異面直線所成的角專題訓(xùn)練

異面直線所成的角專題訓(xùn)練

1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AC和MN所成的角為多少度？答案：90度。2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB的中點(diǎn)M，DD1的中點(diǎn)N，則異面直線B1M與CN所成的角是多少度？答案：60度。3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AC的中點(diǎn)，則異面直線DE與B1C所成角的大小為多少度？答案：無法確定，題目中缺少信息。4.在三棱錐ABC-A1B1C1中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，AB=4，AA1=6。若E是棱BB1上的點(diǎn)，且BE=B1E，則異面直線A1E與AC1所成角的余弦值為多少？答案：1/3。5.在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，△PAC為等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為多少？答案：-1/2。6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，直線AM與CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5。7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，則直線B1C與直線AB1所成角的余弦值為多少？答案：5/13。8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，點(diǎn)M是AC1的中點(diǎn)，則異面直線MB與AA1所成角的余弦值為多少？答案：-1/3。9.正三棱錐A-PBC的側(cè)棱兩兩垂直，D，E分別為棱PA，BC的中點(diǎn)，則異面直線PC與DE所成角的余弦值為多少？答案：-3/5。10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為B1C1的中點(diǎn)，則異面直線AF與C1D所成角的大小為多少度？答案：無法確定，題目中缺少信息。中，ABCD是正方形，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，異面直線EF與AC所成的角的正弦值為()A．12B．13C．23D．110.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，異面直線EF與直線AC所成的角的正切值為()A．13B．23C．1D．321.已知正四棱錐的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，點(diǎn)E是底面對(duì)角線的中點(diǎn)，求AE與SD所成角的余弦值。解：連接SE、AD，由勾股定理得$AD=\sqrt{2}AE$，又因?yàn)?\triangleSED$中$SE=SD$，$DE=2AE$，所以$\sin\angleSED=\frac{1}{2}$，$\cos\angleSED=\frac{\sqrt{3}}{2}$。又因?yàn)?AE\botSD$，所以$\sin\angleAES=\cos\angleSED=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos\angleAES=\sin\angleSED=\frac{1}{2}$，所以$\cos\angleAED=\cos(\angleAES+\angleSED)=\cos\angleAES\cos\angleSED-\sin\angleAES\sin\angleSED=\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$。2.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，$\angleACB=90^\circ$，$AA_1=2$，$AC=BC=1$，求異面直線A1B與AC所成角的余弦值。解：連接A1B1、BC，并設(shè)$\angleA1BC=\alpha$，則$\cos\alpha=\frac{AB}{BC}=\sqrt{2}$，$\sin\alpha=\frac{A1B1}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。由勾股定理得$AA_1=\sqrt{5}$，所以$\cos\angleA1AC=\frac{AA_1}{2AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sin\angleA1AC=\frac{AC_1}{2AC}=\frac{1}{2}$。所以$\cos\angleA1BA=\cos(\angleA1AC-\angleACB)=\cos\angleA1AC\cos\angleACB+\sin\angleA1AC\sin\angleACB=\frac{\sqrt{5}}{2}\times0+\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}$。3.四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PA垂直于平面ABCD，PA=AB，求直線PB與直線AC所成角的大小。解：連接PB、PC，設(shè)$\angleAPC=\alpha$，則$\cos\alpha=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。又因?yàn)?\trianglePAB$中$PA=AB$，所以$\angleAPB=45^\circ$。所以$\cos\angleBPC=\cos(\angleAPC-\angleAPB)=\cos\angleAPC\cos\angleAPB+\sin\angleAPC\sin\angleAPB=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{\sqrt{2}}+0=\frac{1}{2}$。4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA垂直于底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，AB=2，AD=2√2，PA=2，求異面直線BC與AE所成的角的大小。解：連接BC、AE，設(shè)$\anglePEA=\alpha$，$\angleCBE=\beta$，則$\cos\beta=\frac{BC}{BE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\alpha=\frac{PA}{PE}=\frac{1}{2}$。由勾股定理得$PC=2\sqrt{2}$，所以$PE=PC\cos\beta=2$。所以$\sin\alpha=\frac{AE}{PE}=\frac{1}{2}$。所以$\tan\angleBCA=\frac{\sin\angleBCA}{\cos\angleBCA}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times1}{\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times1}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}$。5.在正方體A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，求異面直線DE與AC所成角的余弦值。解：連接DE、AC，并設(shè)$\angleDEC=\alpha$，$\angleACD=\beta$，則$\cos\beta=\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。