二次函數(shù)在學科內的綜合應用

雙休創(chuàng)新練(四)方法技巧訓練3二次函數(shù)在學科內的綜合應用第22章

二次函數(shù)1231．(中考?大連)如圖，拋物線y＝x2－3x＋

與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E.(1)求直線BC的解析式；1應用二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合解：∵拋物線y＝x2－3x＋

與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，∴令y＝0，得x＝

或x＝

，∴A(，0)，B(，0)；令x＝0，得y＝

，∴C(0，).∴直線BC的解析式為y＝－

x＋.則有解得設直線BC的解析式為y＝kx＋b，(2)當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．設點D的坐標為(m，m2－3m＋)，∴點E的坐標為(m，－

m＋)，設DE的長度為d.∵點D是直線BC下方拋物線上一點，∴d＝－

m＋

－(m2－3m＋)，整理得d＝－m2＋

m.∴當m＝

時，d取得最大值，此時點D的坐標為(，－).返回2．已知關于x的二次函數(shù)y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值時，該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的個數(shù)；2類型二次函數(shù)與一元二次方程的綜合解：(1)令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即－16m－15＞0，∴m＜－

，此時二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即－16m－15＝0，∴m＝－

，此時二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點；當Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根，即－16m－15＜0，∴m＞－

，此時二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點．(2)設該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點分別為A(x1，0)，B(x2，0)，且x21＋x22＝5，與y軸的交點為C，它的頂點為M，求直線CM對應的函數(shù)解析式．由一元二次方程根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.∵x21＋x22＝5，∴2m2－10m－7＝5.∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，∴m＜－

，∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.令x＝0，得y＝2，∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點C的坐標為(0，2)．又∵y＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－14，∴頂點M的坐標為(－

，－).設過點C(0，2)與M(－

，－)的直線對應的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，∴直線CM對應的函數(shù)解析式為y＝

x＋2.則解得返回3．(中考?綿陽)如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋a(a≠0)與y軸相交于A點，頂點為M，直線y＝

x－a分別與x3類型二次函數(shù)與一元二次方程的綜合軸、y軸相交于B，C兩點，且與直線MA相交于N點．(1)若直線BC和拋物線有兩個不同的交點，求a的取值范圍，并用a表示點M，A的坐標．解：由題意聯(lián)立整理得整理得2x2＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.∵a≠0，∴a＞－

且a≠0.在y＝－x2－2x＋a中，令x＝0,得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．(2)將△NAC沿著y軸翻折，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積．設直線MA對應的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將點A(0，a)，M(－1，1＋a)的坐標分別代入得解得故直線MA對應的函數(shù)解析式為y＝－x＋a.聯(lián)立解得∴N(，－

).由于P點是N點關于y軸的對稱點，因此P(－

，－

)．將點P坐標代入y＝－x2－2x＋a，得－

＝－

a2＋83a＋a，解得a＝

或a＝0(舍去)．∴A(0，)，C(0，－)，M(－1，)，∴AC＝.∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝

AC?|xP|－12AC?|xD|＝××(3－1)＝.返回(3)在拋物線y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在點Q，使得以Q，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．①當點Q1在y軸左側時，由四邊形AQ1CN為平行四邊形，得AC與Q1N互相平分，則點Q1與點N關于原點(0，0)對稱，而而N(

，－

)，A(0，a)，C(0，－a)，故Q2(，－).將點Q2的坐標代入y＝－x2－2x＋a，得－