中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題1.1-三角形的證明-重難點(diǎn)題型13個(gè)（有解析）

中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題1.1-三角形的證明-重難點(diǎn)題型13個(gè)（有解析）中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題1.1-三角形的證明-重難點(diǎn)題型13個(gè)（有解析）PAGEPAGE1中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題1.1-三角形的證明-重難點(diǎn)題型13個(gè)（有解析）專題1.1三角形的證明重難點(diǎn)題型(13個(gè))題型1.等腰三角形的性質(zhì)【解題技巧】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1).等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,頂角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.2).等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)稱"等邊對(duì)等角”).3).等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合(簡(jiǎn)稱"三線合一”).1．(江蘇省蘇州市吳江區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)等腰三角形的一個(gè)角是80°,則它底角的度數(shù)是(

)A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°【答案】C【分析】據(jù)題意,分已知角是底角與不是底角兩種情況討論,結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°,分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意,一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角等于80°,①當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí),即該等腰三角形的底角的度數(shù)是80°,②設(shè)該等腰三角形的底角是x,則2x+80°=180°,解可得,x=50°,即該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°;綜上,該等腰三角形的底角的度數(shù)是50°或80°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),及三角形內(nèi)角和定理;通過(guò)三角形內(nèi)角和定理,列出方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．2．(2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題)定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍,這樣的三角形叫做"倍長(zhǎng)三角形”．若等腰△ABC是"倍長(zhǎng)三角形”,底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形,底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時(shí),△ABC是"倍長(zhǎng)三角形”;當(dāng)BC=2AB=2AC時(shí),AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系,此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形,不符合題意;所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是"倍長(zhǎng)三角形”,底邊BC的長(zhǎng)為3,則腰AB的長(zhǎng)為6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形,三角形的三邊關(guān)系,涉及分類討論思想,結(jié)合三角形三邊關(guān)系,靈活運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．3．(2022年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,在中,是的角平分線,過(guò)點(diǎn)D分別作,垂足分別是點(diǎn)E,F,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形底邊上的高線、頂角的角平分線、底邊上的中線這三線合一及角平分線的性質(zhì)即可判斷求解．【詳解】解：∵是的角平分線,∴,∴,故選項(xiàng)A、D結(jié)論正確,不符合題意;又是的角平分線,,∴,故選項(xiàng)B結(jié)論正確,不符合題意;由已知條件推不出,故選項(xiàng)C結(jié)論錯(cuò)誤,符合題意;故選：C．【點(diǎn)睛】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,熟練掌握其性質(zhì)即可．4．(陜西省西安市高新一中2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)如圖,中,于點(diǎn)D,于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,,則的長(zhǎng)為(

)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=BD,從而得到,從而得到,即可求解．【詳解】解：∵,∴CD=BD,∴,∵,,∴,∴,∵,∴DE=4．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2022成都市·八年級(jí)期中)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,點(diǎn)P在BC上;若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),則的值為_(kāi)__________．若BC邊上有2020個(gè)不同的點(diǎn),P1,P2,P3,…,P2020．且相應(yīng)的有,,,,則的值為_(kāi)_____________．【答案】48080【分析】(1)根據(jù)勾股定理及題意可進(jìn)行求解;(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交于點(diǎn)D,根據(jù)勾股定理可得,,根據(jù)平方差公式可得,根據(jù)等式的性質(zhì)可得,由此規(guī)律可進(jìn)行求解．【解析】解：①AB=AC=2,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),AP⊥BC,BP=PC,在Rt△ABP中,,,②如圖過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D,AB=AC=2,BD=DC,在Rt△ABD中,,①在Rt△中,,②①-②得：,,同理可得：,,……;故答案為4;8080．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及平方差公式,熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及平方差公式是解題的關(guān)鍵．6．(2022年福建省南平市初中畢業(yè)班綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)試題)已知,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,求證：∠A=2∠CBD．【答案】見(jiàn)解析【分析】作AE⊥BC,由等腰三角形三線合一可得AE平分∠A,通過(guò)直角三角形中兩個(gè)銳角互余,利用等量代換證明∠CBD=∠CAE,即可證明∠BAC＝2∠CBD．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,∵AB=AC,

AE⊥BC,∴AE是∠A的平分線,∴2∠CAE=∠BAC,又∵BD⊥AC,AE⊥BC,∴∠CBD+∠C=90°,∠CAE+∠C=90°,∴∠CBD=∠CAE．∴原圖中的∠A＝2∠CBD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的相關(guān)知識(shí),熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型2.等腰三角形的判定【解題技巧】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.簡(jiǎn)稱"等角對(duì)等邊”牢記：(1)等腰三角形的性質(zhì)"等邊對(duì)等角”與等腰三角形的判定"等角對(duì)等邊”的條件和結(jié)論正好相反,要注意區(qū)分;(2)判定定理可以用來(lái)判定一個(gè)三角形是等腰三角形,同時(shí)也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù).1．(江蘇省南京市玄武區(qū)四校2021-2022學(xué)年八年級(jí)11月階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)如圖,四邊形ABCD是正方形,M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn),點(diǎn)P在正方形的邊上(包括頂點(diǎn)),且△MNP是等腰三角形,則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖,∵△MNP是等腰三角形,∴符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有4個(gè),故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定,找出符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．(河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)如圖,點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C在直線l上,且是等腰三角形．符合條件的點(diǎn)C有(

)A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,交直線于點(diǎn);再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,交直線于點(diǎn),然后作的垂直平分線,交直線于點(diǎn),由此即可得．【詳解】解：如圖,以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,交直線于點(diǎn);再以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,交直線于點(diǎn),然后作的垂直平分線,交直線于點(diǎn)．則符合條件的點(diǎn)共有5個(gè),故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定,熟練掌握等腰三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．3．(河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題)如圖,在中,點(diǎn)D為邊上一點(diǎn),給出如下關(guān)系：①平分;②于D;③D為中點(diǎn)．甲說(shuō)：如果①②同時(shí)成立,可證明;乙說(shuō)：如果②③同時(shí)成立,可證明;丙說(shuō)：如果①③同時(shí)成立,可證明．則正確的說(shuō)法是(

