多元函數(shù)微分學(xué)

第十章

多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)概念二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)一、多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念1兩個實(shí)例例１矩形面積S和它的邊長a，b具有如下關(guān)系：S＝abS，a，b三個變量（a>0，b>0）。a，b每取定一組數(shù)，有唯一S與之對應(yīng)例2理想氣體的壓強(qiáng)，體積V和絕對溫度T之間有關(guān)系：

是常數(shù)）P，V，T三個變量（V>0，T>0）。V，T每取定一組數(shù)，有唯一P與之對應(yīng)結(jié)論它們在數(shù)量關(guān)系上有共同的屬性，即一個變量依賴于另兩個變量．

多元函數(shù)概念2二元函數(shù)定義.P(x,y)點(diǎn)集fz數(shù)集二元函數(shù)設(shè)有三個變量x、y和z，如果當(dāng)x、y在一定范圍內(nèi)任取一對數(shù)值時，變量z按照一定的法則f總有一個確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱z是x、y的二元函數(shù)．記z=f(x,y)

其中x、y稱為自變量，z稱為因變量；自變量x、y的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．

二元函數(shù)記為多元函數(shù)概念例3設(shè)函數(shù)

，求

解三元函數(shù)

n元函數(shù)多元函數(shù)二元及二元以上的函數(shù)一元函數(shù)y＝f(x)，x表示數(shù)軸上一點(diǎn)P，則y＝f(P）對二元函數(shù)（x，y）表示平面上一點(diǎn)P，則z＝f(P）對三元函數(shù)u＝f（x，y，z），u＝f(P）P表示三維空間中的點(diǎn)n元函數(shù)可表示為u＝f(P），P表示n維空間中的點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)以點(diǎn)表示自變量的函數(shù)

多元函數(shù)概念3二元函數(shù)的定義域

區(qū)域

全部平面或由曲線圍成的部分平面

邊界

圍成區(qū)域的曲線

開區(qū)域

不包括邊界的區(qū)域

閉區(qū)域

連同邊界在內(nèi)的區(qū)域

鄰域

以點(diǎn)為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合

有界區(qū)域

一個區(qū)域可以被包含在原點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)，否則稱為無界區(qū)域

例4求下列函數(shù)的定義域D，并畫出D的圖形．

多元函數(shù)概念（1）(2)解（１）要使函數(shù)

有意義，應(yīng)有

23多元函數(shù)概念（２）定義域?yàn)?/p>

的點(diǎn)全體，即2例５試用不等式表示由y=x,x=2,y=1

所圍成的平面區(qū)域D．

解先作出區(qū)域D的圖形

橫坐標(biāo)x滿足不等式

縱坐標(biāo)y滿足不等式所以，區(qū)域D用不等式組表示為可考慮用另一組不等時表示D？4二元函數(shù)的幾何意義

多元函數(shù)概念設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈，對任意點(diǎn)相應(yīng)有函數(shù)值z=f(x,y),有序數(shù)組(x,y,z)確定空間中一點(diǎn)M(x,y,z)當(dāng)點(diǎn)P在D內(nèi)變動時，對應(yīng)點(diǎn)M

就在空間變動，一般形成一張曲面

函數(shù)的圖形第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念一、多元函數(shù)概念二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)一元函數(shù)y=f(x)的極限，考察當(dāng)自變量x趨于

時f(x)的變化二元函數(shù)z=f(x,y)需要考察當(dāng)自變量x、y無限趨于常數(shù)、時函數(shù)值的變化

x、y分別趨于、表示P(x、y)趨于記為或若則當(dāng)表示或在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)

以除外）．如果對于任意給定的正數(shù)

，總存在

恒有正數(shù)

使得當(dāng)點(diǎn)P（x，y）滿足

時，二元函數(shù)極限二元函數(shù)的極限與連續(xù)例６求

解令

，當(dāng)

，所以

求解特點(diǎn)二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限求解

注意第十章

多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)如果存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)對x的偏導(dǎo)數(shù)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念

一元函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)

二元函數(shù)z=f(x,y)的導(dǎo)數(shù)視其中一個量為變量，其余量為常數(shù)討論導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)的某鄰域有定義，固定而x在處取得增量時，函數(shù)z取得增量即

