2021江蘇南京師大附中高三數(shù)學(xué)高考模擬測(cè)試題含答案

2021江蘇南京師大附中高三數(shù)學(xué)高考模擬測(cè)試題含答案

南京師大附中2021屆高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘,試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一、選擇題.本題共s小88,每小ISs分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

I.設(shè)復(fù)數(shù)二馬在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，4=3+4i,則二仔？二

A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i

2.已知集合4=(3,+8)，集合8=k|3、＞9｝，則xw/是xwB的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知0.6為單位向量，且a6=0,若c=3a-?b,則cos?,c)二

A石R而cAn2石

5555

CD

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西

夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)塔群該塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建，

依山勢(shì)自上而下，第一階I座，第二階3座，第三階3座,

第四階5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成

一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)1()8座，故

名一百零八塔則該塔的階數(shù)是

A.10B.11C.12D.13

6.若2sin160。+tan20°=后,則實(shí)數(shù)2的值為

A.3B.-C.2D.4

2

7.已知矩形A8CZ),48=1,AD=2,點(diǎn)￡為8c邊的中點(diǎn).將AJ8E沿/￡翻折，得到

四棱錐B-AECD,且平面BAE1平面AECD,則四面體B-ECD的外接球的表面積為

79

A,—nB.41C.一冗D.5無(wú)

22

8.已知e"2=g(aw2),e*'3=-(/>*3),e'-4=-(c*4),則

234

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

二、選擇題：本88共4小題,每小題5分，共20分.在每小88給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合82目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得o分.

9.高三(I)班有45人，擬采用無(wú)記名投票方式從5名候選人中選出3名優(yōu)秀學(xué)生.選舉規(guī)則

為每人必須投且只能投一票，限在候選人中選擇，候選人獲票數(shù)居前三名的當(dāng)選.在當(dāng)選的3名

候選人中，由票數(shù)高低決定獲獎(jiǎng)等次，分別為省級(jí)三好學(xué)生、市級(jí)三好學(xué)生、區(qū)級(jí)三好學(xué)生.

*

由事前的民意調(diào)查得知，候選人張某的得票數(shù)剛好達(dá)到候選人得票數(shù)的平均數(shù)，如果張某決定

投自己一票，請(qǐng)問下面預(yù)測(cè)張某當(dāng)選結(jié)果中正確的有*?

A.不可能獲省三好學(xué)生稱號(hào)B.可能獲市三好學(xué)生稱號(hào)

丐19

C.一定能獲獎(jiǎng)D.可能落選?在，

10.函數(shù)/(X)=COS(69X+0(o>0,(peo,/Jj的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確

的有

A./(x)的周期為萬(wàn)

B./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2K-；,2*+[](keZ)

C./(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=4-1(AeZ)

D./(2020)+/(2021)=0

xV*

11.已知橢圓C：r+vT=1(。>6>0)的左，右兩焦點(diǎn)分別是7;；,鳥,其中2c直線

a'h'

l:y=k(x+c)(keR)與橢圓交于48兩點(diǎn),則下列說法中正確的有

A.A48F,的周長(zhǎng)為4"

L2

B.若的中點(diǎn)為例,則&加/==

C.若祈麗=3/則橢圓的離心率的取值范圍是

T'2

D.若48的最小值為3c,則橢圓的離心率e=；

12.將2"("wN)個(gè)有編號(hào)的球隨機(jī)放入2個(gè)不同的盒子中，已知每個(gè)球放入這2個(gè)盒子的

可能性相同,且每個(gè)盒子容納球數(shù)不限.記2個(gè)盒子中最少的球數(shù)為X(04X4”,XeN?),

則下列謂去中正確的有

A.當(dāng)"=1時(shí)，方差O(X)=，

4

B.當(dāng)”=2時(shí)，P(%=1)=-

8

C.Vn>3,3kelO,n)(Jk,neN'),使得P(X=A)>P(X=4+1)啦

D.當(dāng)"確定時(shí)，期望￡(')=述\/)

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=x(ln.r+1),則〃x)在處的切線方程為.

