2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

長(zhǎng)沙市2022-2023學(xué)年度高一第二學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：______一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（）A. B. C.16 D.83.已知復(fù)數(shù)z滿足，若，則復(fù)數(shù)z為（）．A. B.C.或 D.或4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.5.科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)53米，高18米，若將它近似看作一個(gè)半球，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（）．A. B.C. D.7.如圖，，，，，點(diǎn)在棱上的射影分別是，若，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知a，b是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，，則直線a，b一定相交B.若，，則C.若，，則直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線D.若，，，則a與b是異面直線10.定義：，兩個(gè)向量的叉乘，則以下說法正確的是（）A.若，則B.C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D.若，，則的最小值為11.正方體ABCD-棱長(zhǎng)為a，E在棱上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，則（）A.側(cè)面中不存在直線與DE垂直B.平面與平面ABCD所成二面角C.E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，上存在點(diǎn)P，使BC∥平面AEPD.P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積不變12.已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在上的值域?yàn)镃.的最小正周期為D.的圖象可以由函數(shù)的圖象，先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則的最小值為______.14.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，且該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積______.15.在中，邊上的高為2，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為__________.16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角的余弦值.18.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足.（1）求角A；（2）若，求△ABC面積的最大值.19.如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m范圍.21.如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求異面直線PA與MB所成角的余弦值.22函數(shù).（1）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且時(shí)，，若關(guān)于x的方程恒有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求t的取值范圍.長(zhǎng)沙市2022-2023學(xué)年度高一第二學(xué)期第二次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：______一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A2.如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（）A. B. C.16 D.8【答案】B3.已知復(fù)數(shù)z滿足，若，則復(fù)數(shù)z為（）．A. B.C.或 D.或【答案】C4.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C5.科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)53米，高18米，若將它近似看作一個(gè)半球，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為（）A. B.C. D.【答案】A6.已知函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（）．A. B.C. D.【答案】D7.如圖，，，，，點(diǎn)在棱上的射影分別是，若，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C8.已知函數(shù)，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知a，b是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，，則直線a，b一定相交B.若，，則C.若，，則直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線D.若，，，則a與b是異面直線【答案】BC10.定義：，兩個(gè)向量的叉乘，則以下說法正確的是（）A.若，則B.C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于D.若，，則的最小值為【答案】AC11.正方體ABCD-棱長(zhǎng)為a，E在棱上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，則（）A.側(cè)面中不存在直線與DE垂直B.平面與平面ABCD所成二面角為C.E運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，上存在點(diǎn)P，使BC∥平面AEPD.P為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積不變【答案】BCD12.已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在上的值域?yàn)镃.的最小正周期為D.的圖象可以由函數(shù)的圖象，先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到【答案】ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，，則的最小值為______.【答案】14.已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，且該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積______.【答案】15.在中，邊上的高為2，則滿足條件的的個(gè)數(shù)為__________.【答案】216.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則______.【答案】6四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用來計(jì)算求；（2）設(shè)與的夾角為，先求出，再利用向量夾角公式來計(jì)算即可.【小問1詳解】由已知可得，；【小問2詳解】設(shè)與的夾角為，又，.18.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足.（1）求角A；（2）若，求△ABC面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)?，根?jù)正弦定理“邊化角”，結(jié)合正弦兩角和公式，即可求得角；（2）根據(jù)余弦定理求得關(guān)系式，結(jié)合均值不等式和三角形面積公式，即可求得的面積的最大值.【小問1詳解】由，根據(jù)正弦定理得：，又，代入上式得：，，又，所以，又，所以.【小問2詳解】由余弦定理得：，代入得：，根據(jù)基本不等式，得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：，故面積的最大值為.19.如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）分析可知二面角的平面角為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，可得出直線與平面所成角為，計(jì)算出、的長(zhǎng)，即可求得的正弦值，即為所求.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)椋?、平面，則平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，平?【小問2詳解】解：因?yàn)?，，所以，二面角的平面角為，由題意可得，又因?yàn)?，、平面，所以，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，、平面，所以平面，連接，所以直線與平面所成角為，因?yàn)?，，，則，因?yàn)?，則，所以.直線與平面所成角的正弦值為20.已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式可將化為，因[，]，則，后由在上的單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；（2）由題可得，后利用在單調(diào)性可得.方法1：令，則等價(jià)于，，后分三種情況，利用分離參數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得答案；方法2：令，則等價(jià)于，，則，即可得答案.【小問1詳解】.因[，]，則，又分別在上單調(diào)遞增和遞減，則，即函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，所得解析式為，又將所得函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，解析式為，則.因，則.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故.方法1：令，則等價(jià)于，.當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)m可取任意值；當(dāng)時(shí)，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；綜上可得：.方法2：令，則等價(jià)于，.則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及恒成立問題，難度較大.（1）問較為基礎(chǔ)，（2）問為恒成立問題，方法1轉(zhuǎn)化為最值問題，方法2利用二次函數(shù)觀點(diǎn)解決問題.21.如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，且直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；（2）求異面直線PA與MB所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面，原題即得證；（2）設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，，證明是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），再利用余弦定理求解.【小問1詳解】依題意，，，，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問2詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，所以平面，而，由于直線與直線所成的角為60°，即，所以，由于，，所以四邊形平行四邊形，所以，所以是異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），由于平面，平面，所以，，在三角形中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.22.函數(shù).（1）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且時(shí)，，若關(guān)于x的方程恒有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，