二階常微分方程

二階常微分方程第1頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階常微分方程常用齊次定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理中的對(duì)稱性特殊函數(shù)常微分方程常微分方程的級(jí)數(shù)解法斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題本章小結(jié)第2頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問(wèn)題常用齊次定解問(wèn)題的要素常用齊次定解問(wèn)題的分類拉普拉斯算符的形式拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)第3頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問(wèn)題要素第4頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用齊次定解問(wèn)題的分類直角坐標(biāo)極坐標(biāo)球坐標(biāo)穩(wěn)定方程演化方程√√√！！

×第5頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯算符的形式二維三維直角坐標(biāo)極柱坐標(biāo)球坐標(biāo)第6頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)下拉普拉斯算符形式的推導(dǎo)極坐標(biāo)下的形式直角坐標(biāo)下的形式坐標(biāo)變換關(guān)系微分變換關(guān)系第7頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)物理中的對(duì)稱性對(duì)稱性的概念定義：對(duì)稱性就是在某種變換下的不變性分類對(duì)稱性的描述對(duì)稱性原理當(dāng)定解問(wèn)題的泛定方程和定解條件都具有某種對(duì)稱性時(shí)，它的解也具有同樣的對(duì)稱性。對(duì)稱性的應(yīng)用第8頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱性的分類第9頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱性的描述對(duì)稱性名稱對(duì)稱條件對(duì)稱函數(shù)沿z軸反演對(duì)稱沿z軸平移對(duì)稱繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱第10頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)稱性的應(yīng)用—柱坐標(biāo)輸運(yùn)方程對(duì)稱性未知函數(shù)泛定方程無(wú)任何對(duì)稱性沿z軸平移對(duì)稱繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱雙重對(duì)稱第11頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特殊函數(shù)常微分方程球坐標(biāo)下拉普拉斯方程的分離變量一般情況歐拉方程，球函數(shù)方程，連帶勒讓德方程軸對(duì)稱情況勒讓德方程極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程的分離變量一般情況亥姆霍茲方程，貝塞爾方程軸對(duì)稱情況第12頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月球坐標(biāo)下拉普拉斯方程第13頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月球坐標(biāo)下拉普拉斯方程第14頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月極坐標(biāo)下熱傳導(dǎo)方程第15頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程的級(jí)數(shù)解法常微分方程中點(diǎn)的分類各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式勒讓德方程的級(jí)數(shù)解貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解第16頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程中點(diǎn)的分類二階變系數(shù)常微分方程的一般形式w”+p(z)w’+q(z)w=0方程中點(diǎn)的分類常點(diǎn)：z0

是p(z)和q(z)的解析點(diǎn)正則奇點(diǎn)：z0

是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析點(diǎn)非正則奇點(diǎn)：其它情況第17頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解的形式非正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為常點(diǎn)z0鄰域兩解均為正則奇點(diǎn)z0鄰域有一解為其中s由判定方程確定a0≠0第18頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第19頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第20頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級(jí)數(shù)解第21頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勒讓德方程的級(jí)數(shù)解性質(zhì)：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；退化性：l

為非負(fù)整數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)解退化為多項(xiàng)式；收斂性：特解的收斂半徑為1；有界性：在x=±1時(shí)，非退化級(jí)數(shù)解發(fā)散。第22頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解ak<0=0第23頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解第24頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月貝塞爾方程的級(jí)數(shù)解性質(zhì)：奇偶性：m為奇偶整數(shù)時(shí)，Jm和Nm為奇偶函數(shù)；收斂性：特解的收斂半徑為∞；有界性：在x→0，m≥0時(shí),Jm有界，Nm發(fā)散。第25頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月斯圖姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題本征值問(wèn)題本征值：使帶邊界條件的常微分方程有非零解的參數(shù)值本征函數(shù)：相應(yīng)的非零解本征值問(wèn)題：求本征值和本征函數(shù)的問(wèn)題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題的性質(zhì)可數(shù)性：存在可數(shù)無(wú)限多個(gè)本征值；非負(fù)性：所有本征值均為非負(fù)數(shù)；正交性：對(duì)應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交；完備性：滿足邊界條件的光滑函數(shù)可以按本征函數(shù)展開(kāi)。第26頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型方程其中k(x)、q(x)和ρ(x)都非負(fù)；k(x)、k’(x)和q(x)連續(xù)或以端點(diǎn)為一階極點(diǎn)。斯特姆—?jiǎng)⒕S爾型邊界條件三類齊次邊界條件周期性邊界條件有界性邊界條件第27頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月斯特姆—?jiǎng)⒕S爾本征值問(wèn)題abkqρ

本征值問(wèn)題0L1010L101-111-x2010bxm2/xx第28頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性正交性完備性展開(kāi)系數(shù)第29頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題1問(wèn)題本征函數(shù)正交性完備性第30頁(yè)，課件共33頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本征函數(shù)集合的正交性和完備性例題2