第01講 實(shí)數(shù)的概念及數(shù)的開(kāi)方（核心考點(diǎn)講與練）-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿(mǎn)分全攻略（滬教版）（原卷版）

第01講實(shí)數(shù)的概念及數(shù)的開(kāi)方（核心考點(diǎn)講與練）一、實(shí)數(shù)的概念1、無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)．注意：1)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)；2)圓周率π是一個(gè)無(wú)理數(shù)．2、無(wú)理數(shù)也有正、負(fù)之分．如、、等這樣的數(shù)叫做正無(wú)理數(shù)；、、這樣的數(shù)叫做負(fù)無(wú)理數(shù)；只有符號(hào)不同的兩個(gè)無(wú)理數(shù)，如與，與，稱(chēng)它們互為相反數(shù)．3、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)．（1）按定義分類(lèi)（2）按性質(zhì)符號(hào)分類(lèi) 二、數(shù)的開(kāi)方開(kāi)平方：定義：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方．如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根．這個(gè)數(shù)叫做被開(kāi)方數(shù)．如，，的平方根是．說(shuō)明：只有非負(fù)數(shù)才有平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；平方和開(kāi)平方互為逆運(yùn)算．算術(shù)平方根：正數(shù)的兩個(gè)平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根），讀作“根號(hào)”；表示的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號(hào)”．★注意：1）一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)；零的平方根是0；2），2是被開(kāi)方數(shù)的根指數(shù)，平方根的根指數(shù)為2，書(shū)寫(xiě)上一般平方根的根指數(shù)2略寫(xiě)；3）一個(gè)數(shù)的平方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是0．開(kāi)立方：1、定義：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方．2、如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根，用“”表示，讀作“三次根號(hào)”，中的叫做被開(kāi)方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)．★注意：任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根；負(fù)數(shù)有立方根；零的立方根是0；一個(gè)數(shù)的立方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是0，1和-1．開(kāi)次方：1、求一個(gè)數(shù)的次方根的運(yùn)算叫做開(kāi)次方．叫做被開(kāi)方數(shù)，叫做根指數(shù)．如果一個(gè)數(shù)的次方（是大于1的整數(shù)）等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為的奇次方根；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為的偶次方根．★注意：實(shí)數(shù)的奇次方根有且只有一個(gè)，用“”表示．其中被開(kāi)方數(shù)是任意一個(gè)數(shù)，根指數(shù)是大于1的奇數(shù)；正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正次方根用“”表示，負(fù)次方根用“”表示．其中被開(kāi)方數(shù)，根指數(shù)是正偶數(shù)（當(dāng)時(shí)，在中省略）；負(fù)數(shù)的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示為．三、數(shù)的方根的非負(fù)性數(shù)的方根運(yùn)算：方根的混合運(yùn)算，根據(jù)方根性質(zhì)判斷取值范圍；應(yīng)用：與整式、分式的綜合應(yīng)用．考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念【例題1】．（2019·上海市香山中學(xué)七年級(jí)期中）下列說(shuō)法中，正確的是()A．無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零和負(fù)無(wú)理數(shù)B．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)C．正實(shí)數(shù)包括正有理數(shù)和正無(wú)理數(shù)D．實(shí)數(shù)可以分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)兩類(lèi)【變式訓(xùn)練1】．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）下列各數(shù)、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之間每一個(gè)間隔就多一個(gè)0）、、0.451452453454，其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是_____________________。考點(diǎn)二：數(shù)的開(kāi)方【例題2】（2019·上海市光明中學(xué)七年級(jí)期中）下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（2019·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)月考）下列結(jié)論正確的是（）A．； B．沒(méi)有平方根 C．的平方根是 D．