)A．甲、乙正確,丙錯(cuò)誤B．甲正確,乙、丙錯(cuò)誤C．乙正確,甲、丙錯(cuò)誤D．甲、乙、丙都正確【答案】D【分析】通過(guò)①②可證出,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,由此即可得判斷甲的說(shuō)法;通過(guò)②③可得垂直平分,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得,由此即可得判斷乙的說(shuō)法;延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,先證出,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,從而可得,然后根據(jù)等腰三角形的判定可得,由此即可判斷丙的說(shuō)法．【詳解】解：當(dāng)①②同時(shí)成立時(shí),平分,,,,在和中,,,,即甲的說(shuō)法正確;當(dāng)②③同時(shí)成立時(shí),則垂直平分,,即乙的說(shuō)法正確;當(dāng)①③同時(shí)成立時(shí),如圖,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,為中點(diǎn),,在和中,,,,平分,,,,,即丙的說(shuō)法正確;綜上,甲、乙、丙都正確,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),較難的是證明丙的說(shuō)法,通過(guò)作輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．4．(2022年遼寧省營(yíng)口市中考數(shù)學(xué)真題)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D,則以下推斷錯(cuò)誤的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)作圖過(guò)程可得BD平分∠ABC,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°,根據(jù)作圖過(guò)程可知：BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°-36°-72°=72°,∠ADB=∠DBC+∠ACB=36°+72°=108°,故選項(xiàng)C成立;∵∠BDC=∠ACB=72°,∴BD=BC,故選項(xiàng)A成立;∵∠ABD=∠A=36°,∴AD=BD,故選項(xiàng)B成立;沒(méi)有條件能證明CD=AD,故選項(xiàng)D不成立;故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖,等腰三角形的判定和性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．5．(江西省新余市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)試卷)如圖,在△ABC中,∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,下列結(jié)論：①△BDF,△ADE都是等腰三角形;②DE＝BD＋CE;③△ADE的周長(zhǎng)等于AB＋AC;④BF＝CF;⑤若∠A＝80°,則∠BFC＝130°,其中正確的有_________【答案】②③⑤【分析】由平行線得到角相等,由角平分線得角相等,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】解：∵∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)F,∴∠DBF＝∠CBF,∠ECF＝∠BCF,設(shè)∠DBF＝∠CBF＝α,∠ECF＝∠BCF＝β,∵,∴∠DFB＝∠CBF＝α,∠EFC＝∠BCF＝β,∴∠DBF＝∠DFB,∠EFC＝∠ECF,∴DB＝DF,EF＝EC,∴△BDF與△CEF為等腰三角形,∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE,故②正確;∴△ADE的周長(zhǎng)為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC,故③正確;只有當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),即∠ABC=∠ACB,則∠FBC=∠FCB,∠ADE=∠AED,則BF＝CF,AD=AE,根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明BF=CF,并且無(wú)法證明∠ADE=∠A或∠AED=∠A,即無(wú)法證明△ADE為等腰三角形,故①、④錯(cuò)誤;∵∠A＝80°,∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°,∴∠BFC＝180°－50°＝130°,故⑤正確．故答案為②③⑤．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的定義及平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理;題目利用了兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的;等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．6．(山東省棗莊市山亭區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝∠C＝40°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)(D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE＝40°,DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BDA＝115°時(shí),∠EDC＝______°,∠DEC＝______°;點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BDA逐漸變______(填"大”或"小”);(2)當(dāng)DC等于多少時(shí),△ABD≌△DCE,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請(qǐng)寫(xiě)出∠BDA的度數(shù)．并說(shuō)明理由．【答案】(1)25,115,小(2)當(dāng)DC＝2時(shí),△ABD≌△DCE,見(jiàn)解析(3)可以,∠BDA的度數(shù)為110°或80°,見(jiàn)解析【分析】(1)先求出∠ADC的度數(shù),即可求出∠EDC的度數(shù),再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠DEC的度數(shù),根據(jù)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BAD逐漸增大,而∠B不變化,∠B+∠BAD+∠BDA=180°,即可得到答案;(2)根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可;(3)先證明當(dāng)△ADE時(shí)等腰三角形,只存在AD=ED或AE=DE兩種情況,然后分這兩種情況討論求解即可;(1)解：∵∠BDA=115°,∴∠ADC=180°-115°=65°,∵∠ADE=40°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°,∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°;∵點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BAD逐漸增大,而∠B不變化,∠B+∠BAD+∠BDA=180°,∴點(diǎn)D從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BDA逐漸變小,故答案為：25,115,小;(2)當(dāng)DC＝2時(shí),△ABD≌△DCE,理由：∵∠B＝∠C＝40°,∴∠DEC+∠EDC＝140°,又∵∠ADE＝40°,∴∠ADB+∠EDC＝140°,∴∠ADB＝∠DEC,又∵AB＝DC＝2,∴△ABD≌△DCE(AAS);(3)解：當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí),△ADE的形狀是等腰三角形,理由：∵∠C=∠ADE=40°,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠AED＞∠ADE,∴當(dāng)△ADE時(shí)等腰三角形,只存在AD=ED或AE=DE兩種情況,當(dāng)AD=ED時(shí),∴∠DAE=∠DEA,∵∠ADE=40°,∴,∴∠EDC=∠AED-∠C=30°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=70°,∴∠BDA=180°-∠ADC=110°;當(dāng)AE=DE時(shí),∴∠EAD=∠EDA=40°,∴,∴∠EDC=∠AED-∠C=60°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=100°,∴∠ADB=180°-∠ADC=80°,綜上所述,當(dāng)∠BDA的度數(shù)為110°或80°時(shí),△ADE的形狀是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),全等三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì),熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型3.等邊三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,并且具有3條對(duì)稱軸;(2)等邊三角形的每個(gè)角都等于60°.等邊三角形的判定：(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形.(4)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1．(山東省棗莊市山亭區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖,AB//CD,△ACE為等邊三角形,∠DCE＝45°,則∠EAB等于()A．40° B．30° C．20° D．15°【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,然后根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【詳解】解：為等邊三角形,,,,,,,解得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),掌握等邊三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．(福建省寧德市古田縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)如圖,等邊中,,垂足為,點(diǎn)在線段上,,則等于(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線,進(jìn)而求出∠ECB=45°,即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵等邊三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即：AD是BC的垂直平分線,∵點(diǎn)E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°,故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì),垂直平分線的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),求出∠ECB是解本題的關(guān)鍵．3．(陜西省安康市紫陽(yáng)縣2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(A卷))如圖,在等邊△ABC中,AB＝4cm,BD平分∠ABC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且,則CE的長(zhǎng)是(

