機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變換矩陣及其運(yùn)算

機(jī)器人的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)齊次變換矩陣及其運(yùn)算第1頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月齊次變換矩陣及其運(yùn)算由于各種原因，變換矩陣應(yīng)寫成方型形式，3*3或4*4均可.為保證所表示的矩陣為方陣，如果在同一矩陣中既表示姿態(tài)又表示位置，那么可在矩陣中加入比例因子使之成為4*4矩陣。第2頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月變換可定義為空間的一個運(yùn)動。已知一直角坐標(biāo)系中的某點(diǎn)坐標(biāo)，那么該點(diǎn)在另一直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可通過齊次坐標(biāo)變換來求得。變換可分為如下形式：純平移純旋轉(zhuǎn)平移與旋轉(zhuǎn)的結(jié)合第3頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月1.平移的齊次變換空間某一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即

a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a

平移算子第4頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月①算子左乘:表示點(diǎn)的平移是相對固定坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。②算子右乘:表示點(diǎn)的平移是相對動坐標(biāo)系進(jìn)行的坐標(biāo)變換。③該公式亦適用于坐標(biāo)系的平移變換、物體的平移變換,如機(jī)器人手部的平移變換。第5頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月例動坐標(biāo)系{A}相對于固定坐標(biāo)系的X0、Y0、Z0軸作(-1,2,2)平移后到{A’}；動坐標(biāo)系{A}相對于自身坐標(biāo)系(即動系)的X、Y、Z軸分別作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A,寫出坐標(biāo)系{A’}、{A’’}第6頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月2．旋轉(zhuǎn)的齊次變換點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)如圖所示。A(x,y,z)繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ角后至A’(x’,y’,z’),則A與A’之間的關(guān)系為：記為:a′=Rot(z,θ)a

旋轉(zhuǎn)算子第7頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，繞x軸、Y軸旋轉(zhuǎn)算子內(nèi)容為：繞Z軸旋轉(zhuǎn)算子內(nèi)容為：第8頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示單操作手臂，并且手腕也具有一個旋轉(zhuǎn)自由度。已知手部的起始位姿矩陣為G1.若手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)90°，則手臂到達(dá)G2；若手臂不動，僅手部繞手腕Z1軸轉(zhuǎn)90°，則手部到達(dá)G3.寫出手部坐標(biāo)系G2、G3表達(dá)式。第9頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月3．復(fù)合齊次變換復(fù)合變換是由固定參考坐標(biāo)系或當(dāng)前運(yùn)動坐標(biāo)系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換。相對于固定坐標(biāo)系相對于動坐標(biāo)系算子左乘算子右乘第11頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月已知坐標(biāo)系中點(diǎn)U的位置矢量，將此點(diǎn)繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，如圖所示，求旋轉(zhuǎn)變換后所得的點(diǎn)W。第12頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月平移變換和旋轉(zhuǎn)變換可以組合在一個齊次變換中。上例中點(diǎn)U若還要作4i-3j+7k的平移，則只要左乘上平移變換算子即可得到最后的列陣表達(dá)式。第13頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月

齊次變換矩陣的數(shù)學(xué)意義：

（1）同一點(diǎn)在不同坐標(biāo)系{B}和{A}中的變換；（2）描述坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}的位置和方位；（3）點(diǎn)的運(yùn)動算子。第15頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月4．變換矩陣相乘對于給定的坐標(biāo)系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相對｛A｝的描述為，｛C｝相對｛B｝的描述為，則。從而定義復(fù)合變換表示｛C｝相對于｛A｝的描述，是兩變換矩陣的乘積。注意：變換矩陣相乘不滿足“交換律”，變換矩陣的左乘和右乘的運(yùn)動解釋不同。第16頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)合變換可解釋為：(1)和分別代表同一坐標(biāo)系{C}相對于{A}和{B}的描述。則表示坐標(biāo)系{C}從映射為的變換。

(2)坐標(biāo)系{C}相對于{A}的描述是這樣得到的：最初{C}與{A}重合，首先相對于{A}作運(yùn)動，到達(dá){B},然后相對{B}作運(yùn)動，到達(dá)最終位置{C}。第17頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月5.變換矩陣求逆如果知道坐標(biāo)系｛B｝相對于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相對于｛B｝的描述，這是個齊次變換求逆問題。對4*4矩陣直接求逆；利用齊次變換矩陣的特點(diǎn)，簡化矩陣求逆運(yùn)算。求逆問題可以描述為：已知，求解。利用旋轉(zhuǎn)矩陣正交性利用復(fù)合變換公式(2.13),求出在{B}中描述。第18頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月下面我們寫出變換矩陣的一般表達(dá)形式

