2021年高考數(shù)學(xué)模擬試題(三)

2021年第3期高考數(shù)學(xué)高分之路《數(shù)理天地》高中版

?高考數(shù)學(xué)高分之路.

2021年高考數(shù)學(xué)模擬試題⑶

王勇杜曉霞(湖北省襄陽市第一中學(xué)441000)

則的最小值為()

王勇中學(xué)高級教師.湖z+4y

北省特級教師，湖北省優(yōu)秀教(A)l.(B)2.(014.(D)0.

師.湖北省教科研學(xué)術(shù)帶頭人.j-2y2

享受政府特殊津貼.襄陽市數(shù)學(xué)6.已知A,B分別為雙曲線E：f—=

學(xué)會常務(wù)理事、副理事長.現(xiàn)任al>-

襄陽市第一中學(xué)副校長。已發(fā)l(a>0,6>0)的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上.且

表論文1500余篇。

AB|：|BM|：IAM|=1：1：VJ,則雙曲線

E的漸近線方程為()

一、選擇題

1.已知集合A={z|242，<8},(A)y=士乃z.(B)y=士;.r.

8={工|一一2了40},則AUB=()

(A){z|0<<3}.(C)>—+\[2x.(D)>=±.r.

.已知△的垂心為且

(B){1?|14h<3}.7ABCH,AB=3,AC

=5,JW是BC的中點(diǎn)，則百應(yīng)?反：=()

(C){\|1&支《2}.

(D){x|=2}.(A)5.(B)6.(07.(D)8.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z一i|=|z+i|,則8.中國古代的五音，一般指五聲音階，依次

Iz—2iI的最小值為()為宮、商、角、徵、羽.如果把這五個音階全用上，

(A)l.(B)2.(03.(D)4.排成一個五個音階的音序,且要求宮、羽兩音階

3.已知等差數(shù)列{a,,}的前n項(xiàng)和為S.，a?在角音階的同側(cè).則可排成這樣的不同音序的

+a；=l,&2與的等差中項(xiàng)為2,則S4的值為種數(shù)為()

()(A)120.(B)90.(080.(D)60.

(A)6.(B)-2.(C)—2或6.(D)2或6.9.自然界中具有兩種穩(wěn)定狀態(tài)的組件普遍

4.已知函數(shù)/(z)與g(2)都是定義在存在.如開關(guān)的開和關(guān)、電路的通和斷等，非常

{攵eRIW0}上的奇函數(shù),且jr/(a-)+適合表示計(jì)算機(jī)中的數(shù)，所以現(xiàn)在使用的計(jì)算

)=1-J-2+6sin2z,若/(；)+g⑴=機(jī)設(shè)計(jì)為二進(jìn)制.二進(jìn)制以2為基數(shù),只用0和1

兩個數(shù)碼表示數(shù).逢2進(jìn)1,二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制

5

萬，則心=()數(shù)遵循一樣的運(yùn)算規(guī)則.它們可以相互轉(zhuǎn)化.如

(521)io=1X20+0X28+0X27+0X2fi+

(A)l.(B)2.(03.(D)4.

s1:,2

5.已知實(shí)數(shù)z,y滿足0X2+0X2+1X2+0X2+0X2'+

x一y+140,1X2°=(1000001001)2.我國數(shù)學(xué)史上,清代汪

萊的《參兩算經(jīng)》是較早系統(tǒng)論述非十進(jìn)制數(shù)

?Z+?V+120,

Y

的文獻(xiàn).總結(jié)出了八進(jìn)制數(shù)乘法口訣：(7X7)

JH-y+240，8

S

=(61),(7X6)=(52)8,(7X5)S=(43)8,-,

?19?

《數(shù)理天地》高中版高考數(shù)學(xué)高分之路2021年第3期

則八進(jìn)制下(6X5K等于()所得截面的面積為.CE和該截面所成

(A)(36)8.(B)(37)8.(C)(40)8.(D)(41)8.角的正弦值為.