14.已知隨機(jī)變量*-N(2。?)，若。(X24)=0.1，則。(0<X<4)=.

15.已知在［X-：)(〃eN.)的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為

5:2,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，此時(shí)￡C：2'T=.(結(jié)果用數(shù)字表示)

16.三等分角是古希臘三大幾何難題之一.公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線解決

了三等分角問題如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角(0<ZACB<外具體操作方法如下：

在弦18上取一點(diǎn)。，滿足,40=27)8，以49為實(shí)軸，6/1。為虛軸作雙曲線，交圓弧18

于點(diǎn)M,則N/aW=2NMC8,即CM為乙4c8的三等分\Jt：/

線已知雙曲線E的方程為9-\=1,點(diǎn)4。分別為雙曲線Vx-H-pC

￡的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)C為雙曲線￡的右準(zhǔn)線/''

上一點(diǎn)，且不在x軸上，線段C8交雙曲線￡于點(diǎn)尸.若扇形/|:C\

CA/8的面積為史,則竺的值為__________

2CP

四、解答題：本題共6小題，共7。分.解答應(yīng)寫出文字說明、證照過程或演算步舞.

17.(10分)在A/18。中，ZBAC=^,AC=2.

(1)若8c=/,求&48C的面積；

(2)若反=2而,AD=^s/2\,求8c的長(zhǎng).

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,a“M=5a”(〃eN)，數(shù)列｛2｝是公差不為0的等差

數(shù)列.若他｝滿足,.

在①&也也成等比數(shù)列，②％=4+",③=26“+1(”eN)這三個(gè)條件中任選兩個(gè),

補(bǔ)充到上面的問題中.若問題中的數(shù)列論,｝存在，求數(shù)列1%］的前"項(xiàng)和S”；若問題中的數(shù)

列也｝不存在，說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19.(12分)2021年4月17日，江蘇園博會(huì)正式向公眾開放昔日廢棄采礦區(qū)化繭成蝶，變身

成了"世界級(jí)山地花園群”.園博園的核心景區(qū)蘇韻薈谷以流水串聯(lián)，再現(xiàn)了江蘇13個(gè)地市歷

史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長(zhǎng)河中，吸引眾多游客前來打卡.某旅行社開

發(fā)了江蘇園博園一日游線路,考慮成本與防疫要求,每團(tuán)人數(shù)限定為不少于35人，不多于40

人除去成本,旅行社盈利100元/人.已知該旅行社已經(jīng)發(fā)出的I。個(gè)旅行團(tuán)的游客人數(shù)如下表

麻：

序號(hào)12345

游客人數(shù)3935383836

序號(hào)678910

游客人數(shù)3940374038

(1)該旅行社計(jì)劃從這10個(gè)團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)的游客，就服務(wù)滿意度進(jìn)行回訪，求這

3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率；

(2)預(yù)計(jì)暑假期間發(fā)團(tuán)200個(gè)，將盈利總額記為X(單位：萬(wàn)元)，用上表中的頻率估計(jì)概

率，求X的數(shù)學(xué)期望..

20.(12分)如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成其中，ZFAB=90a,

AB=AF=2，點(diǎn)G為弧CO的中點(diǎn)，且C,G,￡>,￡四點(diǎn)共面.

(1)證明：2G,8,尸四點(diǎn)共面；

(2)若平面8。廠與平面/I8G所成銳二面角的余弦值為

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)￡(0,2),以O(shè)E為直徑的圓與拋物線

。52=2/，(〃>0)交于點(diǎn)村,可(異于原點(diǎn)。),A/N恰為該圓的直徑.過點(diǎn)￡作直線交拋

物線與48兩點(diǎn)，過48兩點(diǎn)分別做拋物線C的切線交于點(diǎn)R

(I)求證：點(diǎn)/'的縱坐標(biāo)為定值；

(2)若尸是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：ZPFA=NPFB.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=tanx-sinx,g(.r)=x-sinx,

(I)證明：關(guān)于x的方程/(x)-g(x)=.l-在|o,1)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)時(shí)，/(x)2ag(x),求實(shí)數(shù)。的最大值.