由勾股定理得$C1E=\frac{1}{2}\sqrt{2}$，$C1D1=\frac{1}{2}\sqrt{6}$，所以$\sin\angleC1D1E=\frac{C1E}{C1D1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos\angleC1D1E=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。所以$\cos\angleDEA=\cos(\angleDEC+\angleC1D1E)=\cos\angleDEC\cos\angleC1D1E-\sin\angleDEC\sin\angleC1D1E=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\sin\alpha\times\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\cos\angleAED=\cos(\angleAEC+\angleCED)=\cos\angleAEC\cos\angleCED-\sin\angleAEC\sin\angleCED=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin\beta\times\frac{1}{2}$。所以$\cos\angleAEC=\cos(\angleAED+\angleDEC)=\cos\angleAED\cos\angleDEC-\sin\angleAED\sin\angleDEC=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-\sin\alpha\times\frac{\sqrt{2}}{2}$。所以$\cos\angleDEC=\frac{\cos\angleAEC-\cos\angleAED\cos\angleC1D1E}{\sin\angleC1D1E}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$。6.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中點(diǎn)，求直線C1E與BC所成角的余弦值。解：連接C1E、BC，并設(shè)$\angleC1EB=\alpha$，則$\cos\alpha=\frac{C1B}{C1E}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。又因?yàn)?\triangleBCC1$中$BC=\sqrt{2}CC1$，所以$\cos\angleECC1=\frac{BC}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\angleECC1=\frac{CC1}{EC}=\frac{1}{2}$。所以$\cos\angleC1BC=\cos(\angleC1BE+\angleEBC)=\cos\angleC1BE\cos\angleEBC-\sin\angleC1BE\sin\angleEBC=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}-\sin\alpha\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{1}{2}\sin\alpha$。7.如圖，在正四面體ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，求異面直線EF與AC所成的角。解：連接EF、AC，并設(shè)$\angleFEC=\alpha$，$\angleACF=\beta$，則由勾股定理得$AC=\sqrt{3}$，$AE=EC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以$\cos\angleAEC=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，$\sin\angleAEC=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。由勾股定理得$CF=\frac{1}{2}\sqrt{2}$，$CE=\frac{1}{2}\sqrt{6}$，所以$\cos\angleCEF=\frac{CF}{CE}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$，$\sin\angleCEF=\frac{EF}{CE}=\frac{1}{\sqrt{6}}$。所以$\cos\angleAEF=\cos(\angleAEC+\angleCEF)=\cos\angleAEC\cos\angleCEF-\sin\angleAEC\sin\angleCEF=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$，$\sin\angleAEF=\sin(\angleAEC+\angleCEF)=\sin\angleAEC\cos\angleCEF+\cos\angleAEC\sin\angleCEF=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$。所以$\tan\angleFEC=\frac{\sin\angleFEC}{\cos\angleFEC}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin(\angleAEF+\angleAEC+\angleCEF)}{\cos(\angleAEF+\angleAEC+\angleCEF)}=\frac{\sin\angleAEF+\sin\angleCEF}{\cos\angleAEF+\cos\angleCEF}=-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$。8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為AC11的中點(diǎn)，求直線DC1與AP所成角的余弦值。解：連接DC1、AP，并設(shè)$\anglePDC1=\alpha$，則$\cos\alpha=\frac{C1D}{C1P}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。又因?yàn)?\trianglePAB$中$PA=PB=\sqrt{2}$，所以$\angleAPB=45^\circ$。所以$\cos\angleDPA=\cos(\angleDPB+\angleBPA)=\cos\angleDPB\cos\angleBPA-\sin\angleDPB\sin\angleBPA=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$，$\sin\angleDPA=\sin(\angleDPB+\angleBPA)=\sin\angleDPB\cos\angleBPA+\cos\angleDPB\sin\angleBPA=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=0$。所以$\cos\angleDPC1=\cos(\angleDPA+\angleAPC1)=\cos\angleDPA\cos\angleAPC1-\sin\angleDPA\sin\angleAPC1=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}-0=-\frac{\sqrt{2}}{4}$。9.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，ABCD是正方形，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求異面直線EF與AC所成角的正弦值。解：連接EF、AC，并設(shè)$\angleFEC=\alpha$，$\angleACF=\beta$，則由勾股定理得$AC=\sqrt{3}$，$AE=EC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。所以$\cos\angleAEC=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，$\sin\angleAEC=\frac{CE}{AC}=\frac{\sqr