八年級(jí)二次根式復(fù)習(xí)講義非常全面

二次根式知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義．【典型例題】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序號(hào)）．舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的個(gè)數(shù)有______個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是．[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=++2009，則x+y=解題思路：式子（a≥0），，y=2009，則x+y=2014舉一反三：1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，求xy的值3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。已知a是整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值。若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則。若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】1.非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù)．注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到．2.．注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正數(shù)．（2）能開得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替．（3）可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外．4.公式與的區(qū)別與聯(lián)系（1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù)．（2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù)．（3）和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的．【典型例題】【例4】若則．舉一反三：1、若，則的值為。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為（） A．3 B．–3 C．1 D．–13、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足｜x2－4｜＋＝0，則第三邊長為＿＿＿＿＿＿.4、若與互為相反數(shù)，則。（公式的運(yùn)用）【例5】化簡：的結(jié)果為（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4舉一反三：1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:=；=2化簡：3已知直角三角形的兩直角邊分別為和，則斜邊長為（公式的應(yīng)用）【例6】已知,則化簡的結(jié)果是A、 B、 C、 D、舉一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么│－2a│可化簡為（）A．－aB．a(chǎn)C．－3aD．3a3、若，則等于（）A.B.C.D.4、若a－3＜0，則化簡的結(jié)果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－5、化簡得（）（A）2（B）（C）－2（D）6、當(dāng)a＜l且a≠0時(shí)，化簡＝．7、已知，化簡求值：【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡│a－b│+的結(jié)果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a舉一反三：實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：．【例8】化簡的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實(shí)數(shù)（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或【例9】如果，那么a的取值范圍是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1舉一反三：1、如果成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）2、若，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【例10】化簡二次根式的結(jié)果是（A）(B)(C)(D)1、把二次根式化簡，正確的結(jié)果是（）A. B. C. D.2、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)＞0時(shí)，＝；＝。知識(shí)點(diǎn)三：最簡二次根式和同類二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡二次根式：（1）最簡二次根式的定義：①被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式．2、同類二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}】【例11】在根式1)，最簡二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三：1、中的最簡二次根式是。2、下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3、下列根式不是最簡二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)5、把下列各式化為最簡二次根式：(1)(2)(3)【例12】下列根式中能與是合并的是()A.B.C.2D.舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能與合并的二次根式是。3、如果最簡二次根式與能夠合并為一個(gè)二次根式,則a=__________.知識(shí)點(diǎn)四：二次根式計(jì)算——分母有理化【知識(shí)要點(diǎn)】1．分母有理化定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項(xiàng)二次根式：利用來確定，如：，，與等分別互為有理化因式。②兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來確定。如與，，分別互為有理化因式。3．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結(jié)果必須化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）舉一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小結(jié)：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：①與；

②與；③與；

④與．知識(shí)點(diǎn)五：二次根式計(jì)算——二次根式的乘除【知識(shí)要點(diǎn)】1．積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根=（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。=（a≥0，b>0）注意：乘、除法的運(yùn)算法則要靈活運(yùn)用，在實(shí)際運(yùn)算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時(shí)還要考慮字母的取值范圍，最后把運(yùn)算結(jié)果化成最簡二次根式．【典型例題】【例16】化簡(1)(2)(3)(4)()(5)×【例17】計(jì)算（1）

（2）

（3）

（4）（5）

（6）

（7）

（8）【例18】化簡：(1)(2)(3)(4)【例19】計(jì)算：(1)(2)(3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范圍是（）A、B、C、D、無解知識(shí)點(diǎn)六：二次根式計(jì)算——二次根式的加減【知識(shí)要點(diǎn)】需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對(duì)于二次根式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時(shí)，二次根式的被開方數(shù)應(yīng)不含分母，不含能開得盡的因數(shù)．【典型例題】【例20】計(jì)算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知識(shí)點(diǎn)七：二次根式計(jì)算——二次根式的混合計(jì)算與求值【知識(shí)要點(diǎn)】1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習(xí)題】1、2、EQ\F(2,EQ\R(,2))(2EQ\R(,12)+4EQ\R(,EQ\F(1,8))－3EQ\R(,48))3、·（-4）÷4、5、）6、7、8、【例21】1．已知：，求的值．2．已知，求的值。3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是實(shí)數(shù)，且，求的值．知識(shí)點(diǎn)八：根式比較大小【知識(shí)要點(diǎn)】1、根式變形法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。2、平方法當(dāng)時(shí)，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。3、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來