稱之為函數(shù)z在點(diǎn)處對x的偏增量

偏導(dǎo)數(shù)的計算按定義類似對y的偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)（x,y)為D內(nèi)動點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)就是x，y的函數(shù)。此函數(shù)為z=f(x,y)在點(diǎn)的偏導(dǎo)函數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)的計算例１求函數(shù)

在點(diǎn)(1,3)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)

解

所以

例２求函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)

解例3已知?dú)鈶B(tài)方程

（R是常數(shù)）求證：偏導(dǎo)數(shù)的計算證由

所以例4

求解所求偏導(dǎo)數(shù)必須按定義計算

例4在函數(shù)在點(diǎn)（0,0)不存在極限，但函數(shù)在該點(diǎn)卻存在偏導(dǎo)數(shù)？偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示平面與曲面的交線處切線對x軸的斜率，即

在點(diǎn)處切線對x軸的斜率，即

處切線對y

軸的斜率，即

類似是曲面z=f(x,y)與平面

的交線在點(diǎn)小結(jié)1偏導(dǎo)數(shù)是視多元函數(shù)為一元函數(shù)討論曲線的變化率問題；2偏導(dǎo)數(shù)的計算，視其中一元為變量，其它為常量，化為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲線的斜率。二、高階偏導(dǎo)數(shù)

函數(shù)z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)仍是x,y的函數(shù)對以上二個偏導(dǎo)數(shù)再考慮求偏導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)?；旌掀珜?dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)

二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)

高階偏導(dǎo)數(shù)例題例５求

的所有二階偏導(dǎo)數(shù)．

解因?yàn)?/p>

？是否具有偶然性？？？定理

如果函數(shù)

z=f(x,y)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)、在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)域內(nèi)D有即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)時，求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無關(guān)

高階偏導(dǎo)數(shù)例題例６設(shè)

求解

混合偏導(dǎo)數(shù)相等高階偏導(dǎo)數(shù)例題例７設(shè)

，證明

證

同理可得

第十章

多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)、梯度第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)、梯度一元函數(shù)y＝f（x）的微分

dy是=A+o()全微分如果二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，給的的改變量、，得z的全增量則稱在點(diǎn)可微，稱為z=f(x,y)在點(diǎn)的全微分記作

A、B僅與有關(guān)，而與、無關(guān)

，是比更高階的無窮小區(qū)域可微z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)可微全微分性質(zhì)性質(zhì)１函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)處可微，則

z=f(x,y)在點(diǎn)連續(xù)證明因函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處可微,有所以，函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)連續(xù)注意函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)不連續(xù)，則在可微

全微分性質(zhì)性質(zhì)２

函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處可微，則z=f(x,y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且

證明

因?yàn)楹瘮?shù)可微,z=f(x,y)在點(diǎn)的增量為由于A、B的取值與、取值無關(guān)，特別地?。?則得同理可得

所以

規(guī)定得全微分公式全微分例題例１討論

在點(diǎn)(0,0)處是否可微

解在點(diǎn)(0,0)處，

如果讓

沿趨y=x于點(diǎn)(0,0)，則=

當(dāng)不是比更高階的無窮小，所以在點(diǎn)(0,0)處全微分不存在．

從這個例子可知．對于二元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在僅僅是可微的必要條件，不是充分條件．

全微分例題性質(zhì)３（可微的充分條件）如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)的鄰域內(nèi)存在，且在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微．

例２求函數(shù)z=xy在點(diǎn)(2,3)處關(guān)于的的改變量與全微分

解

例３求函數(shù)的全微分

解

全微分例題例４求的全微分

解全微分在近似計算中的應(yīng)用

設(shè)z=f(x,y)函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處可微，當(dāng)x、y分別取得改變量、時

由全微分定義，與dz的差是比更高階的無窮小，當(dāng)與充分小時

計算增量的近似計算公式計算f(x,y)鄰近值的近似計算公式全微分近似計算例題例５要制作一個圓柱形的玻璃桶，內(nèi)圓柱的直徑為２米，高為３米，桶底及桶壁的厚度分別為10厘米和５厘米，試計算所需材料的近似值

解設(shè)內(nèi)圓柱的體積為V，半徑為R，高為H全微分近似計算例題例６計算的近似值

解把

看作函數(shù)