南京師大附中2021屆高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

I.本試卷考試時(shí)間為12()分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5?米黑色型水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.

一.選擇題.本題共8小gfi,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合胭目要求的.

I,設(shè)復(fù)數(shù)二|,巧在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，4=3+4i,則二仔？=

A.-25B.25C.7-24iD,-7-24i

【答案】A

2.已知集合4=(3,+8),集合8={巾,>9},則X"是xe8的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

3.已知a.6為單位向量，且a/=0,若c=3a-Rb，則cos(a,c)=

石V10而八2石

A.---B.----C.----D.----

5555

【答案】C

4.函數(shù)/(幻=8§.「3>/?7?+制的圖象大致是

【答案】B

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市,是始建于西夏

時(shí)期的喇嘛式實(shí)＜心塔群.該塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建,依

山勢(shì)自上而下,第一階1座，第二階3座，第三階3座，

第四階5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一

個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)108座，故名一

百零八塔.則該塔的階數(shù)是

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

6.§Asin1600+tan200=V3,則實(shí)數(shù)2的值為

A.3B.-C.2D.4

2

【答案】D

7.已知矩形.48。,AB=\,AD=2,點(diǎn)￡為8c邊的中點(diǎn)將■沿/￡翻折，得到

四棱錐8-4ECO,且平面平面力ECO,則四面體A-EC。隹汐卜接球的表面積為

7

A.—/rB.4不cD.5zr

2-r

[?*]B

【解析】如圖所示，取,OE中點(diǎn)分別為G,//，連結(jié)8G,

作/〃=8G,且〃///8G,

設(shè)外接球球心為。，半徑為八，

由平面BAE1平面AECD，易知8Gl平面AECD,

則有"7，平面DEC,且易知球心O在/，上，四邊形BG1H為矩形,

設(shè)?！?/,則有/=/+，=|-+1解得/=￥，所以r=l,

22

此時(shí)點(diǎn)/與點(diǎn)。重合，外接球表面積為4兀

8.已知c"2=gm*2),=-(bh3),ei=§(c*4),則

234

A.c<h<aB,c<a<bC,a<h<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】記/(x)=.(x>0),有/'(x)=e"(xj),

XX"

所以/(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+0。)單調(diào)遞增，

又有/(“)=/(2),/(/))=,/(3),/(c)=/(4),

則/(2)</(3)</(4)，所以/(“)</(力</(c),

結(jié)合圖像，依地意可知a,/>,ce(0,l),所以

二、選擇題：本題共4小跑,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分.有選錯(cuò)的得。分.

9.高三(I)班有45人，擬采用無(wú)記名投票方式從5名候選人中選出3名優(yōu)秀學(xué)生.選舉規(guī)則

為每人必須投且只能投一票，限在候選人中選擇，候選人獲票數(shù)居前三名的當(dāng)選.在當(dāng)選的3名

候選人中，由票數(shù)高低決定獲獎(jiǎng)等次，分別為省級(jí)三好學(xué)生、市級(jí)三好學(xué)生、區(qū)級(jí)三好學(xué)生.

由事前的民意調(diào)查得知，候選人張某的得票數(shù)剛好達(dá)到候選人得票數(shù)的平均數(shù)，如果張某決定

投自己一票，請(qǐng)問下面預(yù)測(cè)張某當(dāng)選結(jié)果中正確的有

A.不可能獲省三好學(xué)生稱號(hào)B,可能獲市三好學(xué)生稱號(hào)

C.一定能獲獎(jiǎng)D,可能落選

[ffX]BD

10.函數(shù)/(x)=cos(0x+p)的部分圖象如圖所示,則下列說法中正確

的有

A./(x)的周期為；r

B./(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-；,2A+()伏eZ)

C.f(x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=/-eZ)