10.已知三棱錐P-ABC中，△八3C是以角三、解答題

A為直角的直角三角形，AB=AC=2,PB=17.如圖1.P為ZXA8C內(nèi)一點(diǎn)，滿足

PC,PA=714,O,為△ABC的外接圓的圓/APB=135",PB=1,AB=75.

心，cos/PAOi=竽.那么三棱錐P-ABC外(1)求Z\APB的面積；

(2)若P關(guān)于AB的對稱

接球的體積為()點(diǎn)為Q,且QBJ_BC,ZC=

(A*?畢60°.求sin/BAC的值.

?5o18.如圖2,在四邊形

(02/14^.(D)77r.ABC。中，△ACD是邊長為圖1

/2y2

2的正三角形，AB=AC,且

11.已知P為橢圓''77'+4_=1上的一個動

164ABJ.AC,現(xiàn)將△ACD沿AC翻折，使得點(diǎn)D

點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M：(彳-1)2+?2=1的一條切

到達(dá)點(diǎn)P的位置,且AB_LPC，點(diǎn)E.F分別是

線，切點(diǎn)為A,與橢圓的另一交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)AAP和AB的中點(diǎn).

平分線段PQ,且直線PQ的斜率為負(fù)數(shù)，則直

線A4A的斜率為()

(A)4V2.(B)3V2.(O2V2.(D)V2.

12.已知a=41n3J,b=31n4',c=4liw3，則

a",C的大小關(guān)系是()

圖2

(A)c</><a.(B)a<b<c.

求證：±PB；

(06<a<c.(D)6<c<a.(1)CE

二、填空題(2)若點(diǎn)G在線段BC上，且CE〃平面

PFG，求直線AG與平面BCE所成角的正弦

13.已知(工+a)卜一的展開式中所

值.

有項(xiàng)的系數(shù)和為一2,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為19.為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村

民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良

14.已知數(shù)列｛明,)的前〃項(xiàng)和為S,,滿足的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金，從外地購買甲、乙、

2S?=4a?—m.且數(shù)列｛”a“｝的前5項(xiàng)和等于丙三種魚苗在魚塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選

258,則m的值為.擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自

15.已知函數(shù)f(工)=asin2z—,痣cos2;r的然成活率為2夕一1.魚苗乙、丙的自然成活率均

為,且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨(dú)立.

圖象關(guān)于直線.r=一方對稱，若"了|)?

(1)試驗(yàn)時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一

/(K2)=—4,則|z?—z2I的最小值為.尾，記自然成活的尾數(shù)為S.求S的分布列；

.正方體的棱長為

162,(2)試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好,扶貧工作

M,N,E,F分別是Ai%,AD,BCi,CDi的組決定購買〃尾乙種魚苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖.若

中點(diǎn)，則過EF且與MN平行的平面橫正方體

將(D中滿足數(shù)學(xué)期望E(g)不超過26的p的

?20?

2021年第3期高考數(shù)學(xué)高分之路《數(shù)理天地》高中版

最大值作為乙種魚苗自然成活的概率.養(yǎng)殖后

參考答案

發(fā)現(xiàn)乙種魚苗有個別因不適應(yīng)環(huán)境而不能自然

成活,對這些因不適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活的題號12345678910

80%魚苗采取增氧、換魚塘等措施，采取措施

答案ABCABDDCAB

后成活的概率為62.5%.若每尾乙種魚苗最終

題號111213141516

成活后可獲.利100元，不成活則虧損20元，若

7T2氏嚶

答案CI)一804

扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不低于376萬T

元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？17.(1)在ZSAPB中，由余弦定理得

20.已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦AB2=AP2+BP--2AP?BPcosZAPB,

點(diǎn)F在y軸的正半軸上.過點(diǎn)F的直線/與拋物即5=1+PA2-2X1XPAcosl350,

線C相交于A,B兩點(diǎn).且滿足市?OB=--.PA2+V2PA-4=0,

4

解得PA=四或一2成■(舍去)，

(1)求拋物線C的方程；

(2)若P是拋物線C上的動點(diǎn)，點(diǎn)M,N在從而SWB=yPA-PBsinl350=y.

n軸上，圓./+(?-1)2=1內(nèi)切于

(2)設(shè)NABP=a，由對稱性知

求/XPMN面積的最小值.