在的函數(shù)值取所以

三、方向?qū)?shù)

、偏導(dǎo)數(shù)分別表示函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)沿平行于x軸和y軸方向的變化率．

方向?qū)?shù)討論函數(shù)在給定點(diǎn)沿任一方向的變化率

xyz.l.方向?qū)?shù)設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)，及其附近有定義．從出發(fā)引一條射線

l，在

l上點(diǎn)的鄰近取一動點(diǎn)，記

，若當(dāng)，在

時極限存在，則稱極限值為函數(shù)

z=f(x,y)在處沿方向的方向?qū)?shù)，記作

方向?qū)?shù)的計算

即

注意1方向?qū)?shù)是在一個點(diǎn)處沿方向l的函數(shù)z對距離的變化率;2當(dāng)時，函數(shù)z沿l方向是增加的；3當(dāng)時，函數(shù)z沿l方向是減少的.定理１

若函數(shù)

z=f(x,y)在點(diǎn)處可微；為l方向的方向余弦，則函數(shù)z在點(diǎn)處沿l方向的方向?qū)?shù)必存在，且方向?qū)?shù)計算公式證明由z=f(x,y)在點(diǎn)處可微，則

方向?qū)?shù)的計算公式證明

而；當(dāng)所以

推廣到三元函數(shù)u=f(x,y,z)的情形

方向?qū)?shù)的計算例７求函數(shù)在點(diǎn)M(1,0,1)處沿l=i+2j+2z方向的方向?qū)?shù)．解計算公式平面空間第十章

多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

復(fù)合函數(shù)是x,y的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)（x,y）處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)

Z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)

在(x,y)處有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)，且多元復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是比較復(fù)雜的，中間變量個數(shù)及復(fù)合次數(shù)都給我們求偏導(dǎo)數(shù)帶來不便，我們不可能對復(fù)合函數(shù)的每一種情況都給出求導(dǎo)公式，也沒有必要．在求偏導(dǎo)數(shù)時，我們可根據(jù)所給復(fù)合函數(shù)的變量關(guān)系圖得出求導(dǎo)公式．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式推導(dǎo)

設(shè)函數(shù)寫出偏導(dǎo)數(shù)公式1)作出變量關(guān)系圖zuvyx我們把從z到x的路徑數(shù)看成項，每條線段代表一個因式類似2)由關(guān)系圖寫出公式又設(shè)寫出z對t的求導(dǎo)1)作出變量關(guān)系圖tzxy從z到t有兩條路，有兩項；每條路有兩條線段，每項為兩個因式。1)寫出公式z對t的全導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟與實(shí)例

1由所給復(fù)合函數(shù)畫出變量關(guān)系圖；2對所求偏導(dǎo)數(shù)，由變量關(guān)系圖得出求導(dǎo)公式；3求出求導(dǎo)公式中所需的偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）；4將所求導(dǎo)數(shù)代入求導(dǎo)公式后，化簡即可。求導(dǎo)步驟例１設(shè)已知，求解本題可帶公式（１）、（２）因?yàn)樗詮?fù)合函數(shù)求導(dǎo)實(shí)例

例２已知．求解畫出變量關(guān)系圖，zyx由關(guān)系圖得公式而所以例３設(shè)求解畫出變量關(guān)系圖，yuzx由關(guān)系圖得公式而復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)實(shí)例

所以注意是把f(x,y,z)中除以x外任何量看成常量而對x求導(dǎo)；僅把f(x,y,z)中y看成常量而對x求導(dǎo)（因?yàn)閦是x的函數(shù)）.例４設(shè)，求解令，則z=f(u,v)作出變量關(guān)系圖得公式而yzuvx隱函數(shù)求導(dǎo)法

1一元隱含數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)方程F（x，y）＝0確定函數(shù)y=f(x)代入方程得畫出變量關(guān)系圖，兩邊對x求導(dǎo)xFy若，則一元隱含數(shù)求導(dǎo)公式例５設(shè)，求

解令隱函數(shù)求導(dǎo)法

2二元隱含數(shù)求導(dǎo)公式設(shè)方程F（x，y，z）＝0確定函數(shù)z=f(x,y)代入方程得出變量關(guān)系圖yFzx設(shè)、連續(xù)，且二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式兩邊分別對x、y求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)法例題