)A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB=4,由等邊三角形三線合一得到CD,由∠ACB=60°,∠E=30°,求出∠CDE,得出CD=CE,即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=BC=4cm,∠ACB=60°,∵BD平分∠ABC,∴AD=CD(三線合一)∴DC=cm,∵∠E=30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定,直角三角形的性質(zhì),直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．4．(廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)如圖,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合),在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△ECD,AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論正確的是(

)①;②PQ∥AE;③;④;⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,從而證出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形,又由∠PQC=∠DCE,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可知②正確;③根據(jù)②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正確;④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④錯(cuò)誤;⑤利用等邊三角形的性質(zhì),BC∥DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正確．【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE,∴,∴,即,∴,∴AD=BE,∴①正確,∵,∴,又∵,∴,即,又∵,∴,∴,又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形,∴,∴PQ∥AE②正確,∵△CQB≌△CPA,∴AP=BQ,③正確,∵AD=BE,AP=BQ,∴,即DP=QE,∵,∴∠DQE≠∠CDE,∴DE≠DP,故④錯(cuò)誤;∵∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=60°,∵等邊△DCE,∠EDC=60°=∠BCD,∴BC∥DE,∴∠CBE=∠DEO,∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,∴⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．要求學(xué)生具備運(yùn)用這些定理進(jìn)行推理的能力,此題的難度較大．5．(湖北省孝感市孝南區(qū)2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期作業(yè)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題)如圖,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E,Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),取PA=CQ,連接PQ,交AC于M,則EM的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2【分析】過(guò)P作PF∥BC交AC于F,得出等邊三角形APF,推出AP=PF=QC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE,證△PFM≌△QCM,推出FM=CM,推出ME=AC即可．【詳解】解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F,如圖所示：∵PF∥BC,△ABC是等邊三角形,∴∠PFM=∠QCM,∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∠A=60°,∴△APF是等邊三角形,∴AP=PF=AF,∵PE⊥AC,∴AE=EF,∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ,在△PFM和△QCM中,,∴△PFM≌△QCM(AAS),∴FM=CM,∵AE=EF,∴EF+FM=AE+CM,∴AE+CM=ME=AC,∵AC=4,∴ME=2,故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形的性質(zhì)和判定,等腰三角形的性質(zhì),平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用;熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定,證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．(福建省三明市永安市2021-2022學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知：如圖,△ABC是等邊三角形,邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn),AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE．(1)如圖1,連接BD,CE,求證;(2)如圖2,,連接DE,求證：點(diǎn)B,D,E三點(diǎn)在同一條直線上;(3)如圖3,點(diǎn)D在△ABC的高BF上,連接EF,求EF的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】(1)證明△BAD≌△CAE,從而得出結(jié)論;(2)∠BAD=∠CAE=∠CBE,所以∠ABC=∠ABD+∠CBE=∠ABD+∠BAD=60°,從而得出∠ADB=120°,進(jìn)一步得出結(jié)論;(3)可證得∠ACE=∠ABF=30°,從而得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡,進(jìn)而求得EF的最小值．(1)∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,∴∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即：∠BAD=CAE,在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;(2)由(1)知：∠CAE=∠BAD,∵∠CAE=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD+∠CBE=60°,∴∠ABD+∠BAD=60°,∴∠ADB=180°-(∠ABD+∠BAD)=120°,∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴∠ADE=60°,∴∠ADB+∠ADE=180°,∴B、D、E在同一條直線上;(3)如圖,連接CE,由(1)得：△BAD≌△CAE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ACB=∠ABC=60°,∵BF⊥AC,∴∠ABF=∠ABC＝30°,CF=AF=AC=3,∴∠ACE=30°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,∴點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)C且與BC垂直的直線上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)FE垂直于該直線時(shí),CE最小(圖中點(diǎn)CE′),∵∠CE′F=90°,∠ACE=30°,∴FE′=CF＝,∴EF的最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì),直角三角形性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握"手拉手”模型．題型4.直角三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】(1)有一個(gè)角為90°的三角形,叫做直角三角形.(2)直角三角形是一種特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性質(zhì)外,還具有一些特殊的性質(zhì)：①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).;②在直角三角形中,兩個(gè)銳角互余;③在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半;④直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積;⑤在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;在直角三角形中,如果有一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.1．(2022春·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,大樹(shù)垂直于地面,為測(cè)樹(shù)高,小明在C處,測(cè)得,他沿方向走了20米,到達(dá)D處,測(cè)得,則大樹(shù)的高度為()米.A．6 B．8 C．10 D．20【答案】C【分析】利用三角形外角的性質(zhì)可得,,得到,利用含直角三角形的性質(zhì),求解即可．【詳解】解：由題意可得：,米,∴,∴米,在中,,∴米,故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了含直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．2．(2022·福州·八年級(jí)?？计谀?如圖,在等腰中,,為上一點(diǎn),且,若,,則的長(zhǎng)是______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于,根據(jù)含度的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于,,,,,,在等腰中,,．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了含度的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握含度的直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)．3．(2022·黑龍江哈爾濱市·八年級(jí)期中)如圖,在等腰直角△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D為邊BC中點(diǎn),DE⊥DF,若四邊形AEDF的面積是4,則等腰直角△ABC的面積為_(kāi)____．【答案】8【分析】先連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),求得AD＝CD,∠DAE＝∠C＝45°,∠ADE＝∠CDF,進(jìn)而判定△ADE≌△CDF,得出四邊形AEDF的面積＝△ACD的面積即可．【詳解】解：連接AD,∵∠BAC＝90°,AB＝AC,D為邊BC中點(diǎn),∴AD⊥BC,AD＝CD,∠DAE＝∠C＝45°,∴∠ADE+∠ADF＝∠CDF+∠ADF＝90°,∴∠ADE＝∠CDF,在△ADE和△CDF中,,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴△ADE的面積＝△CDF的面積,∴四邊形AEDF的面積＝△ACD的面積＝4,∴S△ABC＝2S△ACD＝8,故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形,將四邊形AEDF的面積轉(zhuǎn)化為△ACD的面積．