平后的圖形如圖10.n下面一塊(底面多邊形)的直角和為(m-2)兀?上面一塊的面角和分為兩部分,在邊上m個頂點處的面角和為(m-2)兀，在內(nèi)部(V—m)個頂點處的面角和為(V-m)2—于是工a=(m-2)n+(m-2)兀+(V-m)2兀=2Vn-4兀這就證明了前面的猜想(1).再由前面已經(jīng)得到的》a=2兀(E-F),也就證明了猜想(3)V-E+F=2.1811年,法國數(shù)學家柯西利用不變量的思想，重新給出了這個公式的證明。第一個歐拉公式的嚴格證明，由20歲的法國科學家柯西給出，大致如下：從多面體去掉一面，通過把去掉的面的邊互相拉遠，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網(wǎng)絡。不失一般性，可以假設變形的邊繼續(xù)保持為直線段。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是，點，邊和面的個數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網(wǎng)絡的外部。)重復一系列可以簡化網(wǎng)絡卻不改變其歐拉數(shù)(也是歐拉示性數(shù))F-E+V的額外變換。1.若有一個多邊形面有3條邊以上，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角型。(逐個)除去所有和網(wǎng)絡外部共享兩條邊的三角形。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面。除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數(shù)各減一而保持定點數(shù)不變。重復使用第2步和第3步直到只剩一個三角形。對于一個三角形F=2(把外部數(shù)在內(nèi))，E=3,V=3。所以F-E+V=2。證畢。1813年，瑞士數(shù)學家呂利埃發(fā)現(xiàn)歐拉公式并非對任何多面體都成立。例如，一個正立方體中挖去一個小立方體，貝y：V+F-E=4如果把小立方體上下都挖通，則:V+F-E=O呂利埃發(fā)現(xiàn)了歐拉公式成立的條件，那就是多面體必須是凸多面體。一個多面體，如果上面沒有洞”，使得它的表面能連續(xù)地變形為一個球面，就是凸多面體。1847年，德國數(shù)學家施陶特簡化了多面體歐拉公式的證明,現(xiàn)在一般拓撲學課本上都是用施陶特的證明。后來，法國數(shù)學家彭加萊(1854-1912)又用拓撲思想重新考察了多面體的歐拉公式，認識到這一公式是一個典型的拓撲性質(zhì)定理。發(fā)現(xiàn)多面體歐拉公式的方法主要是歸納法，還有類比法。拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比。”歸納法是從觀察和實驗得來的許多個別的事實材料中推出一般性結論的思維方法。歸納法又分為完全歸納法和不完全歸納法。不完全歸納法的步驟是:觀察——歸納——猜想。發(fā)現(xiàn)多面體的面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)和棱數(shù)(E)之間的關系，就先從觀察入手，拿幾個多面體來，數(shù)一數(shù)它們的面數(shù)、頂點數(shù)和棱數(shù)，列成一個表，例如多面體|們數(shù)(尸丿頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)立方體6812三棱錐446六棱錐7712六棱柱81218在觀察這些特例數(shù)據(jù)的基礎上,進行歸納,得出猜想:對于任何多面體來說,面數(shù)加頂點數(shù)減棱數(shù)等于2,即:F+V-E=2但是,由于數(shù)據(jù)太少,靠少量數(shù)據(jù)得出的公式難以令人信服?？赡軞W拉還會通過多面體的“生成法”進一步去考慮這個問題。例如,在四面體或六面體之外,加一個頂點,使它和靠近那一面的各個頂點聯(lián)起來,作成一個新的多面體。然后，再考慮F、V、E的變化情況,結果發(fā)現(xiàn)(F+V)和E的增加數(shù)相同，所以公式中F+V-E的數(shù)值保持不變。一般說來，設想多面體外增加一點A和靠近它的那一面(例如有n個頂點的面)的各頂點聯(lián)起來，這就增加了n個邊,也就是E增加了數(shù)目n;另一方面,又增加了(n-1)個面，外加頂點A、(F+V)的數(shù)值也增加了(n-1)+1=n，因此，(F+V)-E總保持不變?？梢韵嘈?歐拉正是通過觀察——歸納——猜想才得出多面體歐拉公式的。類比法是在兩類不同的事物之間進行對比，找出若干相同或相似之點后，推測在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種思維方法。多面體可以和多邊形類比，正如