第09講直線的方程（十大題型）（原卷版）

第09講直線的方程【題型歸納目錄】題型一：點(diǎn)斜式直線方程題型二：斜截式直線方程題型三：兩點(diǎn)式直線方程題型四：截距式直線方程題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式題型六：直線的一般式方程題型七：直線方程的綜合應(yīng)用題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程方程由直線上一定點(diǎn)及其斜率決定，我們把叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡(jiǎn)稱點(diǎn)斜式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、點(diǎn)斜式方程是由直線上一點(diǎn)和斜率確定的，點(diǎn)斜式的前提是直線的斜率存在．點(diǎn)斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線方程為；3、當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，直線沒有斜率，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．這時(shí)直線方程為：．4、表示直線去掉一個(gè)點(diǎn)；表示一條直線．知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實(shí)數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點(diǎn)的點(diǎn)斜式方程得到；3、當(dāng)時(shí)，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)三：直線的兩點(diǎn)式方程經(jīng)過兩點(diǎn)（其中）的直線方程為，稱這個(gè)方程為直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、這個(gè)方程由直線上兩點(diǎn)確定；2、當(dāng)直線沒有斜率（）或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4、在應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點(diǎn)式的整式形式．知識(shí)點(diǎn)四：直線的截距式方程若直線與軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為，其中，則過AB兩點(diǎn)的直線方程為，這個(gè)方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線以及不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線．2、求直線在坐標(biāo)軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識(shí)點(diǎn)五：直線方程幾種表達(dá)方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因?yàn)樾苯厥街恍枰獌蓚€(gè)獨(dú)立變數(shù)，而點(diǎn)斜式需要三個(gè)獨(dú)立變數(shù)．在求直線方程時(shí)，要根據(jù)給出的條件采用適當(dāng)?shù)男问剑话愕?，已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線，通常采用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積或周長(zhǎng)，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識(shí)點(diǎn)六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個(gè)方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程．知識(shí)點(diǎn)七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點(diǎn)一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識(shí)點(diǎn)詮釋：在直線方程的各種形式中，點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點(diǎn)式是點(diǎn)斜式的特例，其限制條件更多，應(yīng)用時(shí)若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點(diǎn)式的特例，在使用截距式時(shí)，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式?；癁樾苯厥脚c截距式．若一般式化為點(diǎn)斜式，兩點(diǎn)式，由于取點(diǎn)不同，得到的方程也不同．知識(shí)點(diǎn)八：直線方程的綜合應(yīng)用1、已知所求曲線是直線時(shí)，用待定系數(shù)法求．2、據(jù)題目所給條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對(duì)于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．【典例例題】題型一：點(diǎn)斜式直線方程例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線的方程是，則（）A．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 B．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1C．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為-1 D．直線經(jīng)過點(diǎn)，斜率為1例2．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）過兩點(diǎn)的直線方程為()A． B．C． D．例3．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）過點(diǎn)且傾斜角為150°的直線l的方程為（

）A． B．C． D．例4．（2023·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．例5．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為（

）A． B．C． D．題型二：斜截式直線方程例6．（2023·高二課前預(yù)習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程：(1)斜率是，在軸上的截距是；(2)傾斜角為，在軸上的截距是；(3)傾斜角為，在軸上的截距是．例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：（1）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；（2）傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3．例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下列直線的斜截式方程.（1）斜率是，在y軸上的截距是；（2）斜率是，在y軸上的截距是4．題型三：兩點(diǎn)式直線方程例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線分別經(jīng)過下面兩點(diǎn)，用兩點(diǎn)式方程求直線的方程：(1)A(3,1),B(2,－3)；(2)A(2,1),B(0,－3)；(3)A(0,5),B(4,0).例10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在中，已知點(diǎn)，，．求邊上中線所在直線的兩點(diǎn)式方程．例11．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程.（1），；