5．(2022·浙江紹興市·九年級(jí)模擬)如圖,在等腰三角形ABC中,AC＝BC＝4,∠A＝30°,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接DE,將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)F處．當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí),則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或【分析】當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí),如圖1,如圖2,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)健康得到結(jié)論．【詳解】解：∵AC＝4,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴AD＝AC＝2,①當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí),如圖1,∵將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,∴∠F＝∠A＝30°,∠AED＝∠FED,∵∠AGE＝90°,∴∠AEG＝60°,∴∠AED＝∠FED＝30°,∴AD＝DE＝2,過(guò)D作DM⊥AE與M,∴AE＝2AM＝2××2＝2;當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí),如圖2,∵將△ADE沿直線DE折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)F處,∴∠F＝∠A＝30°,∠ADE＝∠FDE,∵∠AGE＝∠FGE＝90°,∴∠FGD＝60°,∴∠ADE＝∠FDE＝30°,∴∠A＝∠ADE,∴AE＝DE,∴AG＝AD＝1,∴AE＝,綜上所述,或故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)等腰三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的判定和性質(zhì),正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．6．(2022·浙江嘉興市·八年級(jí)期末)如圖,在等腰中,,點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn),且,,,以為直角邊,點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),作等腰,下列結(jié)論：①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為;②;③;④,其中正確結(jié)論有是()A．①②③ B．②④ C．①② D．②③④【答案】C【分析】連結(jié)AD,由等腰,可得AC=BC,等腰,可得CD=CP,由余角性質(zhì)可∠DCA=∠PCB,可證△ADC≌△BPC(SAS)可判斷①,由勾股定理DP=,再由,可證△ADP為等腰直角三角形,可判斷②,由PB與PD可求BD=2,由勾股定理AB=,可判斷③,由面積可判斷④即可【詳解】連結(jié)AD,在等腰中,,∴AC=BC,∵是等腰三角形,∴CD=CP,∴∠ACD+ACP=90°,∠ACP+∠PCB=90°,∴∠DCA=∠PCB,在△ADC和△BPC中,AC=BC,∠DCA=∠PCB,DC=PC,∴△ADC≌△BPC(SAS),∴,①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為正確,在Rt△DCP中,由勾股定理DP=,在△ADP中,,∴△ADP為等腰直角三角形,∴AD⊥DP,②正確;BD=BP+PD=2,在Rt△ADB中,由勾股定理,AB=,③不正確;,④不正確．故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,三角形全等的判定與性質(zhì),三角形面積,勾股定理的應(yīng)用,掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,三角形全等的判定與性質(zhì),三角形面積,勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．題型5.直角三角形全等的判定(HL)【解題技巧】對(duì)于特殊的直角三角形,判定它們?nèi)葧r(shí),還有HL定理(斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(可簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊”或"HL”)1．(2022·山東臨沂市·八年級(jí)期末)在中,,,,于,,兩點(diǎn)分別在邊和射線上移動(dòng)．當(dāng),___時(shí),和全等．【答案】8或15【分析】分情況討論：①AP=BC=8cm時(shí),Rt△ABC≌Rt△QPA(HL);②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí),Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),此時(shí)AP=AC=15cm．【詳解】解：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AP=BC時(shí),如圖1所示：在Rt△ABC和Rt△QPA中,,∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL),即AP=BC=8cm;②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí),如圖2所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中,,∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL),即AP=AC=15cm．綜上所述,AP的長(zhǎng)度是8cm或15cm．故答案為：8或15．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,注意分類討論,以免漏解．2．(2022·陜西碑林初一期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,AE平分∠BAC,ED⊥AB,則ED的長(zhǎng)()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)度,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明直角三角形全等,得到DE＝CE,設(shè)DE＝x,再根據(jù)勾股定理得出等式計(jì)算出x即可得到ED的長(zhǎng)度．【解析】解：∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,∴,∵AE為△ABC的角平分線,∠ACB＝90°,ED⊥AB,∴DE＝CE,在Rt△ADE和Rt△ACE中,∵AE＝AE,DE＝CE,∴Rt△ADE≌Rt△ACE(HL),∴AD＝AC＝6,∠ADE＝90°∴BD＝10﹣6＝4,設(shè)DE＝x,則CE＝x,BE＝8﹣x,在Rt△BDE中,,即,解得x＝3,所以ED的長(zhǎng)是3,故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和角平分線的性質(zhì)以及證明直角三角形全等;其中證明直角三角形的全等即Rt△ADE≌Rt△ACE是解本題的關(guān)鍵．3．(2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí))已知：如圖,BD為△ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),BE=BA,過(guò)E作EF⊥AB,F為垂足,下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC④BA+BC=2BF其中正確的是()A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】易證,可得,AD=EC可得①②正確;再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得,即③正確,根據(jù)③可判斷④正確;【詳解】∵BD為∠ABC的角平分線,∴∠ABD=∠CBD,∴在△ABD和△EBD中,BD=BC,∠ABD=∠CDB,BE=BA,∴△(SAS),故①正確;∵BD平分∠ABC,BD=BC,BE=BA,∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA,∵△ABD≌△EBC,∴∠BCE=∠BDA,∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°,故②正確;∵∠BCE=∠BDA,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∠BDA=∠DAE+∠BEA,∠BCD=∠BEA,∴∠DCE=∠DAE,∴△ACE是等腰三角形,∴AE=EC,∵△ABD≌△EBC,∴AD=EC,∴AD=AE=EC,故③正確;作EG⊥BC,垂足為G,如圖所示：∵E是BD上的點(diǎn),∴EF=EG,在△BEG和△BEF中∴△BEG≌△BEF,∴BG=BF,在△CEG和△AFE中∴△CEG≌△AFE,∴AF=CG,∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,故④正確;故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì),本題中熟練求證三角形全等和熟練運(yùn)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;4．(2022·江西贛州市·八年級(jí)期末)已知：,,,．(1)試猜想線段與的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論．(2)若將沿方向平移至圖2情形,其余條件不變,結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若將沿方向平移至圖3情形,其余條件不變,結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1),見(jiàn)解析;(2)成立,理由見(jiàn)解析;(3)成立,理由見(jiàn)解析【分析】(1)先用判斷出,得出,進(jìn)而判斷出,即可得出結(jié)論;(2)同(1)的方法,即可得出結(jié)論;(3)同(1)的方法,即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)理由如下：∵,,∴在和中∴,∴∵,∴,∴,∴;(2)成立,理由如下：∵,,∴,在和中,∴,∴,∵,∴,∴,在中,,∴;(3)成立,理由如下：∵,,∴在和中,∴,∴,∵,∴,在中,,∴．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),判斷出是解本題的關(guān)鍵．5．(2022春·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在中,,是過(guò)點(diǎn)的直線,于,于點(diǎn);(1)若、在的同側(cè)(如圖所示)且．求證：;(2)若、在的兩側(cè)(如圖所示),且,其他條件不變,與仍垂直嗎?若是請(qǐng)給出證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2),理由見(jiàn)解析【分析】(1)由證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出,最后結(jié)合得出,即可得出,得證;(2)與仍垂直．仿照(1)證明即可．