/ABQ=a,

21.已知I1，工2(孫V/2)是函數(shù)fCx)=cr

在ZVIPB中，由正弦定理得

+ln(jr+1)—ax(a6R)的兩個極值點(diǎn).

ABAP

(1)求a的取值范圍；sinl350sina'

(2)證明：/(I2)—/(wI)<21na.

歷X也

V

22.(選修4—4：坐標(biāo)與參數(shù)方程)APsinl35°21

即

在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的極坐標(biāo)方程’ABVs底

22

為p=:.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x則cosa=—,

，5cos21一mV5

軸正半軸建立直角坐標(biāo)系.

從而sin/ABC=sin(90°—a)=cosa=一，

(1)若曲線C為雙曲線,求〃？的取值范圍；A/5

(2)當(dāng)m=1時，在直角坐標(biāo)系中過點(diǎn)

cosNABC=—,

P(2,0)作直線/交曲線C于兩點(diǎn)，若V5

|PA|?|PB|=48,且前與萬百方向相同，求sinZBAC=sin(180°-ZC-ZABC)

直線/的傾斜角.=sin(600+NABC)

23.(選修4一5：不等式選講)=sin60°cos^-ABC+cos60°sin/A3C

已知a,。，c均為正實(shí)數(shù).x+x

(1)若“6+0c+ac=3,求證：=TiT^

Q+A+C)3；_/15'+2V5

=10,

(2)設(shè)Q+人=1,求證：

18.(1)因?yàn)椤鰽CD是正三角形，

(1T)

所以翻折后，△ACP是正三角形，

?21?

《數(shù)理天地》高中版高考數(shù)學(xué)高分之路2021年第3期

因?yàn)镋為AP的中點(diǎn)，在RtZ\ABC中，易知

所以CE_LPA.AB=AC=2,

因?yàn)锳B_LAC,ABJ_PC,所以3C=/AB2+AC2=2,2,

ACnPC=C,

CG=—BC=+,

所以AB_L平面ACP.

又CEU平面ACP.I"

所以AG=JAC2+CG2-2AC?CGcosj

所以CE_LAB.

因?yàn)镃EJ_PA,AB口PA=A,275

所以CE1平面PAB.3，

AT3

又PBU平面PAB,所以sinZAGT=—=4，

所以CE_LPB.AG5

(2)解法1設(shè)BEDPF=H，連接GH.即直線AG與平面BCE所成角的正弦值為

因?yàn)镃E//平面PFG.

平面BCEn平面PFG=GH,

點(diǎn)，過點(diǎn)A垂直于平面ABC

所以GH//CE.

的直線為z軸，八3.AC所在芻

又E.F分別是AP和AB的中點(diǎn),

直線分別為了小軸建立如圖4

所以H為/SPAB的重心，AFRX

所示的空間直角坐標(biāo)系，則圖］

BGBH2

所以=--（）（）

BCBE3A0,0,0,132,0,0,

即G為線段BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn).C(O,2,O),P(O,1，V3).

由（1）,知CE_L平面PAB,因?yàn)镋,F分別是A。和AB的中點(diǎn),

因?yàn)镃EU平面3CE,

所以E（0《,.F(l,0,0),

所以平面BCEJ_平面PA及

過點(diǎn)A作ATJ_BE于點(diǎn)T,所以BC=(-2,2,0),

則ATJ.平面BCE.CP=(O.-1

連接GT,

所以NAGT為直線AG與平面PF=(1.-1,-V3).

BCE所成的角.設(shè)坊=4BC,WO

由（1）,知G(2—2A,24,0),

A

AB_L平面PAC,FG=(1-2A,2A.0).

圖3

所以AB_LPA.設(shè)平面PFG的法向量為

在RtAABE中，易知n=（1，3/,之），

\n-FG=0,

AB=2,AE=yAP=1,則

\n?PF=0,

所以BE=VAB2+AE2=展，|(1—2A)J;+2義》=0,

即

[x-y-A/3%=0?

