力學(xué)大會2015集有限體積梯度重構(gòu)方法討論與改進

*，+，松*（大連理工大學(xué)工程力學(xué)系，遼寧大連+（大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，遼寧大連二空結(jié)計強優(yōu)量證穩(wěn)斂對結(jié)進針對進算性題限器法析果現(xiàn)各梯重方的點并了能改方法本還介種積結(jié)顯該較流在流義。引格自適應(yīng)，因此在CFD(ComputationalFluid法以及將各種方法統(tǒng)一在一個框架內(nèi)的CPR(CorrectionProcedureviaontrution)方法等[1]上方法在非結(jié)構(gòu)格的高階精度(高于二階精度)格式研結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的高階精度格式仍然存在計穩(wěn)場變階空間精度有限體積法仍然是工程問題FD模擬類方法也是本文討論的對為簡積為二階空間精度的有限體積法。為了提高流場變量梯度重構(gòu)在不同網(wǎng)格類型中或網(wǎng)格質(zhì)量較差等情況下的計算精度或穩(wěn)給出了多種計算方法或計諾數(shù)邊界層流動激波流場自適應(yīng)網(wǎng)格計算等條件下常見的大長寬比(各向異性)/擾動重構(gòu)仍然具有性即使在無粘流動計算中梯度重構(gòu)精度的下降也會導(dǎo)致對流項求還會出現(xiàn)計算發(fā)散[8]為針對導(dǎo)致流場變量梯度重構(gòu)精度下降的幾種典型情形進行討論導(dǎo)致誤紹了一種改進的梯度重構(gòu)方法。本文第一節(jié)給出了有限體積法的基本空間導(dǎo)致精度下降的幾種原因進討論了可能的改進策略第三節(jié)介紹了一種基于格點最小二乘的格心型有限體積法梯度重構(gòu)方法并指出其改進的依據(jù)第四節(jié)給出了文獻方法與本文介紹的改進方法的算例其中包括給定函數(shù)分布的梯度重構(gòu)計算與NA002翼型亞聲速無粘繞流的計算結(jié)節(jié)總結(jié)了本文的得到的主要結(jié)論。 F(Q)ndS 式中是積是積分域邊Fc是對Q是流動方程的守恒變n N(Q)i(Fc,knkSkk式中Sk為面元k的面積。面元k上的對流通量Fc,k可以通過

1[F(QL)F(QR)|A|(QRQL 2 i, i, i, i,i,式中的面元左、右側(cè)變i,

、、i,

QLQ?Q(xxi, i, QRQ?Q(xxi, i, 式中Q為單元梯度，?為限制器值[10]xij為單元i、j共享面元的面心坐標(biāo)xi、xj為 (b)NA-GG方法模精度下降。為了解決這一問題，法是采用擴展單元模板，即選取與待求單元共點量。另法是先計算格點值(Node-離反比平均(Weighted-Averaging，WA)[14]一類的方法計算精度較低，而PL- (a)測試網(wǎng) (b)格點值計算誤圖2NA方法誤由于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的網(wǎng)格尺度大小不一致因此通常采用距離以便在重構(gòu)計中引入網(wǎng)格度的影響小二乘方法實施的距離對彎曲邊界大長寬比網(wǎng)格上的重構(gòu)計算精度有利[3]時也使計算穩(wěn)[15]介紹了幾何單調(diào)性的概念解釋了梯度重構(gòu)方法所導(dǎo)致的變量重構(gòu)非單調(diào)極值問題其結(jié)果表明最小二乘方法無法保持單調(diào)該文給出單調(diào)性條件如下式：qijqiCijqijj

Cmaxmax(Cij) 獻[15]，在一定的網(wǎng)格條件下，即使是均勻流場的變量重構(gòu)仍然可能該單調(diào)性大長寬比非正交網(wǎng)格的最小二乘計對于最小二乘方法實施后單調(diào)性能的下降，下面以WLSQ(1)(Weighted圖3受擾動模板單C分別為(x,C

(0,0)，(x,

(L,0)，(x,

(s,H)，(x,

L0)和(xCC

(0,HCC令LH，而Hs，則網(wǎng)格具有較大的長寬比。C2在x方向有一個小的擾動 ωq ATAXATB

CC

CCH2H2

與C2之間的變量變化將導(dǎo)致x方向梯度的顯著變化，進而使單調(diào)性往往。而在到，矩陣(ATA)1AT決定了重構(gòu)方法是否滿足單調(diào)性。顯然，距離對矩陣中各個元素信息相互影響是不可能的。而不進行，將導(dǎo)致遠(yuǎn)、近模板的作用無法區(qū)分，從而影權(quán)最小二乘計算過程可以看出，在進行后，距離較遠(yuǎn)的模板可以認(rèn)為已經(jīng)被消去，需要注意擴展模板將增加重構(gòu)計算量，特別是三維非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上計算量的增加更為明顯。而在大長寬比網(wǎng)格上采用距離后，由于模板距離相差較大，遠(yuǎn)處的模板仍可能被消去考慮這兩個問題下一節(jié)中介紹的依據(jù)格點最小二乘的梯度重構(gòu)算法在計的變量分布進行展開，鄰接單元i格心的變量分布可以描述為：QiQaQa(xixa

