數(shù)學建模專題三MonteCarlo模擬課件

數(shù)學建模專題三MonteCarlo模擬幻燈片本課件PPT僅供大家學習使用學習完請自行刪除，謝謝！本課件PPT僅供大家學習使用學習完請自行刪除，謝謝！內(nèi)容提綱1.引言2.MonteCarlo模擬根本思想3.隨機數(shù)生成函數(shù)4.應用實例舉例5.排隊論模擬6.MonteCarlo模擬求解規(guī)劃問題引言(Introduction)MonteCarlo方法：蒙特卡羅方法，又稱隨機模擬方法，屬于計算數(shù)學的一個分支，它是在上世紀四十年代中期為了適應當時原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的。亦稱統(tǒng)計模擬方法，statisticalsimulationmethod利用隨機數(shù)進行數(shù)值模擬的方法MonteCarlo名字的由來：MonteCarlo是摩納哥（monaco)的首都，該城以賭博聞名NicholasMetropolis(1915-1999)Monte-Carlo,Monaco二十世紀四十年代中期，由于科學技術的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。但其基本思想并非新穎，人們在生產(chǎn)實踐和科學試驗中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。一個簡單實例MonteCarlo方法的根本思想舉例Buffon投針實驗1768年，法國數(shù)學家ComtedeBuffon利用投針實驗估計的值dLSolutionThepositioningoftheneedlerelativetonearbylinescanbedescribedwitharandomvectorwhichhascomponents:Therandomvectorisuniformlydistributedontheregion[0,d)×[0,).Accordingly,ithasprobabilitydensityfunction1/d.Theprobabilitythattheneedlewillcrossoneofthelinesisgivenbytheintegral例1.蒲豐投針問題利用關系式：求出π值其中Ｎ為投計次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問題。一些人進展了實驗，其結果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的實驗值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929根本思想由上面的例子可以看出，當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學期望，或者是與之有關的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，再通過它得到問題的解。這就是蒙特卡羅方法的根本思想。蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。直到電子計算機出現(xiàn)后，使得人們可以通過電子計算機來模擬巨大數(shù)目的隨機試驗過程，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應用，在現(xiàn)代化的科學技術中發(fā)揮應有的作用。例1在我方某前沿防守地域，敵人以一個炮排（含兩門火炮）為單位對我方進行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對其陣地進行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點．經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標的指示有50％是準確的，而我方火力單位，在指示正確時，有1/3的射擊效果能毀傷敵人一門火炮，有1/6的射擊效果能全部毀傷敵人火炮．現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對敵人實施的20次打擊結果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值。分析：這是一個概率問題，可以通過理論計算得到相應的概率和期望值.但這樣只能給出作戰(zhàn)行動的最終靜態(tài)結果，而顯示不出作戰(zhàn)行動的動態(tài)過程.為了能顯示我方20次射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。舉例需要模擬出以下兩件事：

[2]當指示正確時，我方火力單位的射擊結果情況[1]觀察所對目標的指示正確與否模擬試驗有兩種結果，每一種結果出現(xiàn)的概率都是1/2．因此，可用投擲一枚硬幣的方式予以確定，當硬幣出現(xiàn)正面時為指示正確，反之為不正確．模擬試驗有三種結果：毀傷一門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)．這時可用投擲骰子的方法來確定：如果出現(xiàn)的是１、２、３三個點：則認為沒能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是４、５點：則認為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是６點：則認為毀傷敵人兩門火炮．問題分析i：要模擬的打擊次數(shù)；k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)；k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)；E：有效射擊比率；E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火炮數(shù)．符號說明模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i＜20?E=(k2+k3)/20E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56模擬結果理論計算結果比較

雖然模擬結果與理論計算不完全一致，但它卻能更加真實地表達實際戰(zhàn)斗動態(tài)過程．用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設計一個邏輯框圖，即模擬模型．[2]根據(jù)流程圖編寫程序，模擬隨機現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機數(shù)來模擬隨機現(xiàn)象．[3]分析模擬結果，計算所需要結果.注：rand(n)=rand(n,n)Matlab中的隨機數(shù)生成函數(shù)randperm(m)生成一個由1:m

組成的隨機排列randn(m,n)生成一個滿足正態(tài)m

n

的隨機矩陣rand(m,n)

生成一個滿足均勻分布的m

n

隨機矩陣，矩陣的每個元素都在(0,1)

之間。perms(1:n)生成由1:n

組成的全排列，共n!

個name

的取值可以是'norm'or'Normal''unif'or'Uniform''poiss'or'Poisson''beta'or'Beta''exp'or'Exponential''gam'or'Gamma''geo'or'Geometric''unid'or'DiscreteUniform'......random('name',A1,A2,A3,M,N)Matlab中的隨機數(shù)生成函數(shù)fix(x):

截尾取整，直接將小數(shù)部分舍去floor(x):

不超過x

的最大整數(shù)ceil(x):

不小于x

的最小整數(shù)round(x):

四舍五入取整Matlab中的取整函數(shù)