4

D./(2020)+/(2021)=0

【答案】BCD

x2V2

11.已知橢圓。：-7+,=1(。>/>>0)的左，右兩焦點(diǎn)分別是戶；,鳥,其中直線

l:y=k(x+c)(keR)與橢圓交于A,B兩點(diǎn).則下列說法中正確的有

A.A48后的周長(zhǎng)為4〃

L2

B.若48的中點(diǎn)為M,則心v?4=/

C.若斯?麗=31,則橢圓的離心率的取值范圍是T5

D.若18的最小值為3c,則橢圓的離心率e=；

【答案】AC

【解析】&般=彳尸|+此+/6+8乙=W,A正確；

設(shè)必),B(x2J,例(土尹■，號(hào),有心“=黃瓷

西-七

則有勺”/=4二4=-土，B錯(cuò)誤；

X：7；6T

________「？,

2222222

AFX'AFy=x：+y：-c=-+t/-2ce[a-2c,a-c],

則有a2-2c24女24r-d,可得e=：e

易知.48的最小值為通徑——,則有一=3c,ap2?:-3ac-2:=0,

aat

解得“=2c，所以e=￡=1,D錯(cuò)誤.

a2

12.將2"(〃eN)個(gè)有編號(hào)的球隨機(jī)放入2個(gè)不同的盒子中，已知每個(gè)球放入這2個(gè)盒子的

可能性相同，且每個(gè)盒子容納球數(shù)不限記2個(gè)盒子中最少的球數(shù)為\(04X4".XeN'),

則下列說法中正確的有

A.當(dāng)"=1時(shí)，方差。(￥)=,

4

B.當(dāng)〃=2時(shí)，P(X=1)=—

8

C.Vn>3,3kG[O,n)(k,neN"),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立

D.當(dāng)“確定時(shí),期望E(X)=M注/]

2

【答案】ACD

【解析】當(dāng)"=1時(shí)，P(X=Q)=；,P(X=1)=；,￡(X)=；,E(X?)=；,

則。⑶=E(XU)4A正確;

當(dāng)〃=2時(shí)，P(X=I)=2C：!,B$髓；

易知尸(*=旬=2%擊，尸(X=A+1)=2C；：去，3-2,

rn2CW",In

P(X=n)=巖，又有空J(rèn)=77i>i，所以"X=〃-D>ax=〃)，(正確；

易知￡"”￡警+?？盏裙P

A-0z/AM)//

=《(力仁”-”G")=與(為4”c￡-嗚.)=合力4&二-Q)

/i-l/hI/A>l

=/?4C1-G.)哇(4X?-q)=照三0，D正確.

三、填空跟：本翹共4小題，每小825分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=x(lnx+l)，則/(x)在(I,/⑴)處的切線方程為

【答案】y=2x-l

14.已知隨機(jī)變量X~2(2卬2),若P(XW4)=0.1,則/>(0<X<4)=.

【答案】0.8

15.已知在[x-：J(“eN')的展開式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為

5:2,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,此時(shí)￡c：2i=.（結(jié)果用數(shù)字表示）

1=1

【答案】1120,3280

【解析】依題意有-3），解得”=8,

2

通項(xiàng)為,取，?=4,得常數(shù)項(xiàng)為16c=1120;

X

￡C；2'T=，之C；2'-1=^^=3280.

,=I2i=o22

16.三等分角是古希臘三大幾何難題之一.公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線解決

了三等分角問題如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角（0<ZACB<幻.具體操作方法如下：

在弦48上取一點(diǎn)。，滿足,4。=2。8，以X。為實(shí)軸，G/1。為虛軸作雙曲線，交圓弧48

于點(diǎn)M,則Z.ACM=2Z.MCB，即CM為N/C8的三等分

線.已知雙曲線E的方程為9-a=1,點(diǎn)4。分別為雙曲線

E的左，右頂點(diǎn),點(diǎn)8為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)C為雙曲線E的右準(zhǔn)線

