上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左焦點(diǎn)為F，A，B，C為其三個(gè)頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D，則tan∠BDC的值等于（

）A．3

B．

C．－

D．－3

參考答案：答案：D

『提示』：tan∠BDC=－tan(∠ABC+∠FCB).

2.已知命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是(

)A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）參考答案：D【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【分析】先判斷命題p和命題q的真假，命題p為真命題，命題q為假命題，再由真值表對(duì)照答案逐一檢驗(yàn)．【解答】解：不難判斷命題p為真命題，命題q為假命題，從而?p為假命題，?q為真命題，所以A、B、C均為假命題，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合命題的真值判斷，屬基本題．3.如圖，已知線段上有一動(dòng)點(diǎn)（異于）,線段,且滿足（是大于且不等于的常數(shù)），則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為（）A．圓的一部分

B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分

D．拋物線的一部分參考答案：B以線段AB所在的直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(x,y)是運(yùn)動(dòng)軌跡上任一點(diǎn)，且，則，所以，，所以，即，即且，所以點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓的一部分，故選B．點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程的求解問(wèn)題，對(duì)于求軌跡方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系；(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類(lèi)型，求曲線方程．(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)代入(相關(guān)點(diǎn))法：動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)的變化而運(yùn)動(dòng)，常利用代入法求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程．

4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若8a2+a5=0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是（） A． B． C． D． 參考答案：D略5.若集合，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.若x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A.－2 B.1 C.－7 D.－3參考答案：C【分析】畫(huà)出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值為.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最小值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知集合，集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D因?yàn)?，?故選D.8.函數(shù)的圖象大致為（

）

A

B

C

D參考答案：D9.（2016秋?天津期中）如圖，空間四邊形OABC中，=，=，=，點(diǎn)M在線段OA上，且OM=2MA，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則=（）A．﹣++ B．﹣+ C．+﹣ D．+﹣參考答案：A【考點(diǎn)】空間向量的加減法．【專(zhuān)題】空間向量及應(yīng)用．【分析】由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來(lái)，即可得到答案，選出正確選項(xiàng)．【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了用向量表示幾何的量，向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來(lái)，本題是向量的基礎(chǔ)題．10.函數(shù)的圖像如右圖所示，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖像，只需將的圖像上的所有的點(diǎn)（A）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變（B）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變（C）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變（D）向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變參考答案：A

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤4，y>0，x－y2≥0}，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率是

．參考答案：略12.（幾何證明選講）如圖，半徑為2的⊙D中，∠AOB=90°，D為OB的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙D于點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為

。參考答案：13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為.參考答案：｜AF｜+｜BF｜=yA++yB+=4×yA+yB=p，因?yàn)閍2y2－2pb2y+a2b2=0，yA+yB==pa=b漸近線方程為14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=__________.參考答案：

解：

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

的通項(xiàng)公式為

說(shuō)明：此題易忽略的情況。應(yīng)滿足條件。15.各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，且，若，參考答案：略16.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．參考答案：考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).17.由命題“存在，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

曲線C的參數(shù)方程為

?（α為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ＝2cosθ與極軸交于O，D兩點(diǎn)．

（Ⅰ）分別寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)D的極坐標(biāo)；

（Ⅱ）射線l：θ＝β(ρ＞0，0＜β＜π)與曲線C1，C2分別交于點(diǎn)A，B，已知△ABD的面積為，求β.參考答案：（Ⅰ）;;（Ⅱ）或.試題分析：（Ⅰ）先將曲線的參數(shù)方程消參化為普通方程,再根據(jù)公式將其化為極坐標(biāo)方程.在極軸上,故,將其代入極坐標(biāo)方程可求得,故可得的極坐標(biāo).（Ⅱ）不妨設(shè),根據(jù)極坐標(biāo)的概念可知,點(diǎn)到直線的距離等于,根據(jù)三角形面積公式可求得其面積,根據(jù)面積值可求得.試題解析：解：（Ⅰ）曲線的普通方程為，將其化為極坐標(biāo)方程為．在曲線的極坐標(biāo)方程中，令，得其極坐標(biāo)為． …4分（Ⅱ）不妨設(shè)，則，由的面積，解得或． …10分考點(diǎn)：1參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,普通方程間的互化;2三角形面積.19.如圖是一“T”型水渠的平面視圖（俯視圖），水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4m，東西向渠寬（從拐角處，即圖中A，B處開(kāi)始）．假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置（即無(wú)高度差）．（1）在水平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點(diǎn)，且與水渠的一邊的夾角為，將線段PQ的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；（2）若從南面漂來(lái)一根長(zhǎng)為7m的筆直的竹竿（粗細(xì)不計(jì)），竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問(wèn)：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠（不會(huì)卡住）？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型．【分析】（1）求出PA，QA，即可將線段PQ的長(zhǎng)度l表示為θ的函數(shù)；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意，，，所以l=PA+QA，即（）．…（2）設(shè)，．由，…令f'（θ）=0，得．

…且當(dāng)θ∈（0，θ0），f'（θ）＜0；當(dāng)，f'（θ）＞0，所以，f（θ）在（0，θ0）上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)θ=θ0時(shí)，f（θ）取得極小值，即為最小值．…當(dāng)時(shí)，，，所以f（θ）的最小值為，…即這根竹竿能通過(guò)拐角處的長(zhǎng)度的最大值為m．因?yàn)?，所以這根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠．…20.已知,0<β<α<π.（1）若，求證：；（2）設(shè)，若，求的值。參考答案：解：（1）|－|2＝2，即(－)2=2-2·+2=2.又因?yàn)?=2=||2=||2=1,所以2-2·=2,即·=0,故⊥.（2）因?yàn)?(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以，由此得cosα=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sinα+sinβ=1得,sinα=sinβ=,而α>β,所以，α＝，β＝．

略21.（08年全國(guó)卷2理）（本小題滿分10分）在△ABC中，，.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若△ABC的面積,求BC的長(zhǎng).參考答案：解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故，又，故，．所以．22.幾何證明選講 如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點(diǎn)，過(guò)C的直線交直線AB于E，交過(guò)A點(diǎn)的切線于D，BC∥OD.(Ⅰ)求證：DE是圓O的切線；(Ⅱ)如果AD=AB=2，求EB.參考答案：(Ⅰ)證：連AC，AB是直徑，則BC⊥AC由