AB?AE2V5

故AT

BE5令h=2/，則

?22?

2021年第3期高考數(shù)學(xué)高分之路《數(shù)理天地》高中版

八1V3P(￡=3)=(2p—I"?=2爐—p\

y=2A—l,z=—,

故?的分布列為

所以"=(24，2；1—1,等)是平面PFG的一個e0123

p6,3—13p2+8。-1—6”+8Pz—2p2”—(,2

法向量，(2)由(1),知

因?yàn)镃E〃平面PFG,E(f)0X2(1-py+

所以CE_Ln,CE?n=0,1X(6p3-13/>2+8/>-l)+

:!232

即—|■⑵…等X§=。,2(-6/)+8/>-2p)+3(2p-p)

=6"-13p2+8/>-1-12Ps+

216/>2—4p+6/>3—3/>2

解得A=y,

=4/J—1,

所以G(U，0)而=信,4,0).因?yàn)椤币籰&26,

所有9,

設(shè)平面BCE的法向量為

即乙種魚苗自然成活的概率為a9.

m=(K,V),

依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為

?BC=0,

則彳一0.9+0.1X0.80X0.625=0.95,

[m?CE=0,

那么n尾乙種魚苗最終成活的尾數(shù)是0.95?,

—2#'+2y'=0,

不成活的尾數(shù)是(1—0.95)”.

即13,用,

|一萬)'十52=0.記F(?)為購買?尾乙種魚苗最終可獲得

的利潤，

令則痣，

w'=l,則F(?)=100X0.95n-20X(l-0.95)?

所以/?=(1,1,73)是平面BCE的一個法向)3760000,

量，解得n>40000.

所以cos<AG，/九〉=———=.所以需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保

：

|AG-|m|5獲利不低于376萬元.

設(shè)直線AG與平面5CE所成的角為20.(1)由題意，設(shè)拋物線C的方程為

—?Q2

則sind=|cos<AG>l=J，jc=2py(p>0),

5

則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,"

即直線AG與平面BCE所成角的正弦值為？.

設(shè)直線/的方程為

19.(1)易知隨機(jī)變量E的所有可能取值為

P

0,1,2,3,y=kx+7，A(?i4]),8(12，y2)，

則P(￡=0)=(2-2/>)(1—"=2(1-”，]2=2py,

P($=l)=(2p-1)(1-p)z+聯(lián)立方程，得■p

y=丘+萬，

2(2―2Plpc—p)

=6p'—13/>~+8/>—1,消去)得x2-2pkx-p2=0.

P(E=2)=(2-2p)p2+2(2p-l)p(l-p)△=4p2k2+4/2>0,

=-6p:<+8/>2—2p?所以X\+J'2=2pk,

?23?

《數(shù)理天地》高中版高考數(shù)學(xué)高分之路2021年第3期

7172=一加，丁1'2=-?所以in-n=-,

No-'

1y

因?yàn)镺A-OB=x\x2+y\y2n

所以S^PMN=-7(7〃-〃))o==-3?V)

2?o-N

所以p=L

故拋物線C的方程為—=26?2]卬-2)?^-+4=8,

（2）設(shè)P（xQ^yQ）（xo^oWO）,

當(dāng)且僅當(dāng)(y。-2)2=4時取等號，

M,0）,N（72,0）,

此時)

易知點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)均不相y(=4,JC0=±2A/2,

同.故APMN面積的最小值為8.

不妨設(shè)“21.(1)由題意得

易得直線PM的方程為/'(1)=e“H------——Q>一1,

7十1

令g(%)=/'(%)=erH-----\-——a>—1,

Z十1

化簡得，0才—（久?！猰）y—myu=0,

則g"i)=e，—―工V，

又圓心（）到直線的距離為

0,1PM1.(4十1)

所以=1.令人(/)=/(久)=eJ------二>一1‘

+（#o-7〃）2

所以（①。一7〃￥+￡2

則/(/)『'+-―-->0,

(支+1尸

=-m）2+2〃2yo（比Q-7〃）+7〃/；，

所以A(.r)在(一1,+8)上單調(diào)遞增，

不難發(fā)現(xiàn)村＞2,

且h(0)=0,

故上式可化為

當(dāng)ne(—1,0)時，/(/)=〃(彳)<0,

—2）7722+2%0〃？—3?0=0,

8(1)單調(diào)遞減；

同理可得（丁0—2）〃2+2迎0〃一？。=0.