的平方是.【變式訓(xùn)練2】（2019·上海市市西初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）下列各式中，正確的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練3】（2019·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是()A．16=±4 B．?C．a(chǎn)2=a 【例題3】（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．的立方根不存在 B．平方根等于本身的數(shù)有0，1C．是36的算術(shù)平方根 D．立方根等于本身的數(shù)有－1，0，1【變式訓(xùn)練1】（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．的平方根是± B．﹣9是81的一個(gè)平方根C．的算術(shù)平方根是4 D．＝﹣3【變式訓(xùn)練2】（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）7的平方根是______，______．【例題4】（2020·上海楊浦區(qū)·期末）方程的解是__________．【變式訓(xùn)練1】（2020·上海金山區(qū)·月考）方程的根是_______________【例題5】（2018·上海虹口區(qū)·期末）計(jì)算：__________．【變式訓(xùn)練1】（2019·上海楊浦區(qū)·七年級(jí)期末）1的四次方根是___________．考點(diǎn)三：方根的非負(fù)性【例題6】當(dāng)x取何值時(shí)，下列各式有意義：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【變式訓(xùn)練1】若有意義，則=__________．【變式訓(xùn)練2】互為相反數(shù)，求2x-5y的值．【變式訓(xùn)練3】已知，求的值．【變式訓(xùn)練5】已知y=，求xy的平方根．1.為什么是無(wú)理數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由．2.已知：，，利用以上結(jié)果，求下列各式的近似值．（1）_______； （2）____________；（3）_________； （4）______________；（5）___________； （6）_____________．3.填寫(xiě)下表，并回答問(wèn)題：a…0.0000010.001110001000000…….……數(shù)a與它的立方根的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)有何規(guī)律?根據(jù)這個(gè)規(guī)律，若已知，求a的值．4.閱讀下面材料并完成填空：你能比較兩個(gè)數(shù)20162017和20172016的大小嗎？為了解決這個(gè)問(wèn)題先把問(wèn)題一般化，要比較nn＋1和（n＋1）n的大?。ǖ恼麛?shù)），先從分析n＝1，＝2，＝3，……這些簡(jiǎn)單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過(guò)歸納，猜想出結(jié)論.（1）通過(guò)計(jì)算，比較下列①—⑦各組中兩個(gè)數(shù)的大小（在橫線(xiàn)上填“＞、＝、＜”號(hào)①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）對(duì)第（1）小題的結(jié)果進(jìn)行歸納，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小關(guān)系:______（3）根據(jù)上面的歸納結(jié)果猜想得到的一般結(jié)論是：20162017_____20172016．5.（2020·山西呂梁市·七年級(jí)期中）（閱讀材料）數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國(guó)訪(fǎng)問(wèn)途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計(jì)算的奧妙．你知道怎樣迅速準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果嗎？請(qǐng)你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個(gè)兩位數(shù)．第二步：∵59319的個(gè)位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個(gè)位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．（解答問(wèn)題）根據(jù)上面材料，解答下面的問(wèn)題（1）求110592的立方根，寫(xiě)出步驟．（2）填空：__________．6．（2019·廈門(mén)市湖濱中學(xué)七年級(jí)期中）觀(guān)察下列計(jì)算過(guò)程，猜想立方根．13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計(jì)19683的立方根的個(gè)位數(shù)，猜想它的個(gè)位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗(yàn)證得19683的立方根是（2）請(qǐng)你根據(jù)（1）中小明的方法，猜想;.請(qǐng)選擇其中一個(gè)立方根寫(xiě)出猜想、驗(yàn)證過(guò)程。7.已知，求的值．8.當(dāng)時(shí)，求的值．9.設(shè)等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a、x、y是兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求的值．10.已知，求x的個(gè)位數(shù)字．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2020·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)期末）下列各數(shù)：，0，，，0.3030030003，中，無(wú)理數(shù)個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．任意一個(gè)數(shù)算術(shù)平方根是正數(shù) B．