（2），．題型四：截距式直線方程例12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）.求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件求直線的截距式方程，并畫出圖形.（1）在x軸、y軸上的截距分別是2，3；（2）在x軸、y軸上的截距分別是，6．題型五：中點(diǎn)坐標(biāo)公式例14．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┲本€過點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為__________.例15．（2023·高二單元測(cè)試）直線被直線和所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為______．例16．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為___________.例17．（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，線段PQ的中點(diǎn)為，則直線PQ的方程為______.題型六：直線的一般式方程例18．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤?，且，則經(jīng)過的直線的一般方程為_________例19．（2023·貴州遵義·高二習(xí)水縣第五中學(xué)校聯(lián)考期末）傾斜角為，且過點(diǎn)的直線的方程為__________.例20．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀┲本€l過點(diǎn)，若l的斜率為3，則直線l的一般式方程為______．例21．（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)?？计谀┻^點(diǎn)的直線方程（一般式）為_____．例22．（2023·陜西·高二?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則BC邊上的中線AE所在直線的一般方程為______．例23．（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期中）寫出過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程__________.題型七：直線方程的綜合應(yīng)用例24．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)直線方程的系數(shù)A，B，C滿足什么條件時(shí)，該直線分別具有以下性質(zhì)？(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)；(2)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(3)只與x軸相交；(4)是x軸所在直線；(5)設(shè)為直線上一點(diǎn)，證明：這條直線的方程可以寫成．例25．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．(1)求BC邊上的高所在直線的方程；(2)求AB邊的垂直平分線所在直線的方程．例26．（2023·四川遂寧·高二?？计谥校┮阎?，，，.求：(1)邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程.(2)中平行于邊的中位線所在直線的一般式方程.例27．（2023·湖北襄陽(yáng)·高二襄陽(yáng)四中?？奸_學(xué)考試）在中，已知點(diǎn)，，．(1)求BC邊上中線的方程．(2)若某一直線過B點(diǎn)，且x軸上截距是y軸上截距的2倍，求該直線的一般式方程．例28．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┮阎捻旤c(diǎn)，，.(1)求過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程；(2)求角的角平分線所在直線的一般式方程.例29．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）在中，已知頂點(diǎn)，，．(1)求AB邊上中線的方程：(2)求過點(diǎn)B，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程．題型八：判斷動(dòng)直線所過定點(diǎn)例30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過定點(diǎn)_____.例31．（2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎本€，當(dāng)變化時(shí)，直線總是經(jīng)過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為______.例32．（2023·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）無論取何值，直線恒過定點(diǎn)__________．例33．（2023·福建·高二福建師大附中校考開學(xué)考試）直線恒過定點(diǎn)________.例34．（2023·湖南郴州·高二?？计谥校o論為何值，直線必過定點(diǎn)坐標(biāo)為______題型九：直線與坐標(biāo)軸形成三角形問題例35．（2023·浙江紹興·高二諸暨中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，分別求滿足下列條件的直線方程：(1)時(shí)，求直線l的方程．(2)當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線l的方程．例36．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線l的方程為(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.例37．（2023·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線的方程為，根據(jù)下列條件分別確定的值：(1)直線的斜率為；(2)直線與兩坐標(biāo)軸在第二象限圍成的三角形面積為.例38．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．例39．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州市外國(guó)語高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎本€.(1)若直線不能過第三象限，求的取值范圍；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．例40．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，且與兩坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積為8，求直線l的點(diǎn)斜式方程.例41．（2023·上海·高二專題練習(xí)）已知直線l過定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若的面積為4，求直線l的方程；(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．題型十：直線方程的實(shí)際應(yīng)用例42．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）如圖所示，某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，一條河所在的直線方程為，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮(zhèn)的管道最短，問供水站P應(yīng)建在什么地方?

【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線和互相垂直且都過點(diǎn)，若過原點(diǎn)，則與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)，且與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為的直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線的直線方程為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）設(shè)、是軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（

）A． B．C． D．8．（2023·陜西·高二校考階段練習(xí)）已知直線過定點(diǎn)P，若點(diǎn)P在直線上，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2023·廣東廣州·高二廣州市培正中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．若直線斜率為，則它的傾斜角為B．若，，則直線的傾斜角為C．若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)D．若直線的斜率為，則這條直線必過與兩點(diǎn)10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是()A．y=-x+5 B．y=x+5C．y= D．y=-11．（2023·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．12．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（

）A．邊BC與直線平行B．邊BC上的高所在的直線的方程為C．過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D．過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)三、填空題13．（2023·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┙?jīng)過點(diǎn)，并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l為______．14．（2023·上海浦