2023年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題（含答案）

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷滿分150分.考試時間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1已知集合，則（）A B.C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.5.的展開式中的系數(shù)為（）．A. B. C.40 D.806.已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）A.7 B.6 C.5 D.47.在中，，則（）A. B. C. D.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）A. B.C. D.10.已知數(shù)列滿足，則（）A.當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.當(dāng)時，遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D.當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知函數(shù)，則____________．12.已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．14.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．15.設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.如圖，在三棱錐中，平面，．（1）求證：平面PAB；（2）求二面角的大小．17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求的值．（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．（1）求的方程；（2）設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．20.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點個數(shù)．21.已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).（1）若，求的值；（2）若，且，求；（3）證明：存在，滿足使得．2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.A2.D3.B4.C5.D6.D7.B8.C9.C10.B二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.112.13.①.②.14.①.48②.38415.②③三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.證明：(Ⅰ)∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，

∴PA⊥AC，PA⊥BC，

∵PA=1，PC=3，

∴AC=PC2?PA2=3?1=2，

又∵AB=BC=1，∴AC2=AB2+BC2，

∴BC⊥AB，又∵PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB；

解：(Ⅱ)以點B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BC所在直線為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則A(0,1,0)，B(0,0,0)，C(1,0,0)，P(0,1,1)，

∴AP=(0,0,1)，AC=(1,?1,0)，BP=(0,1,1)，BC=(1,0,0)，

設(shè)平面APC的一個法向量為n=(x,y,z)，

則AP?n=z=0AC?n=x?y=0，取x=1，得n=(1,1,0)，

設(shè)平面BPC的一個法向量為m=(a,b,c)，17.解：(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ)，

所以f(0)=sinφ=?32，

又因為|φ|<π2，所以φ=?π3．

(Ⅱ)若選①：f(π3)=1；

因為f(2π3)=1，

所以f(x)在x=π3和x=2π3時取得最大值1，這與f(x)在[?π3,2π3]上單調(diào)遞增矛盾，所以ω、φ的值不存在．

若選②：f(?π3)=?1；

因為f(x)在[?π3,2π3]上單調(diào)遞增，且f(2π3)=1，

所以f(x)在x=?π3時取得最小值?1，x=2π3時取得最大值1，

所以f(x)的最小正周期為T=2×(2π3+π3)=2π，計算ω=2πT=1，

又因為f(2π3)=sin(2π3+φ)=1，所以2π3+φ=2kπ+π2，k∈Z，

解得φ=2kπ?π618.解：(Ⅰ)由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為1640=0.4．

(Ⅱ)由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下降”的概率為1440=0.35，

40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為1040=0.25，

則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率C42×0．42×C21×0.35×C11×0.25=0.168．

(Ⅲ)由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，

“上漲”后下一次仍“上漲”的有419.解：(1)由題意可得：2b=4，e=53=?ca，a2=b2+c2，

解得b=2，a2=9，

∴橢圓E的方程為x29+y24=1．

(2)證明：A(0,2)，B(?3,0)，C(0,?2)，D(3,0)，

直線BC的方程為x?3+y?2=1，化為2x+3y+6=0．

設(shè)直線AP的方程為：y=kx+2，(k<0)，∴N(?4?k,?2)．

聯(lián)立y=kx+2x29+y24=1，化為：(4+9k20.解：(Ⅰ)因為函數(shù)f(x)=x?x3eax+b，

所以f′(x)=1?(3x2eax+b+ax3eax+b)=1?(3+ax)x2eax+b，

因為f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=?x+1，

所以f(1)=0f′(1)=?1，即1?ea+b=01?(3+a)ea+b=?1，

解得a=?1，b=1．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，x(?∞,0)0(0,3?3?(3?3+(3+g′(x)+0?0+

0?g(x)

單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以g(x)在區(qū)間(?∞,0)和(3?3,3+3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,3?3)和(3+3,+∞)上單調(diào)遞減；

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當(dāng)x∈(?∞,0)時，f′(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x<?1時，f′(x)<f′(?1)=1?4e2<0，f′(0)=1>0，

所以存在x1∈(?∞,0)，使得f′(x1)=0，

又因為f(x)在(?∞,x1)上單調(diào)遞減，在(x1,0)上單調(diào)遞增，

所以x1是f(x)的一個極小值點；

當(dāng)x∈(0,3?3)時，f′(x)單調(diào)遞減，且f′(3?3)<f′(1)=1?2<0，

所以存在x2∈(0,3?3)，使得f′(x2)=0，所以f(x)在(0,x2)上單調(diào)遞增，在(x2,3?3)上單調(diào)遞減，

所以x21.解：(Ⅰ)列表如下，對比可知r0=0，r1=1，ri0123a213A0236b133B0147r0112(Ⅱ)由題意知rn≤m且rn∈N，

因為an≥1，bn≥1，則An>a1=1，Bn≥b1=1，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，等號成立，

所以r0=0，r1=1，

又因為2ri+1≤ri?1+ri+1，

則ri+1?ri≥ri?ri?1，即rm?rm?1≥rm?1?rm?2≥...≥r1?r0=1，

可得ri+1?ri≥1，

反證：假設(shè)滿足rn+1?rn>1的最小正整數(shù)為1≤j≤m?1，

當(dāng)i≥j時，則ri+1?ri≥2；

當(dāng)i≤j?1時，則ri+1?ri=1，

則rm=(rm?rm?1)+(rm?1?rm?2)+...+(r1?r0)+r0≥2(m?j)+j=2m?j，

又因為1≤j≤m?1，則