上一點(diǎn),且不在x軸上,線段C6交雙曲線E于點(diǎn)P若扇形

CMB的面積為主，則竺的值為

2CP----------

【答案】V2

［解析］設(shè)。（1,乂），/力8=2&,則圓（、：（*_1）2+（,_乂尸=9+,；,

、9/r

易知SIH肪C&=。（9+弁）=虧，又有tana=

y=x-4

可得匕=-3,則8C:)=x-4,聯(lián)立x，y2，可得。=3(友-2、

——=i

412

BP

所以

BC-BPy<-yr

四、解答題：本跑共6小題，共7()分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在A/f8c中，ZSJC=y,AC=2.

(I)若8C=",求A48c的面積；

(2)若方心=2而,AD=^s[2\,求8c的長(zhǎng).

【解析】解析一：

（1）在揖8c中，ZBAC=-.AC=2,BC=41,

由余弦定理得，AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC=BC2,

所以482-2/8-3=0,即（43-3）（48+1）=0,又AB>Q,

所以48=3,所以A/I8C的面積S='/18/CsinN8/lC=,x3x2x^=氈.

2222

解法二：

在A/18c?中，ZBAC=-,AC=2,BC=#i,

3

BCACanx/l2

由正弦定理得，---------=---------,即-----=----------,

sinZB/fCs\nZABC§訪四sinZ/4SC

3

所以sinN/18C=叵（立，

72

又在448c中，N48Cw（0,牛），所以N/8C是銳角，

所以cosN/8C=Jl-sin2/.ABC=—.

7

因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180°,

所以sin4c8=sin(N/i8c+Z.BAC)--^―,x—+—^--x-^-=(,

所以A48C的面積S=，4C?8C?sinNJC5=1x2xJ7x2i=±3

22142

(2)解析一：

因?yàn)榛?2而，所以詬=5四+，

.,>A.?>I.?>4.?冗2/—

所以1O-=2/18-+2ZC-+W48-/C,又NB4C=2,AC=2,JD=-V21,

99933

代入化簡(jiǎn)得，月82+48-20=0,即(48-4)(/18+5)=0，又48>0,

所以48=4.

在根8c中，ZBAC吟,AC=2,AB=4,

由余弦定理得，13C2=AB2+AC2-2ABACcos/lBAC=l6+4-2x4x2x-=\2,

2

又BC>。,所以8c=2>/j.

解析二：

在A43C中，i&AB=x,又N8/C=g,/C=2,由余弦定理得，

BC=\lAB2+AC2-2AB-ACcosZ.ABC=y/x2-2x+4,

r—I

此時(shí)cosZJ8C=-r—="

V.V2-2X+4

因?yàn)榉?2而，所以8〃二蟲-214.

在A48。中，由余弦定理，AD'=AB1+BD2-ABBD-cosZABC

22

2fyjx-2x+4｝-yjx-2x+4x-14244

13yl377-2x74999

X/JD=^V21，所以3廣+6x+§=§*21,化簡(jiǎn)得.d+x-20=0,

即(x-4)(x+5)=0,又x>0,所以x=4,所以8c=26.

18.(12分)已知數(shù)列｛叫滿足q=l,a*“=5q,(〃eN),數(shù)列｛"｝是公差不為0的等差

數(shù)列若也｝滿足,.

在①乙也也成等比數(shù)列，②的="+4,③%=2b,+1("eN')這三個(gè)條件中任選兩個(gè),

補(bǔ)充到上面的問題中.若問題中的數(shù)列｛4｝存在，求數(shù)列的前”項(xiàng)和S“；若問題中的數(shù)

列也｝不存在，說明理由.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解析】

蝌①②

設(shè)數(shù)列?,,｝的公差為，/(〃=0).

因?yàn)椤┮惨渤傻缺葦?shù)列，所以優(yōu)=他,即(々=4("+3d),①

因?yàn)椤?=a+“，又％=1,=5%,得%=5,

所以4+4+3d=5，②

由①，②聯(lián)立可得2%/+/=3%/,即/=%/,因?yàn)閐wO,解得”=4，

代人②可得d=l,所以"=〃.