隨機投擲均勻硬幣，驗證國徽朝上與朝下的概率是否都是1/2

n=10000;%給定試驗次數(shù)m=0;fori=1:nx=randperm(2)-1;y=x(1);ify==0%0表示國徽朝上，1表示國徽朝下m=m+1;endendfprintf('國徽朝上的頻率為：%f\n',m/n);小實例一：投擲硬幣隨機投擲骰子，驗證各點出現(xiàn)的概率是否為1/6

n=10000;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;m6=0;fori=1:nx=randperm(6);y=x(1);switchycase1,m1=m1+1;case2,m2=m2+1;case3,m3=m3+1;case4,m4=m4+1;case5,m5=m5+1;otherwise,m6=m6+1;endend...%

輸出結果小實例二：投擲骰子

用蒙特卡羅(MonteCarlo)投點法計算

的值n=100000;a=2;m=0;fori=1:nx=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if(x^2+y^2<=(a/2)^2)m=m+1;endendfprintf('計算出來的pi為：%f\n',4*m/n);小實例三：蒙特卡羅投點法

在畫有許多間距為d

的等距平行線的白紙上，隨機投擲一根長為l(l

d)的均勻直針，求針與平行線相交的概率，并計算的值小實例四：蒲豐投針實驗n=100000;l=0.5;d=1;m=0;fori=1:nalpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;ify<=l/2*sin(alpha)m=m+1;endendfprintf('針與平行線相交的頻率為：%f\n',m/n);fprintf('計算出來的pi為：%f\n’,2*n*l/(m*d));小實例四源程序

設某班有m

個學生，則該班至少有兩人同一天生日的概率是多少？小實例五：生日問題解：設一年為365天，且某一個學生的生日出現(xiàn)在一年中的每一天都是等可能的，則班上任意兩個學生的生日都不相同的概率為：所以，至少有兩個學生同一天生日的概率為：n=1000;p=0;m=50;%設該班的人數(shù)為50fort=1:na=[];q=0;fork=1:mb=randperm(365);a=[a,b(1)];endc=unique(a);iflength(a)~=length(c)p=p+1;endendfprintf(‘至少兩人同一天生日的概率為：%f\n',p/n);試驗五源程序clear;m=50;p1=1:365;p2=[1:365-m,365*ones(1,m)];p=p1./p2;p=1-prod(p);fprintf('至少兩人同一天生日的概率為：%f\n',p);小實例五的理論值計算排隊問題隨機模擬排隊論主要研究隨機服務系統(tǒng)的工作過程。在排隊系統(tǒng)中，服務對象的到達時間和服務時間都是隨機的。排隊論通過對隨機服務現(xiàn)象的統(tǒng)計研究，找出反映這些隨機現(xiàn)象平均特性的規(guī)律指標，如排隊的長度、等待的時間及服務利用率。[1]系統(tǒng)的假設：（1）顧客源是無窮的；（2）排隊的長度沒有限制；（3）到達系統(tǒng)的顧客按先后順序依次進入服務，“先到先服務”。在某商店有一個售貨員，顧客陸續(xù)來到，售貨員逐個地接待顧客．當?shù)絹淼念櫩洼^多時，一部分顧客便須排隊等待，被接待后的顧客便離開商店．設：

1．顧客到來間隔時間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布．２．對顧客的服務時間服從［４，１５］上的均勻分布．３．排隊按先到先服務規(guī)則，隊長無限制．假定一個工作日為8小時，時間以分鐘為單位。[1]模擬一個工作日內(nèi)完成服務的個數(shù)及顧客平均等待時間t．[2]模擬100個工作日，求出平均每日完成服務的個數(shù)及每日顧客的平均等待時間。單服務員的排隊模型模擬w：總等待時間；ci：第i個顧客的到達時刻；bi：第i個顧客開始服務時刻；ei：第i個顧客服務結束時刻；xi：第i-1個顧客與第i個顧客之間到達的間隔時間；yi：對第i個顧客的服務時間。符號說明c1b1c3c4c5c2e1b2e2b3e3b4e4b5ci=ci-1+xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)t思路分析初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時間隨機數(shù)xi~參數(shù)為0.1的指數(shù)分布ci=xi,bi=xi

產(chǎn)生服務時間隨機數(shù)yi~[4,15]的均勻分布ei=bi+yi累計等待時間：w=w+bi-ci準備下一次服務：i=i+1產(chǎn)生間隔時間隨機數(shù)xi~參數(shù)為0.1的指數(shù)分布ci=ci-1+xi

確定開始服務時間：bi=max(ci,ei-1)bi＞480?YNi=i-1,t=w/i輸出結果：完成服務個數(shù)：m=i

平均等待時間：t停止[1]模擬一日ToMatlab(simu1)[2]模擬100日ToMatlab(simu2)流程框圖用蒙特卡洛法解非線性規(guī)劃問題基本假設試驗點的第j個分量xj服從[aj,bj]內(nèi)的均勻分布．符號假設求解過程先產(chǎn)生一個隨機數(shù)作為初始試驗點,以后則將上一個試驗點的第j個分量隨機產(chǎn)生，其它分量不變而產(chǎn)生一新的試驗點．這樣，每產(chǎn)生一個新試驗點只需一個新的隨機數(shù)分量．當K>MAXK或P>MAXP時停止迭代．框圖初始化:給定MAXK,MAXP;k=0,p=0,Q:大整數(shù)xj=aj+R(bj-aj)j=1,2,…,nj=0j=j+1,p=p+1P>MAXP?YNxj=aj+R(bj-aj)gi(X)≥0?i=1,2…nYNj<n?f(X)≥Q?YNX*=X,Q=f(X)k=k+1k>MAXK?Y