湖南省衡陽市二十六中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關(guān)于對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．如圖，、兩點(diǎn)為山腳下兩處水平地面上的觀測點(diǎn)，在、兩處觀察點(diǎn)觀察山頂點(diǎn)的仰角分別為、若，，且觀察點(diǎn)、之間的距離為米，則山的高度為()A．米 B．米 C．米 D．米4．設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象士的任意一點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．設(shè)，，，若則，的值是（）A．， B．，C．， D．，6．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切7．已知是非零向量，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．已知，則點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若等差數(shù)列和的公差均為，則下列數(shù)列中不為等差數(shù)列的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．10．若平面和直線，滿足，，則與的位置關(guān)系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量與的夾角為，且，；則__________．12．已知為第二象限角，且，則_________.13．若Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，8a14．若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值____．15．已知過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，則______．16．在等差數(shù)列中，，當(dāng)最大時(shí)，的值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)Q在棱AB上.（1）證明：平面.（2）若三棱錐的體積為，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離.18．從全校參加科技知識競賽初賽的學(xué)生試卷中，抽取一個(gè)樣本，考察競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績在分的學(xué)生人數(shù)；（3）從樣本中成績在90.5分以上的同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.19．已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為棱的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.20．已知圓，直線平分圓.（1）求直線的方程；（2）設(shè)，圓的圓心是點(diǎn)，對圓上任意一點(diǎn)，在直線上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使是常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21．如圖，在四邊形中，.（1）若為等邊三角形，且是的中點(diǎn)，求.（2）若，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義直接求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因?yàn)?，故①正確因?yàn)?，故②不正確由得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合的圖象知，必有此時(shí)，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類問題時(shí)首先應(yīng)把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.3、A【解析】

過點(diǎn)作延長線于，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系解得高.【詳解】過點(diǎn)作延長線于，設(shè)山的高度為故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于簡單題.4、B【解析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分。利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值?！驹斀狻亢瘮?shù)化簡得。圓心坐標(biāo),半徑為2.所以【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題。5、B【解析】

由向量相等的充要條件可得：，列出方程組，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，向量，，，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等的充要條件，其中解答中熟記向量的共線條件，列出方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】

根據(jù)圓的方程求得兩圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可確定位置關(guān)系.【詳解】由圓的方程可知圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑圓心距為：兩圓的位置關(guān)系為：外切本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是能夠通過圓的方程確定兩圓的圓心和半徑，從而根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系確定位置關(guān)系.7、D【解析】

由得，這樣可把且表示出來．【詳解】∵，∴，，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．8、B【解析】∵，∴，，，∴，∴點(diǎn)在第二象限，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了由三角函數(shù)值的符號判斷角的終邊位置，屬于基礎(chǔ)題；三角函數(shù)值符號記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.9、D【解析】

利用等差數(shù)列的定義對選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷，可得出正確的選項(xiàng).【詳解】數(shù)列和是公差均為的等差數(shù)列，則，，.對于A選項(xiàng)，，數(shù)列（為常數(shù)）是等差數(shù)列；對于B選項(xiàng)，，數(shù)列是等差數(shù)列；對于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列；對于D選項(xiàng)，，不是常數(shù)，所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，注意等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.10、D【解析】

當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.【詳解】當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

已知向量與的夾角為，則，已知模長和夾角代入式子即可得到結(jié)果為故答案為1．12、.【解析】

先由求出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，解得，再由及為第二象限角可得、，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.13、-7【解析】設(shè)公比為q，則8a1q=-a114、【解析】

點(diǎn)O到的距離，將的面積用表示出來，再利用均值不等式得到答案.【詳解】曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓的上半圓，若直線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，則直線的斜率，則點(diǎn)O到的距離，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．所以，解得舍去)．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，三角形面積，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解析】

由兩點(diǎn)求斜率公式及斜率等于傾斜角的正切值列式求解．【詳解】解：由已知可得：，即，則．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．16、6或7【解析】

利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由，可以得到和公差的關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以求出最大時(shí)，的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，所以，因?yàn)?，，所以?dāng)或時(shí)，有最大值，因此當(dāng)?shù)闹凳?或7.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和最大值問題，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）線面垂直只需證明PD和平面內(nèi)兩條相交直線垂直即可，易得，另外中已知三邊長通過勾股定理易得,所以平面．（2）點(diǎn)B到平面PDQ的距離通過求得三棱錐的體積和面積即可，而,帶入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：在中，，，所以.所以是直角三角形，且，即.因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.（2）解：設(shè).因?yàn)?，所以的面積為.因?yàn)槠矫鍭BCD，所以三棱錐的體積為，解得.因?yàn)椋?，所以的面積為.則三棱錐的體積為.在中，，，，則.設(shè)點(diǎn)B到平面PDQ的距離為h，則，解得，即點(diǎn)B到平面PDQ的距離為.【點(diǎn)睛】此題考察立體幾何的證明，線面垂直只需證明線與平面內(nèi)的兩條相交直線分別垂直即可，第二問考察了三棱錐等體積法，通過變化頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題目．18、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設(shè)樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績在90.5分以上的同學(xué)有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個(gè)數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式可得結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)樣本容量為，則，解得，所以樣本的容量是48；（2）樣本中成績在分的學(xué)生人數(shù)為：人；（3）樣本中成績在90.5分以上的同學(xué)有人，設(shè)這6名同學(xué)分別為，其中就是甲，從這6名同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽有：共15個(gè)基本事件，其中最高分甲被抽到的有共5個(gè)基本事件，則最高分甲被抽到的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率，頻數(shù)，樣本容量間的關(guān)系，考查古典概型的概率公式，重點(diǎn)是列舉出總的基本事件和滿足題目要求的基本事件，是基礎(chǔ)題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）由題意結(jié)合正弦定理可得，據(jù)此可證得平面，從而可得題中的結(jié)論；（2）在平面中，過點(diǎn)作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的結(jié)論求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過點(diǎn)作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，即設(shè)平面的一個(gè)法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、（1）直線的方程為.（2）見解析【解析】

(1)結(jié)合直線l平分圓，則可知該直線過圓心，代入圓心坐標(biāo)，計(jì)算參數(shù)，即可．（2）結(jié)合A,M坐標(biāo)，計(jì)算直線AM方程，采取假設(shè)法，假設(shè)存在該點(diǎn)，計(jì)算，對應(yīng)項(xiàng)成比例，計(jì)算參數(shù)t，即可．【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)橹本€平分圓，所以，得，從而可得直線的方程為.（2）點(diǎn)，，直線方程為，假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，設(shè)，則有，當(dāng)是常數(shù)時(shí)，是常數(shù)，∴，∴，∵，∴.∴存在