因?yàn)椋惺堑缺葦?shù)列，所以a?=2"'，所以”=品.

e.23n_

邑=|+m+5+…+產(chǎn)?③

雌①③

設(shè)數(shù)列他,｝的公差為"(dHO).

由③可知，U=2々+1,4=2b?+I=2(24+1)+1=4々+3,

由①，因?yàn)樯耙渤傻缺葦?shù)列，所以以=/>A,

即(2々+1)2=々(4々+3)，解得々=-1,所以”=-1,則d=0,

與題意矛盾，故數(shù)列｛"｝不存在.

雌②③

設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d(dwO).

由③可知，4=2々+1,a=24+1=2(24+1)+1=44+3=4+3",

解得乙=4-1

因?yàn)榈?4+，，又％=I,%+1=5",，，得小=5,

72

所以4+4+3"=5,即2(d-1)+3"=5,解得,/=；々=],

7

因此。=]〃-1.因?yàn)椋?,｝是等比數(shù)列，所以4=5"?,

所以？1'=與’.

2916

婷亨+亨+??+3

?5"

I2上9

c，⑥

5S-=F+7+"，+5〃5"

⑤-⑥得：《邑=—2+7—+...+7——7-〃--一-5=2—+7-^―

51525”5”“525]_予

1—

5

解得邑=與一28"+15

16x5"

19.(12分)2021年4月17日，江蘇園博會(huì)正式向公眾開放.昔日廢棄采礦區(qū)化繭成蝶,變身

成了"世界級(jí)山地花園群”.園博園的核心景區(qū)蘇韻薈谷以流水串聯(lián)，再現(xiàn)了江蘇13個(gè)地市歷

史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長(zhǎng)河中，吸引眾多游客前來打卡.某旅行社開

發(fā)了江蘇園博園一日游線路，考慮成本與防疫要求，每團(tuán)人數(shù)限定為不少于35人，不多于40

人.除去成本,旅行社盈利100元/人.已知該旅行社已經(jīng)發(fā)出的10個(gè)旅行團(tuán)的游客人數(shù)如下表

標(biāo)：

序號(hào)12345

游客人數(shù)3935383836

序號(hào)678910

游客人數(shù)3940374038

(I)該旅行社計(jì)劃從這10個(gè)團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)的游客，就服務(wù)滿意度進(jìn)行回訪，求這

3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率；

(2)預(yù)計(jì)暑假期間發(fā)團(tuán)200個(gè)，將盈利總額記為X(單位：萬(wàn)元)，用上表中的頻率估計(jì)概

率，求X的數(shù)學(xué)期望..

【解析】

游客人數(shù)353637383940

次數(shù)統(tǒng)計(jì)111322

11131

頻率

Toio10io55

（注：上述表格不一定要出現(xiàn)，只要在解題中說明各種人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)就可以）

（1）設(shè)這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同為事件力

—c1119

尸(A)=1-P(A)=1----卜=1-------=—

C'?120120

故這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率是胃.

(2)￥的可能取值為70,72,74,76,78,80.

X的分布列為

X707274767880

1113￡

P

ToToToTo55

E(X)=70x—+72x—+74x—+76x—+78xU80xg=76（萬(wàn)元）

101010105

20.（12分）如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成.其中,ZE4B=90°,

AB=AF=2,點(diǎn)G為弧的中點(diǎn)，且C,G,Q,￡四點(diǎn)共面.

（1）證明："G,8.F四點(diǎn)共面；

【解析】

(I)解析一：

連接。G,因?yàn)?AF=AB,

所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，NOCE=45°,

在半圓OGC上，G是弧C7)中點(diǎn)，所以NGOC=45°,

所以。G〃EC，又ECUFB,

所以。G〃必，8、F、G四點(diǎn)共面.