nxoxaxpxnyoyaypyT=nzozazpz0001式中n,o,a

是旋轉(zhuǎn)變換列向量，p

是平移向量，其逆是

nxnynz-p.noxoyoz-p.oT-1=axay

az-p.a

0001式中的“.”表示向量的點(diǎn)積。第20頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月計算T矩陣的逆矩陣。-0.5第21頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月6變換方程為了描述機(jī)器人的操作，必須建立機(jī)器人本身各連桿之間，機(jī)器人與周圍環(huán)境之間的運(yùn)算關(guān)系。為此要規(guī)定各種坐標(biāo)系來描述機(jī)器人與環(huán)境的相對位姿關(guān)系。{B}代表基座坐標(biāo)系；{W}代表腕部坐標(biāo)系；{T}代表工具坐標(biāo)系；{S}代表工作站坐標(biāo)系；{G}代表目標(biāo)坐標(biāo)系；它們之間的位姿關(guān)系用相應(yīng)的齊次變換來描述。描述工作站坐標(biāo)系相對于基座的位姿；描述目標(biāo)坐標(biāo)系相對于{S}的位姿；描述腕部{W}相對于基座{B}的位姿；………………第22頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月對物體進(jìn)行操作時，工具坐標(biāo)系{T}相對于目標(biāo)坐標(biāo)系{G}的位姿直接影響操作效果。它是機(jī)器人控制和規(guī)劃的目標(biāo)。 實(shí)際上，它與其他變換之間的關(guān)系類似于空間尺寸鏈，則是封閉環(huán)。如圖所示，工具坐標(biāo)系{T}相對于基座坐標(biāo)系{B}的描述可用兩種變換矩陣的乘積來表示：令上面兩式相等，則得變換方程第23頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月 變換方程中的任一變換矩陣都可用其余的變換矩陣來表示。例如，為了對目標(biāo)物進(jìn)行有效操作，工具坐標(biāo)系{T}相對于目標(biāo)坐標(biāo)系{G}的位姿是預(yù)先規(guī)定的，需要改變以達(dá)到這一目的，即通常規(guī)定，求。根據(jù)變換方程，可以立即求出第24頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月旋轉(zhuǎn)變換通式令是過原點(diǎn)的單位矢量，求繞k旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣R(k,θ)。問題描述：令即R(k,θ)表示坐標(biāo)系{B}相對于參考系{A}的方位。

坐標(biāo)系{B}由坐標(biāo)系{A}繞軸旋轉(zhuǎn)角得到。k{A}第25頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月xAyAzAxByBzB旋轉(zhuǎn)變換通式再定義兩坐標(biāo)系{A’}和{B’}，分別與{A}和{B}固接，但要求(1){A’}和{B’}的z軸與k重合。(2)旋轉(zhuǎn)之前{A’}和{B’}重合，{A}和{B}也重合。第26頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月又因為所以可以得到：坐標(biāo)系{B}繞k軸相對于{A}旋轉(zhuǎn)θ角相當(dāng)于：坐標(biāo)系{B’}相對于{A’}的z軸旋轉(zhuǎn)θ角，保持其他關(guān)系不變。則xAyAzAxByBzB坐標(biāo)系{A}經(jīng)過如下變換到坐標(biāo)系{B}:第27頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月把上式右端三矩陣相乘，并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì)：第28頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月①該式為一般旋轉(zhuǎn)齊次變換通式，概括了繞X、Y、Z軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換的情況。反之，當(dāng)給出某個旋轉(zhuǎn)齊次變換矩陣，則可求得k及轉(zhuǎn)角θ。②變換算子公式不僅適用于點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也適用于矢量、坐標(biāo)系、物體的旋轉(zhuǎn)。③左乘是相對固定坐標(biāo)系的變換；右乘是相對動坐標(biāo)系的變換。當(dāng)kx=1，ky=kz=0時…………當(dāng)ky=1，kx=kz=0時…………當(dāng)kz=1，kx=ky=0時…………第29頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月反之，若給出某個旋轉(zhuǎn)齊次矩陣則可根據(jù)求出其等效矢量k及等效轉(zhuǎn)角θ第30頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月等效轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角

給定旋轉(zhuǎn)矩陣，求對應(yīng)的等效旋轉(zhuǎn)軸和等效轉(zhuǎn)角設(shè)，令第31頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月得到：方程兩邊矩陣的非對角元素成對相減，得到：兩邊平方后相加，所以整理后得到：所以，第32頁，課件共35頁，創(chuàng)作于2023年2月所以：方程兩邊矩陣的非對角元素成對相減，整理得到：（1）多值性：和值并不唯一，一般選取。（2）病態(tài)情況：當(dāng)很小時，轉(zhuǎn)軸不能確定，需要