Q ω(xx ω(yy ωQ 1a Qa 1a

x

x) ( y

N(a N(a N(a N(a N(a aQa N(a)aN(a)y 1ωia 1

QiQaa

式中Nn為單元i的格點個數(shù)。對于四邊形或六面體網(wǎng)格單元，格點數(shù)量與單元數(shù)量單 (b)規(guī)則三角形網(wǎng) (c)隨機三角形網(wǎng)圖4測試1，分為21(橫向)×101縱向)個格點，底部第一層網(wǎng)格高度為7.2572×10-在以上三種網(wǎng)格上進行變量梯度重構(gòu)，格心變量給定為qy2，求其格心梯度。比較 (b)規(guī)則三角形網(wǎng) (c)隨機三角形網(wǎng)圖5計算結(jié)GG在擾動三角形網(wǎng)格上出現(xiàn)第2節(jié)中提到的精度波動。本文介紹的基于格點的最算例可以用于無粘流動模擬的精度[15]。約為1000。模擬的來流數(shù)為0.3，迎角為0，LU- (b)對稱三角形網(wǎng) (c)非對稱三角形網(wǎng) (b)對稱三角形網(wǎng) (c)非對稱三角形網(wǎng)圖7NACA0012翼型繞流計算收斂曲表2網(wǎng)格類--- 由于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上重構(gòu)計算的模板正交性天然，對流場重構(gòu)的計算精度造成增加計算模板的方法雖然較為有效，但是計算量較大。各種基于單元的最小二乘方法存在由于導(dǎo)致的重構(gòu)模板損失或信息失真，引起了所謂的幾何單調(diào)性問題，本文介紹的一種基于格點的最小二乘梯度重構(gòu)方法，稱之為NWLSQ方法。該方法在最小二乘計算中保持了足夠的模板單元數(shù)量，并且其系數(shù)不易存在量級的差異，在計算量與計算精度上的取得了較好的平衡。算例結(jié)果顯示，采用距離反比本文的工作表明，盡管各向異性非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格上的流場重構(gòu)存在較多的，但是通1，賀立新，，等.基于非結(jié)構(gòu)/混合網(wǎng)格的高階精度格式研究進展.力學(xué)進展HaselbacherA,BlazekJ.AccurateandefficientdiscretizationofNavier-Stokesequationsonmixedgrids.AIAAJournal,2000,38(11):2094-2102MavriplisDJ.Revisitingtheleast-squaresprocedureforgradientreconstructiononunstructuredmeshes.AIAAPaper2003-3986,2003BarthTJ,JespersenDC.Thedesignandapplicationofupwindschemesonunstructuredmeshes.AIAAPaper89-0366,DiskinB,ThomasJ.Accuracyofgradientreconstructionongridswithhighaspectratio.NIAReportNo.2008-12,DiskinB,ThomasJL,NielsenEJ,etal.Comparisonofnode-centeredandcell-centeredunstructuredfinite-volumediscretizations:viscousfluxes.AIAAJournal,2010,48(7):1326-1338DiskinB,ThomasJL.Comparisonofnode-centeredandcell-centeredunstructuredfinitevolumediscretizations:inviscidfluxes.AIAAJournal,2011,49(4):836-854KitamuraK,ShimaE.Simpleandparameter-secondslopelimiterforunstructuredgridaerodynamicsimulations.AIAAJournal,2012,50(6):1415-1426Roe,PL.ApproximateRiemannsolvers,parametervectors,anddifferenceschemes.JournalofComputationalPhysics,1981,43(2):357-372VenkatakrishnanV.ConvergencetosteadystatesolutionsoftheEulerequationsonunstructuredgridswithlimiters.JournalofComputationalPhysics,1995,118(1):120-130HolmesDG,ConnellSD.Solutionofthe2DNavier-Stokesequationsonunstructuredadaptivegrids.AIAAPaper89-1932,RauschRD,BatinaJT,YangHTY.SpatialadaptationofunstructuredmeshesforunsteadyaerodynamicflowAIAAJournal,1992,30(5):1243-FrinkNT.Recentprogresstowardathree-dimensionalunstructuredNavier-Stokessolver.AIAAPaper94-0061,FrinkNT,ParikhP,PirzadehS.AfastupwindsolverfortheEulerequationsonthree-dimensionalunstructuredmeshes.AIAAPaper91-0102,1992ShimaE,KitamuraK,HagaT.Hybridgradi