解析二：

AF=AB=2,設(shè)AD=h,F(2,0,0),8(0,2,0),0(0,0,力),

麗=(-2,0,〃),“=(2,-2,0),設(shè)平面8ED的法向量為〃=(x,y,z),

則有化簡(jiǎn)得」=尹所以取”=(力也2),

2x-2v=0.

i[x=y.

40,0,0),8(0,2,0),6(-1,1,A),而=(0,2,0),而=(-1」向,

設(shè)平面A8G的法向量為m=〃?,$,/)

2s=0j$一0

■■,,八化簡(jiǎn)得‘，所以取"，=(〃,0,1),

{-r+s+ht=0.(r=ht.

平面8。尸與平面/<8G所成二面角即"與，”夾角或其補(bǔ)角,

所以18sg)|

M力：:

解得“=石，所以<。=石.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系x0i，中，已知點(diǎn)￡(0,2),以。￡為直徑的圓與拋物線

C:x2=2py(p>0)交于點(diǎn)例,N(異于原點(diǎn)O，MN恰為該圓的直徑過點(diǎn)/?作直線交拋

物線與48兩點(diǎn)，過48兩點(diǎn)分別做拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

(1)求證：點(diǎn)？的縱坐標(biāo)為定值：

(2)若/」是拋物線C的焦點(diǎn),證明：NPFA=NPFB.

【解析】

以O(shè)C為直徑的圓為./+(>，-=1.由題意可知該圓與拋物線交于一條直徑，由對(duì)稱性可知

交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(-1,1).代入拋物線方程可得2〃=1.

所以拋物線的方程為.「=?.

(1)設(shè),8(x,,x；),所以心口=5~”=占+居，

所以直線48的方程為J'-X：=(X1+x2)(.r-X|)，即.r=(X1+x2)x-x.x,.

因?yàn)橹本€過點(diǎn)C(0.2),所以f.=2,所以x/=-2.①

直線PA的方程為y-X；=2xt(x-占)，即y=2X|X-x；,

同理直線PB的方程為y=2x,x-x；.

聯(lián)立兩直線方程，可得上手，

由①可知點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為定值-2.

(2)解析一：

10當(dāng)尸尸_Lx軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)立言=0,則x,+七=0,

可知48兩點(diǎn)關(guān)于『軸對(duì)稱，此時(shí)=,

代入到角公式化簡(jiǎn)可得

1

?/DCAk-k卜,八2（x；-2）X1

tanNPFA=-〃-----5一=-----!----------彳

1+,即/v2_

1_,14

2（x；-2）內(nèi)

”91?

='=2（7+2）=2（7一西三）

占卜73-；）7占7占

同理，tanNPFB=-2（、+2）=_2（上一x局）.2（±-x?）,

7X27X27

綜上，可得tanAPFA=tanZ.PFB.

注意到兩角都在(07)內(nèi)，可知N*=/PFB.

解析二：

萬(wàn).萬(wàn)FBFP

cosZPE4=cosZPFJ=MW

注意到兩角都在9幻內(nèi)，

萬(wàn)歷而.而

可知要證NP￡4=/尸必，即證~w=~w*

所以萬(wàn)?所=占

5=4囤+

FBFP7

同理,(,)式得證

解析三：

可知點(diǎn)尸(0.；),準(zhǔn)線/:y=-；.

過48分別作/4U，88J/于點(diǎn)4W,

可知同1,-,所以&“=-《，又如=三;:梟~=吠,

所以4“也尸=-1,所以A,F1AP

又AAt=AF,所以A/1吊尸是等腰三角形，可知4是4尸的中垂線，

所以PA=PF,所以，所以NPE4=NP4/,同理NPF8=ZP8iB,

同理PB、=PF且Z.PFB=ZPB,8,所以2片=PA,.

所以NP4￡=,所以ZP//=KPB,B,所以NPE4=NP必.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=tanx-sinx,g(x)=x-sinx,

(I)證明：關(guān)于X的方程/。)-8(*)=》在(0,1)上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根;

(2)當(dāng)X40,1