例６已知求解令計算公式因?yàn)樗缘谑?/p>

多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分與方向?qū)?shù)第四節(jié)復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

１．曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程為假定均可導(dǎo)當(dāng)時，在L上有一點(diǎn)給以增量，相應(yīng)在L上有一點(diǎn)則割線的方程為當(dāng)點(diǎn)M沿曲線L趨向于點(diǎn)時，有,割線的極限位置為在點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線方程第五節(jié)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不全為零假定切線的方向向量S＝過且垂直于切線的平面稱為曲線L在點(diǎn)處的法平面過點(diǎn)的法平面方程曲線的切線與法平面例題例1、求曲線L：在對應(yīng)于點(diǎn)處的切線與法平面方程解令，得曲線L的參數(shù)方程當(dāng)時，由于所求切線方程為法平面方程為2曲面的切平面與法線設(shè)曲面S的方程為S.曲面S的切平面曲面S的切平面方程為：法線方程曲面S的法線方程為：是切平面的法向量曲面的切平面與法線例題例２曲面上哪一點(diǎn)處的切平面與平面平行？并求出該切平面方程．

解令設(shè)所求點(diǎn)為，則切平面法向量為n由于切平面平行于平面代入故切點(diǎn)坐標(biāo)為所求切平面為二、多元函數(shù)的極值1．二元函數(shù)的極值及求法

設(shè)函數(shù)

z=f(x,y)

在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，都有

f(x,y)<f或

極值極大值極小值極值點(diǎn).多元函數(shù)的極值的求法

極值存在的必要條件

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)、存在，且在點(diǎn)有極值，則有證因?yàn)閦=f(x,y)在點(diǎn)處有極值，固定，則在點(diǎn)處也取得極值，有同理可得駐點(diǎn)滿足的切記：駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)？在什么條件下，駐點(diǎn)才是極值點(diǎn)呢？極值存在的充分條件

多元函數(shù)極值的求法

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且令

則（１）當(dāng)

時，

是極值

若A<0(即C<0)時，是極大值

若A>0(即C>0)時，是極小值

（２）當(dāng)

時，

不是極值

（３）當(dāng)

時，

可能是極值，也可能不是極值證明過程略多元函數(shù)極值例題

例３求函數(shù)的極值解解方程組求得駐點(diǎn)(1,1),(0,0)對駐點(diǎn)(1,1)．極小值f(1,1)=-1f(x,y)在點(diǎn)（0,0）不取極值對駐點(diǎn)（0,0）最大值與最小值√有界閉區(qū)域上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值與最小值；√取得最大值或最小值的點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部，或者在區(qū)域的邊界上；√取得最大值或最小值的點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部，或者在區(qū)域的邊界上；結(jié)論方法▼求區(qū)域內(nèi)駐點(diǎn)函數(shù)值；▼求區(qū)域邊界的最大值與最小值；▼比較駐點(diǎn)函數(shù)值與區(qū)域邊界最值，得出有界區(qū)域最值。注意對多元函數(shù)極值的應(yīng)用題，知道函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有最值，且求出的又只有一個駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求最值。最大值與最小值例題例４在xy坐標(biāo)面上找一點(diǎn)P，使它到三點(diǎn)的距離平方和為最小解設(shè)P(x,y)為所求點(diǎn)，S為P到三點(diǎn)距離的平方和，即解方程組所求點(diǎn)為P由實(shí)際意義知，到三點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在，該函數(shù)又只有一個駐點(diǎn)．最大值與最小值例題例５要制造一個無蓋的長方形水箱，使其體積為2立方米，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣尺寸，才能使用料最?。拷?/p>

設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z，所用材料面積為用料最省，即為所用材料面積最?。?yàn)閤yz=2代入上式得即得駐點(diǎn)因此，當(dāng)長、寬為，高為時，用料最省條件極值

無條件極值自變量除了被限制在定義域內(nèi)，沒有其它條件的約束無條件極值條件極值我們把對自變量有附加約束條件的極值求函數(shù)的最小值，且滿足注意有些條件極值問題可以轉(zhuǎn)化為無條件極值問題求解（如例５）．但大量的條件極值問題化為無條件極值困難，或者化成無條件極值后計算起來很復(fù)雜．?法拉格朗日乘數(shù)解決