【詳解】(1)證明：∵,,∴,∴,在和中,∴,∴,又,∴,∴,∴;(2)解：理由：∵,,∴,∴,在和中,∴,∴,又,∴,∴,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì),根據(jù)證明是解題的關(guān)鍵．6．(2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥?已知在中,于點(diǎn),于點(diǎn),且,．(1)如圖1,求證：;(2)如圖2,點(diǎn)為上一點(diǎn),連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),若,求的度數(shù);(3)如圖3,在(2)的條件下,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),若,求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一以及直角三角形中角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半分別可得出,;進(jìn)而得出結(jié)論;(2)由,可證,得出;由可得;從而可以得出;在中,由三角形的內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù);(3)設(shè),得出,延長(zhǎng)至,使得,連接,在上截取,構(gòu)造等邊三角形,證明,進(jìn)而證明,根據(jù)已知條件即可求解．【詳解】(1)證明：∵,∴,∵,∴,∵,,∴,∴;(2)解：∵,,∴,,在和中,,∴,∴,又∵,∴,在中,故答案為：;(3)解：設(shè),∵,,∴,∴,∵,由(2)可得,∵,∴,在中,,如圖,延長(zhǎng)至,使得,連接,在上截取,∴是等邊三角形,∴,,在與中,,∴,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∵,設(shè),則,,∴,解得,∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,等邊三角形的性質(zhì)與判定,三角形的外角性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,綜合應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型6逆命題與逆定理相關(guān)問(wèn)題1．(2022·吉林白城·七年級(jí)期末)命題"若,則”的逆命題是________．【答案】若a<b,則-3a>-3b【分析】根據(jù)逆命題睥定義求解即可．【詳解】解：若,則的逆命題是若a<b,則-3a>-3b,故答案為：若a<b,則-3a>-3b．【點(diǎn)睛】本題考查逆命題,熟練掌握逆命題的定義"一個(gè)命題的題設(shè)是另一個(gè)命題結(jié)論,結(jié)論是另一個(gè)命題的題設(shè),這樣的兩個(gè)命題互為逆命題”是解題的關(guān)鍵．故答案為：假．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理,解題的關(guān)鍵是會(huì)交換題設(shè)和結(jié)論,求出原命題的逆命題,并能判斷逆命題的真假．2．(2022·山西呂梁·七年級(jí)期末)如圖是家用的雙排折疊晾衣架的一部分,在晾衣架折疊或拉伸的過(guò)程中,與的大小關(guān)系是_________,理由是__________________,其逆命題是___________________________．【答案】

或相等

對(duì)頂角相等

如果兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角(或相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角)【分析】①根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可;②對(duì)頂角相等;③根據(jù)互逆命題的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵圖中與是對(duì)頂角,∴,對(duì)頂角相等的逆命題是：如果兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．故答案為：∠1=∠2或相等;對(duì)頂角相等;如果兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角(或相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的定義和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)頂角的定義,如果一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角兩邊的反向延長(zhǎng)線,且這兩個(gè)角有公共頂點(diǎn),那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角．3．(2022·河北·任丘市教育體育局教研室七年級(jí)期末)下列命題的逆命題是假命題的是(

)A．兩直線平行,同位角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．等邊三角形三個(gè)角相等 D．直角三角形的兩個(gè)銳角互余【答案】B【分析】根據(jù)已知,把各選項(xiàng)條件與結(jié)論互換寫(xiě)出逆命題,再判定結(jié)果是否是真命題即可．【詳解】A.兩直線平行,同位角相等的逆命題為同位角相等,兩直線平行是真命題,故選項(xiàng)A不合題意;B.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題為對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等是假命題,故選項(xiàng)B符合題意;C.等邊三角形三個(gè)角相等的逆命題有三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形是真命題,故選項(xiàng)C不合題意;D.直角三角形的兩個(gè)銳角互余的逆命題兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形是真命題,故選項(xiàng)D不合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查命題與逆命題,掌握把命題變?yōu)槟婷}的方法,會(huì)判斷命題真假是解題關(guān)鍵．4．(2022·山東·泰安七年級(jí)期末)下列命題的逆命題成立的是()A．對(duì)頂角相等B．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等C．如果兩個(gè)數(shù)相等,那么它們的絕對(duì)值相等D．兩直線平行,同位角相等【答案】D【分析】寫(xiě)出各個(gè)命題的逆命題,然后判斷是否成立即可．【詳解】解：A、逆命題為相等的角為對(duì)頂角,不成立;B、逆命題為對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等,不成立;C、逆命題為絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相等,不成立;D、逆命題為同位角相等,兩直線平行,成立,故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是能夠正確的寫(xiě)出各個(gè)命題的逆命題,難度不大．5．(2022·上?！ぶ锌颊骖})下列說(shuō)法正確的是(

)A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系,分別舉出反例,再進(jìn)行判斷,即可得出答案．【詳解】解：A、命題一定有逆命題,故此選項(xiàng)符合題意;B、定理不一定有逆定理,如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒(méi)有逆定理,故此選項(xiàng)不符合題意;C、真命題的逆命題不一定是真命題,如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角,它是假命題而不是真命題,故此選項(xiàng)不符合題意;D、假命題的逆命題定不一定是假命題,如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等,它是真命題,故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理,掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵．把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題,所有的命題都有逆命題;正確的命題叫真命題,錯(cuò)誤的命題叫假命題．6．(2022·浙江·溫州市九年級(jí)期中)定理"直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆定理是________________．【答案】有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【分析】交換命題的題設(shè)和結(jié)論即可確定該命題的逆命題．【詳解】解：定理"直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆定理是：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形,故答案為：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí),解題的關(guān)鍵是了解如何寫(xiě)出一個(gè)命題的逆命題,難度不大．題型7中垂線與角平分線的實(shí)際應(yīng)用【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等垂直平分線的性質(zhì)判定：到一條直線兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn);外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點(diǎn)的距離相等.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.1．(2020·湖南長(zhǎng)沙市·八年級(jí)月考)在元旦聯(lián)歡會(huì)上,三個(gè)小朋友分別站在三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的位置上,他們玩搶凳子游戲,要求在他們中間放一個(gè)木凳,誰(shuí)先做到凳子上誰(shuí)就獲勝,為使游戲公平,則凳子應(yīng)放在三角形的()A．三條角平分線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可得答案．【詳解】解：∵三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,∴為使游戲公平,凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚娜叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn),故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查游戲公平性,判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率,然后比較概率的大小,概率相等就公平,否則就不公平,并熟練掌握三角形內(nèi)心、外心、垂心和重心的性質(zhì)．2．(2021·上海奉教院附中八年級(jí)期末)隨著人們生活水平的不斷提高,汽車(chē)逐步進(jìn)入到千家萬(wàn)戶,小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路(如圖所示),建一個(gè)加油站,要求它到三條公路的距離相等,這樣可供選擇的地址有_______處.【答案】4【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等作出圖形即可得解．【詳解】如圖所示,加油站站的地址有四處．故選D．【點(diǎn)睛】考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀．3．(2021·遼寧大連市·八年級(jí)期末)如圖,電信部門(mén)要在公路l旁修建一座移動(dòng)信號(hào)發(fā)射塔．按照設(shè)計(jì)要求,發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)M,N的距離必須相等,則發(fā)射塔應(yīng)該建()A．A處 B．B處 C．C處 D．D處【答案】C【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)即可判斷．【詳解】如圖,可知兩個(gè)圓弧交點(diǎn)所連直線為線段MN的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì),可得發(fā)射塔應(yīng)該在C處,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用,理解中垂線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．(2021·四川省自貢市貢井區(qū)成佳中學(xué)校八年級(jí)月考)近年來(lái),國(guó)家實(shí)施"村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革,某縣計(jì)劃在張村、李村之間建一座定點(diǎn)醫(yī)療站P,張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)(如圖所示)．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等,②到張、李兩村的距離也相等,請(qǐng)你通過(guò)作圖確定P點(diǎn)的位置(不寫(xiě)作法,但要保留痕跡)【答案】見(jiàn)解析【分析】畫(huà)出兩條公路夾角的平分線和張、李兩村之間線段的垂直平分線,交點(diǎn)即是所求．【詳解】解：如圖所示：【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線、垂直平分線的作法在實(shí)際中的應(yīng)用,熟練掌握垂直平分線以及角平分線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．5．(2020?花垣縣期末)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成兩直條(如圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了桔子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到C處,請(qǐng)你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短?【分析】本題意思是在OA上找一點(diǎn)D,在OB上找一點(diǎn)E,使△CDE的周長(zhǎng)最小．如果設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是M,關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是N,當(dāng)點(diǎn)D、E在MN上時(shí),△CDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC＝MN,此時(shí)周長(zhǎng)最小．【答案】解：①分別作點(diǎn)C關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)是M、N,②連接MN,分別交OA于D,OB于E．則C→D→E→C為所求的行走路線．【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決生活中的最短距離問(wèn)題．6.(2020?東西湖區(qū)期末)如圖,為了做好元旦期間的交通安全工作,自貢市交警執(zhí)勤小隊(duì)從A處出發(fā),先到公路m上設(shè)卡檢査,再到公路n上設(shè)卡檢査,最后再到達(dá)B地執(zhí)行任務(wù),他們應(yīng)如何走才能使總路程最短?畫(huà)出圖形并說(shuō)明做法．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,作A關(guān)于公路m的對(duì)稱點(diǎn)A′,作B關(guān)于公路n的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接A′B′與公路m,n分別相交于點(diǎn)M、N,然后沿A→M→N→B走才能使總路程最短．【答案】解：如圖所示,分別作A、B關(guān)于公路m、n的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′,連接A′B′交m、n于M、N兩點(diǎn),連AM、BN,則A→M→N→B即為最短路線．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題,應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖,此類問(wèn)題的求解方法比較單一,需熟記．7.(2021?西湖區(qū)校級(jí)月考)如圖直線l1,l2表示一條河的兩岸,且l1∥l2,現(xiàn)要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過(guò)河到村莊B的路線最短?畫(huà)出示意圖,并說(shuō)明理由．【分析】先確定AA′與河等寬,且AA′⊥河岸,連接BA′,與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD垂直河岸,交另一河岸于點(diǎn)D,即可得出答案．【答案】解：如圖,先確定AA′與河等寬,且AA′⊥河岸,連接BA′,與河岸的交點(diǎn)就是點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD垂直河岸,交另一河岸于點(diǎn)D,CD就是所求的橋的位置．理由：由作圖過(guò)程可知,四邊形ACDA′為平行四邊形,AD平移至A′C即可得到線段A′B,兩點(diǎn)之間,線段最短,由于河寬不變,CD即為橋．【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖﹣平移變換以及利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題,熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．題型8與中垂線與角平分線有關(guān)的角度和長(zhǎng)度計(jì)算1．(2022·安徽·八年級(jí)期末)如圖,等腰直角△ABC中,AC＝BC,∠ACB＝90°,D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),過(guò)點(diǎn)A作AE垂直BD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接CE,則為(

)A．30° B．36° C．45° D．60°【答案】C【分析】如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF于H,CG⊥BE于G,證明△AHC≌△BCG得到CH=CG,即可證明CE平分∠BEF,即可得到∠BEC=．【詳解】解：如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF于H,CG⊥BE于G,∴∠AHC=∠BGC=90°,∵∠ACB=90°,AF⊥BE,∴∠AEB=∠BCD=∠BEF=90°,又∵∠ADE=∠BDC,∴∠CAH=∠CBG,又∵AC=BC,∴△AHC≌△BCG(AAS),∴CH=CG,∵CH⊥EF,CG⊥BE,∴CE平分∠BEF,∴∠BEC=．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定,角平分線的判定,角平分線的定義,正確作出輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．(2022·江西·八年級(jí)期中)如圖,在△ABC中,AB＝7,BC＝5,AC的垂直平分線分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F是DE上任意一點(diǎn),△BCF的周長(zhǎng)的最小值是()A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于,關(guān)于直線為對(duì)稱,所以和重合時(shí),最小,最小值等于,即可求得的周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：是線段的垂直平分線,,關(guān)于直線為對(duì)稱,和重合時(shí),最小,即的周長(zhǎng)的最小值,是線段的垂直平分線,,的最小值,的最小周長(zhǎng),故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題,線段垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．3．(2022·四川八年級(jí)期中)如圖,在△ABC中,∠B＝30°,用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D,則∠ADC＝()A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】D【分析】由圖知虛線為的垂直平分線,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出,再由三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由圖知虛線為的垂直平分線,,,,,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和、三角形的外角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是：確定虛線為的垂直平分線．4．(2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)期末)如圖,,C為OB上的定點(diǎn),M,N分別為射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E,作EN⊥OC交OA于點(diǎn)M,此時(shí)CM+MN=EM+MN=EN最短,進(jìn)而根據(jù)∠AOB=35°,和直角三角形兩個(gè)銳角互余即可求解．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OC于點(diǎn)N,交OA于點(diǎn)M,∴ME=MC,∴CM+MN=EM+MN=EN,根據(jù)垂線段最短,EN最短,∵∠AOB=35°,∠ENO=CFM=90°,∴∠OMN=55°,∠OCF=55°,∴∠EMF=∠OMN=55°,∴∠E=∠MCE=35°,∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,熟知直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題關(guān)鍵．5．(2022·天津八年級(jí)期末)如圖,,點(diǎn)M,N分別是邊,上的定點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別是邊,上的動(dòng)點(diǎn),記,,當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),的大小=____(度)．【答案】50【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn),N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn),連接,交OB于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)Q,連接MP,QN,可知此時(shí)最小,此時(shí),再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和平角的定義即可得出結(jié)論．