當(dāng)①e(。，+8)時，8'(/)=方(])>0,

所以〃可看作是關(guān)于f的方程（）。-2）產(chǎn)+

g(.r)單調(diào)遞增.

2#/—3o=0的兩個實(shí)根,

所以g(i)>g(0)=2-a.

則m+〃=—<mn=-----二,①當(dāng)QW2時，

No-2V。一,

f'(jc)=g(z)>g(0)=2—a》0,

所以(加一〃)2=(〃？+7?)2—4/727?

/(/)在(-1,+°°)上單調(diào)遞增，

_4-+4——8Vo

t此時，/(#)無極值.

(No—2)2.

②當(dāng)。>2時，因?yàn)?/p>

因?yàn)镻(x0.y(l)是拋物線C上的點(diǎn)，

g----1)=>0,g(0)=2—aV0,

所以太=2yo9

所以i￡----1,0),g(ii)=0,

又八>2,當(dāng)①6(一1,小)時，g(i)=/'(7)〉0,

?24?

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/(1)單調(diào)遞增；

當(dāng)彳e(1],o)時，(7]+1)(<r2+1)

-r2_-r1

g(i)=/'(z)V0,f(x)單調(diào)遞減.ee

/。(/]+1)(彳2+1)'

所以才=21是/(久)的極大值點(diǎn).

1)

因?yàn)間(lna)=f」一>0,

(4+1)(以+1)

1+Ina

所以-72)一/(叫)

g(0)=2-a<0,

XO+1

J，2r,

所以3xG(0,lmz),g(jr)=0.=e—e十In1—a(g—z1)

222T+1

當(dāng)n￡(0,以)時，g(i)=/'(])<0,

「1I

=(12—H1),.,，,,a.

fCx)單調(diào)遞減；_(#1+1)2+1)_-

當(dāng)we(i2,+°°)時，g(i)=/"(/)〉o,

2

In-2]；<\na

/(i)單調(diào)遞增.1i十1

所以①=12是/(①)的極小值點(diǎn).=2Inez.

綜上所述，aG(2,+8).2

22.(1)由0=7——:,,

(2)由(1)得a￡(2,十8),A/5COS2D—m

得p2(5cos2。一〃z)=4,

--1<1<0<12<Ina,

即5P2cos2f—mp2=4.

且g(ii)=g(12)=0，2

將JC=pcosO2+y=p2,代入，得

所以?r2一小>0,5/一加(/+J)=4,

—<i+1<1?即(5—?/z)jr2—my1=4.

a

因?yàn)榍€C為雙曲線，

1<^2+1<1+Ina,

所以(5—m)(一〃?)<0,

r12一①i

e2_=______：____!____

，

(為+1)(^2+D即(—5)〃？V0,

解得0<加<5.

所以(JT1+1)(^2+D“<°，

所以當(dāng)曲線C為雙曲線時，”的取值范圍是

72+1

1<,「<a(1+Ina)VQ?,(0,5).

?r1+1

(2)當(dāng)帆=1時,曲線C的直角坐標(biāo)方程為

JgOi)=0,

2

由1g(72)=0，4/2—y=4.

設(shè)直線/的傾斜角為a,

則直線/的參數(shù)方程為

得

[x=2+Ecosa,

e----——a=V9a為參數(shù)).

①2+I\y=Zsina,

1

,1+e*(x1+1)—a(jci+1)=0,代入C的方程，得

于是《

，2

[1+e(J:2+1)—a(x2+1)=0,4(2+tcosa)2-(Esina尸=4,