只有正數(shù)才有算術(shù)平方根C．因?yàn)?的平方是9，所以9的平方根是3 D．-1是1的平方根3．（2020·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)月考）下列說(shuō)法中正確的是（）A．的平方根是2 B．負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根C．零沒(méi)有平方根 D．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根4．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）下列各數(shù)、、、3.14、0.80108、、0.1010010001…（1和1之間每一個(gè)間隔就多一個(gè)0）、、0.451452453454，其中無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是_____________________。5．（2020·上海市民辦立達(dá)中學(xué)七年級(jí)月考），，，則_______________；6．（2019·上海崇明區(qū)·）計(jì)算：__________．題組B能力提升練一、單選題1．（2018·上海金山區(qū)·七年級(jí)期中）下列運(yùn)算中正確的是（）A． B．C． D．2．（2019·上海市江寧學(xué)校）下列說(shuō)法正確的是（）A．是0.5的平方根B．正數(shù)有兩個(gè)平方根，且這兩個(gè)平方根之和等于0C．的平方根是7D．負(fù)數(shù)有一個(gè)平方根3．（2019·上?？亟袑W(xué)附屬民辦學(xué)校七年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是A．一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根的和為零 B．任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有奇次方根C．平方根和立方根相等的數(shù)只有零 D．mm＞0的4次方根是4．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)期中）如果x取任意實(shí)數(shù)，那么以下式子中一定表示正實(shí)數(shù)的是()A．x B． C． D．|3x＋2|5．（2019·上海市嘉定區(qū)震川中學(xué)七年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是()A．平方根是本身的數(shù)只有0; B．立方根是本身的數(shù)只有0和1;C．絕對(duì)值是本身的數(shù)只有0和1; D．相反數(shù)是本身的數(shù)只有0和1.6．（2019·上海全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）–27的立方根與的平方根之和是A．0 B．–6C．0或–6 D．67．（2019·上海七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的有（）個(gè).①負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，但負(fù)數(shù)有立方根．②49的平方根是±23，8③如果x2A．1 B．2 C．3 D．48．（2018·上海七年級(jí)零模）下列說(shuō)法正確的是（）A．﹣81平方根是﹣9B．的平方根是±9C．平方根等于它本身的數(shù)是1和0D．一定是正數(shù)9．（2019·上海全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）下列各數(shù)：0，32，(－5)2，－4，－|－16|，π，其中有平方根的個(gè)數(shù)是()A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)二、填空題10．（2019·上海市嘉定區(qū)震川中學(xué)七年級(jí)期中）的立方根是___________．11．（2019·上海市西南位育中學(xué)七年級(jí)期末）的值是_________；的立方根是_________．12．（2019·上海市三門(mén)中學(xué)七年級(jí)期中）下列各式中：①；②；③；④期中正確的有____________.（填寫(xiě)序號(hào)）13．（2016·上海奉賢區(qū)·七年級(jí)期中）若的立方根等于，則=______.14．（2018·華東理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級(jí)月考）25的立方根是__________________15．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如果的平方根是，則_________16．（2018·上海松江區(qū)·七年級(jí)期末）若一個(gè)數(shù)的平方等于5，則這個(gè)數(shù)等于_____．17．（2019·上海虹口區(qū)·七年級(jí)月考）一個(gè)棱長(zhǎng)為1dm的正方體，要使它保持正方體形狀但體積增加1倍，則這個(gè)新正方體的棱長(zhǎng)是______dm.18．（2019·上海虹口區(qū)·七年級(jí)月考）學(xué)校要圍一個(gè)占地面積144平方米的正方形花圃，需要準(zhǔn)備竹籬笆的長(zhǎng)度為_(kāi)______.19．（2019·上海虹口區(qū)·七年級(jí)月考）已知｜a+2｜=0，那么=______.題組C培優(yōu)拔尖練1．（2019·上海全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）已知2a﹣1的平方根為±3，3a+b﹣1的算術(shù)平方根為4，求a+2b的平方根．2．（2019·上海市江寧學(xué)校）已知，求的平方根。3．（2019·上海七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足求｜－1|＋｜＋1｜的值．4．（2019·上?？亟袑W(xué)附屬民辦學(xué)校七年級(jí)單元測(cè)試）若實(shí)數(shù)使得與互為相反數(shù),求的四次方根.5．（2019·上海市進(jìn)才中學(xué)北校七年級(jí)月考）已知：,求的值。6．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)期中）已知，，求的平方根．7．（2019·上海浦東新區(qū)·七年級(jí)