【詳解】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn),N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn),連接,交OB于點(diǎn)P,交OA于點(diǎn)Q,連接MP,QN,如圖所示．根據(jù)兩點(diǎn)之間,線段最短,可知此時(shí)最小,即,∴,∵,∴,∵,,∴,∴．故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、三角形內(nèi)角和,三角形外角的性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng)．6．(2022·云南·初二期末)在中,的垂直平分線交于點(diǎn),的垂直平分線交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),的周長(zhǎng)為6．(1)與的數(shù)量關(guān)系為．(2)求的長(zhǎng)．(3)分別連接,,,若的周長(zhǎng)為16,求的長(zhǎng)．【答案】(1);(2)6;(3)5．【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得;(2)先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得,,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式、等量代換即可得;(3)先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得,,再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式可得,由此即可得出答案．【解析】(1)因?yàn)榈拇怪逼椒志€交于點(diǎn),所以,故答案為：;(2)因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€,是的垂直平分線,所以,,因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6,所以,所以;(3)因?yàn)槭沁叺拇怪逼椒志€,是邊的垂直平分線,所以,,因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為16,所以,所以,所以．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn),掌握理解垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型9與垂直平分線、角平分線有關(guān)的證明【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等注意：(1)這里的距離指的是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離,也就是兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度.(2)在使用該定理時(shí)必須保證兩個(gè)前提條件：一是垂直于這條線段,二是平分這條線段.1．(2022.江蘇八年級(jí)期中)如圖,中,邊的垂直平分線交于點(diǎn)P．(1)求證：．(2)點(diǎn)P是否也在邊的垂直平分線上?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)在,理由見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得,PA=PB,PB=PC,則PA=PB=PC．(2)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆定理,可得點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：(1)證明：∵邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P,∴PA=PB,PB=PC．∴PA=PB=PC．(2)∵PA=PC,∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;(2)和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上．2．(2022·安徽阜陽(yáng)市·八年級(jí)期末)已知：如圖,點(diǎn),在的邊,上,的垂直平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn),連接,,,．(1)求證：①;②;(2)探究：滿足什么條件時(shí),是等邊三角形,并說(shuō)明理由;(3)若,請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出符合條件的圖形,并探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由．【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2),理由見(jiàn)解析;(3)作圖,見(jiàn)解析,,理由見(jiàn)解析．【分析】(1)①利用線段垂直平分線的性質(zhì),等量代換即可;②利用角的平分線的性質(zhì),代換計(jì)算即可;(2)利用四邊形PCOD的內(nèi)角和為360°,計(jì)算得證;(3)證明即可得證.【詳解】(1)證明：①為的垂直平分線,,同理：,;②,,,同理,,;(2)．理由：∵,,,,,由(1)得,,是等邊三角形;(3)作圖如下,．理由：,,,,在和中,,,,由(1)得,,,．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線,角的平分線,等邊三角形的判定,直角三角形的全等,熟記性質(zhì),靈活運(yùn)用等量代換思想,一般與特殊思想是解題的關(guān)鍵.3．(2022·山東臨沂市·八年級(jí)期末)如圖,在中,,,,垂足為點(diǎn),平分交于點(diǎn),交于點(diǎn)．點(diǎn)為的中點(diǎn),連接交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù);(2)．【答案】(1)67.5°;(2)見(jiàn)解析．【分析】(1)由,可得,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得：從而可得答案;(2)先證明≌,可得,連接,由,點(diǎn)為的中點(diǎn),證明垂直平分,再求解證明從而可得結(jié)論．【詳解】解：(1)∵,∴∵∴．(2)∵,為垂足,∴∵,∴,∴,∴,又∵,平分,∴,∴,,∴,在和中∴≌,∴,連接,∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴垂直平分,又∵點(diǎn)在上,∴,平分,∴,∴,又∵,∴,∴,∵,∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段的垂直平分線的判定與性質(zhì),掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．(2022·東北師大附中八年級(jí)期中)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)的部分內(nèi)容．線段垂直平分線：我們已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形,線段的垂直平分線是線段的對(duì)稱軸．如圖,直線MN是線段AB的垂直平分線,P是MN上任一點(diǎn),連結(jié)PA、PB．將線段AB沿直線MN對(duì)折,我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合．由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．已知：如圖,MN⊥AB,垂足為點(diǎn)C,AC＝BC,點(diǎn)P是直線MN上的任意一點(diǎn)求證：PA＝PB．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形APC和BPC,只要證明這兩個(gè)三角形全等,便可證得PA＝PB．(1)請(qǐng)根據(jù)教材中的分析,結(jié)合圖①,寫(xiě)出"線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程;(2)如圖②,在△ABC中,直線l,m,n分別是邊AB,BC,AC的垂直平分線．求證：直線l、m、n交于一點(diǎn);(請(qǐng)將下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整)證明：設(shè)直線l,m相交于點(diǎn)O．(3)如圖③,在△ABC中,AB＝BC,邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,若∠ABC＝120°,AC＝15,則DE的長(zhǎng)為．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)5【分析】(1)證明△PAC≌△PBC即可解決問(wèn)題．(2)如圖②中,設(shè)直線l、m交于點(diǎn)O,連結(jié)AO、BO、CO．利用線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可．(3)連接BD,BE,證明△BDE是等邊三角形即可．【詳解】證明：(1)如圖①中,∵M(jìn)N⊥AB,∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△PAC和△PBC中,,∴△PAC≌△PBC(SAS),∴PA＝PB．(2)如圖②中,設(shè)直線l、m交于點(diǎn)O,連結(jié)AO、BO、CO．∵直線l是邊AB的垂直平分線,∴OA＝OB,又∵直線m是邊BC的垂直平分線,∴OB＝OC,∴OA＝OC,∴點(diǎn)O在邊AC的垂直平分線n上,∴直線l、m、n交于點(diǎn)O．(3)解：如圖③中,連接BD,BE．∵BA＝BC,∠ABC＝120°,∴∠A＝∠C＝30°,∵邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E,∴DA＝DB,EB＝EC,∴∠A＝∠DBA＝30°,∠C＝∠EBC＝30°,∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°,∠BED＝∠C+∠EBC＝60°,∴△BDE是等邊三角形,∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC,∵AC＝15,∴DE＝AC＝5．故答案為5．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了線段的垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考?？碱}型．5．(2022·浙江紹興市·八年級(jí)模擬)已知：如圖,是的角平分線,于點(diǎn)E,于點(diǎn)F,．(1)求證：;(2)求證：是的中垂線．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析【分析】(1)依據(jù)證明,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到,然后依據(jù)證明即可;(2)先證明,然后依據(jù)證明,由全等三角形的性質(zhì)可得到,,故此可證明是的中垂線．【詳解】解：證明：(1)是的角平分線,,于點(diǎn),于點(diǎn),,在和中,,,,于點(diǎn),于點(diǎn),,在和中,,;(2),,又,,在和中,,,,,是的中垂線．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定,掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．(2022·福建三明市·八年級(jí)期末)在四邊形ABCD中,∠A＝∠B＝90°,BC＝4,CD＝6,E為AB邊上的點(diǎn)．(1)連接CE,DE,CE⊥DE．①如圖1,若AE＝BC,求證：AD＝BE;②如圖2,若AE＝BE,求證：CE平分∠BCD;(2)如圖3,F是∠BCD的平分線CE上的點(diǎn),連結(jié)BF,DF,BF＝DF＝,求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)【分析】(1)①先證明再證明從而可得結(jié)論;②如圖,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于證明可得結(jié)合利用垂直平分線的性質(zhì)可得再利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;(2)如圖,過(guò)作于作于證明再證明可得證明求解再利用勾股定理求解從而可得答案．【詳解】解：(1)①在與中,②如圖,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于在與中,平分(2)如圖,過(guò)作于作于平分【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型10與角平分線線有關(guān)的證明【解題技巧】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等牢記：(1)角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)比較簡(jiǎn)單的方法;(2)當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí),通常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線,構(gòu)造相等的線段.1．(2022·江蘇七年級(jí)期末)如圖,任意畫(huà)一個(gè)的,再分別作的兩條角平分線和,和相交于點(diǎn),連接,有以下結(jié)論：①;②;③;④;⑤．其中正確的結(jié)論為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】在BC上取BF=BD,通過(guò)SAS證△BDP≌△BFP,ASA證△CPF≌△CPE,作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H通過(guò)AAS證△DPG≌EPH即可判斷各結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC的兩條角平分線BE和CD交于P,∠BAC=60°∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)＝60°,∴∠BPC=180°-60°=120°,故①正確;∴∠BPD=60°,在BC上取BF=BD,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠CBP,在△BDP和△BFP中,,∴△BDP≌△BFP(SAS),∴∠BPD=∠BPF=60°,∵∠BPC=120°,∴∠FPC=∠EPC=60°,∴△CPF≌△CPE(ASA),∴CE=CF,∴BC=BD+CE,故⑤正確;作PG⊥AB于G,PH⊥AC于H,∵∠BAC=60°,∴∠GPH=120°,∵∠DPE=∠BPC=120°,∴∠DPG=∠EPH,∴△DPG≌EPH(AAS)∴PG=PH,PD=PE,故③正確;∴AD-DG=AE+EH,∴AD-AE=2DG,故④不正確;∴AP是角平分線,∴P到AB、AC的距離相等,∴S△ABP：S△ACP=AB：AC,故②正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．(2022·廣西南寧市·八年級(jí)期末)已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn),∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B,D兩點(diǎn),且∠ABC+∠ADC＝180°．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,垂足為E．(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí),求證：BC＝DC;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系;(3)如圖3,在(2)的條件下,若∠MAN＝60°,連接BD,作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．若BG＝1,DF＝2,求線段DB的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)AD﹣AB＝2BE,理由見(jiàn)解析;(3)3．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF,證明△BCE≌△DCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CE＝CF,AE＝AF,證明△BCE≌△DCF,得到DF＝BE,結(jié)合圖形解答即可;(3)在BD上截取BH＝BG,連接OH,證明△OBH≌△OBG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠OHB＝∠OGB,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF,證明△ODH≌△ODF,得到DH＝DF,計(jì)算即可．【詳解】(1)證明：如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,垂足為F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE＝CF,∵∠CBE+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°,∴∠CBE＝∠CDF,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(AAS)∴BC＝DC;(2)解：AD﹣AB＝2BE,理由如下：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD,垂足為F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE＝CF,AE＝AF,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∠ABC+∠CBE＝180°,∴∠CDF＝∠CBE,在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(AAS),∴DF＝BE,∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE,∴AD﹣AB＝2BE;(3)解：如圖3,在BD上截取BH＝BG,連接OH,∵BH＝BG,∠OBH＝∠OBG,OB＝OB在△OBH和△OBG中,,∴△OBH≌△OBG(SAS)∴∠OHB＝∠OGB,∵AO是∠MAN的平分線,BO是∠ABD的平分線,∴點(diǎn)O到AD,AB,BD的距離相等,∴∠ODH＝∠ODF,∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH,∠OGB＝∠ODF+∠DAB,∴∠DOH＝∠DAB＝60°,∴∠GOH＝120°,∴∠BOG＝∠BOH＝60°,∴∠DOF＝∠BOG＝60°,∴∠DOH＝∠DOF,在△ODH和△ODF中,,∴△ODH≌△ODF(ASA),∴DH＝DF,∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì),關(guān)鍵是依照基礎(chǔ)示例引出正確輔助線．3．(2022·北京西城·二模)在△ABC中,AB=AC,過(guò)點(diǎn)C作射線CB′,使∠ACB′=∠ACB(點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè))點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)E在線段BC上,且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí),AD與的位置關(guān)系是______,若,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____;(用含a的式子表示)(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí),連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;②用等式表示線段BE,CD,DE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明．【答案】(1)AD⊥CB′;;(2)①∠BAC=2∠DAE,理由見(jiàn)解析;②BE=CD+DE,理由見(jiàn)解析【分析】(1)先證明∠ADC=90°,再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,根據(jù)角平分線的性質(zhì),證明△ADC≌△AFC(HL),即可求解;(2)①∠ACB′=∠ACB=α=∠B,利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC,再由∠DAE+∠ACD=90°,推出∠ACD=90°-∠DAE=α,進(jìn)一步計(jì)算即可求解;②在BC上截取BG=CD,先后證明△ABG≌△ACD(SAS),△GAE≌△DAE(SAS),即可求解．(1)解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,且∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ADC=90°,∴AD⊥CB′;過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F,∵AB=AC,∴CF=BF=BC=,∵∠ACB′=∠ACB,AF⊥BC,AD⊥CB′,∴AF=AD,∴△ADC≌△AFC(HL),∴CD=CF=,故答案為：AD⊥CB′;;(2)解：①∠BAC=2∠DAE,理由如下：設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B,∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC,即α=90°-∠BAC,∵∠DAE+∠ACD=90°,∴∠ACD=90°-∠DAE=α,∴90°-∠BAC=90°-∠DAE,∴∠BAC=2∠DAE;②BE=CD+DE,理由如下：在BC上截取BG=CD,在△ABG和△ACD中,,∴△ABG≌△ACD(SAS),∴AG=AD,∠BAG=∠CAD,∵∠BAC=∠BAG+∠GAC,∠GAD=∠CAD+∠GAC,∴∠BAC=∠GAD,∵∠BAC=2∠DAE,∴∠GAD=2∠DAE,∴∠GAE=∠DAE,在△GAE和△DAE中,,∴△GAE≌△DAE(SAS),∴GE=DE,∴BE=BG+GC=CD+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),角平分線的性質(zhì),作出合適的輔助線,構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．(2022·山東·濟(jì)南育英中學(xué)模擬預(yù)測(cè))如圖1,在△ABC中,∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC;(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí),且AO＝3OD(如圖2),判斷線段AE,CD,AC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AE+CD=AC,證明見(jiàn)解析【分析】(1)求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC,∠OCA=∠BCA,即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可;(3)在AC上分別截取AM、CN,使AM=AE,CN=CD,連接OM,ON,證△AEO≌△AMO,△DCO≌△NCO,推出∠EOA=∠MOA,∠CON=∠COD,OD=ON,求出∠MON=∠MOA=45°,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML,據(jù)此計(jì)算即可求解．(1)證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC,∵∠BA