高中數(shù)學(xué)-不等式及其性質(zhì)（1）教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

《不等式及其性質(zhì)（1）》教學(xué)設(shè)計--

一、教材分析本節(jié)課是新人教B版高中數(shù)學(xué)必修1第二章《等式與不等式》第二節(jié)《不等式及其性質(zhì)》第一課時的內(nèi)容，該小節(jié)共兩課時。本節(jié)將在初中學(xué)習(xí)的不等式的三條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納整理不等式的其他性質(zhì)，這是進一步學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，而不等式性質(zhì)的探究過程則采取類比的方法，在學(xué)生已經(jīng)掌握等式基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，類比等式的基本性質(zhì)，通過考察“運算中的不變性”而獲得不等式的基本性質(zhì)的過程，使學(xué)生經(jīng)歷大膽猜想，舉例分析，反例驗證，邏輯證明的過程，積極參與不等式性質(zhì)的探究過程，從而提升學(xué)生的直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，具備一定的抽象概括、類比推理、歸納猜想的能力，這些成為本節(jié)知識學(xué)習(xí)的生長點，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的時候可能會對不等式性質(zhì)中的約束條件理解不夠透徹，出現(xiàn)濫用性質(zhì)的情況。因此在教學(xué)中應(yīng)該多給學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題串，引導(dǎo)學(xué)生觀察，思考，總結(jié)，使他們理解不等式性質(zhì)中的約束條件的本質(zhì)從而正確而靈活的應(yīng)用不等式的性質(zhì)。三、教學(xué)目標(biāo)(1)通過對不等式定義的學(xué)習(xí)，進一步加強對“≥”“≤”兩個不等號的理解；經(jīng)歷大膽猜想，舉例分析，反例驗證，邏輯證明的過程，理解不等式的基本性質(zhì)，從而提升學(xué)生的直觀想象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；通過對不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，能夠正確掌握不等式的性質(zhì)，并能靈活運用；四、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：探索不等式的基本性質(zhì).教學(xué)難點：基本性質(zhì)的研究內(nèi)容(運算中的不變性)和方法(類比等式的基本性質(zhì))的概括.教學(xué)方法本節(jié)課采用的是問題驅(qū)動、啟發(fā)探究、類比歸納、大膽猜想、小心求證的教學(xué)方法。通過小組合作、互動探究、分化難點的學(xué)習(xí)指導(dǎo)方法，把問題逐步推進、拾級而上，并輔以多媒體教學(xué)手段，使學(xué)生自主探究不等式的基本性質(zhì)。六、教學(xué)過程情境教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境、引出課題40右圖是限速40km/h的路標(biāo)，指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，40引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。2、引出不等式的定義，從而引入課題；列出不等式.1、讓學(xué)生感受到不等關(guān)系在我們生活中無處不在著；2、從實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.探究一：不等式的定義探究一：不等式的定義1、不等式的定義：含有下述不等號的式子，稱為不等式.“≠”“>”“<”“≥”“≤”2、不等式中自然語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換.（1）“≠”?（2）“>”?（3）“<”?（4）“≥”?（5）“≤”?【思考1】情境與問題中不等式“v≤40”的含義是什么？【思考2】不等式“v≤40”成立的條件是什么嗎？【總結(jié)】（1）a≥b?a＞b或a=b；a≤b?a＜b或a=b有一個條件成立，不等式a≥b(a≤b)就成立；學(xué)生總結(jié)出“≥”“≤”對應(yīng)的自然語言，以及a≥b與a≤b成立的條件；使學(xué)生能夠正確的將自然語言與符號語言進行轉(zhuǎn)換，尤其注意“≥”“≤”兩個符號；從問題情景入手，通過2個思考問題使學(xué)生能夠正確掌握不等式a≥b，a≤b成立的條件；探究二：性質(zhì)1-3的證明及推論1探究二：不等式的性質(zhì)比較大小【思考3】數(shù)軸上如何比較兩個實數(shù)a,b大?。俊舅伎?】從代數(shù)運算的角度，如何比較兩個實數(shù)a,b大小？【總結(jié)】比較兩個實數(shù)a,b大小的方法？2、初中學(xué)過不等式的性質(zhì)：(1)若a＞b,則a+c＞b+c;(2)若a＞b,c>0,則ac＞bc;(3)若a＞b,c<0,則ac<bc;【試一試1】試給出不等式性質(zhì)的證明【思考5】試總結(jié)作差法比較大小的步驟？【試一試2】用“>”,“<”填空．若a＜b,則a-cb-c；若a＜b,則--；【判斷命題是否正確】若a+b>c，則a>c-b（）學(xué)生通過思考很容易總結(jié)出比較兩個實數(shù)a,b大小的方法師生合作，師用數(shù)軸法證明性質(zhì)1，同桌兩人，左邊同學(xué)證明性質(zhì)2，右邊同學(xué)證明性質(zhì)3，學(xué)生演板，并由學(xué)生總結(jié)出作差法比較大小的步驟生總結(jié)如何將減法和除法時應(yīng)轉(zhuǎn)化為加法與減法生利用性質(zhì)1判斷，或是用作差法，并總結(jié)判斷命題真假的方法。體現(xiàn)出來數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，也為后面不等式性質(zhì)的證明做鋪墊；1、此環(huán)節(jié)體現(xiàn)了初高中知識的銜接，并且通過師生合作的方式還能活躍課堂氣氛2、從運算法則和符號上強調(diào)3條性質(zhì)的特點。通過試一試2使學(xué)生明白當(dāng)遇到減法和除法時應(yīng)轉(zhuǎn)化為加法與減法1、得出推論12、學(xué)會利用已學(xué)的知識解決問題。探究三：類比等式，得到性質(zhì)4、5【思考6】等式有哪些性質(zhì)？觀察等式性質(zhì)1-2與不等式性質(zhì)1-3，它們的異同點是什么？等式的性質(zhì)1、若a=b,則a+c=b+c;2、若a=b，c≠0,則ac=bc;3、傳遞性：若a=b,b=c,則a=c;4、對稱性：若a=b,則b=a;【思考7】通過類比等式的性質(zhì)請大膽猜想不等式的性質(zhì)？【試一試3】先舉例驗證，然后再給出證明生總結(jié)異同，并大膽猜想，舉例驗證。1、從等式的性質(zhì)出發(fā)，通過類比進而猜想出不等式的性質(zhì)。2、教師指出靠直觀想象與特例驗證得到的結(jié)論不一定全面、正確，猜想出來的結(jié)論必須進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。在教師引領(lǐng)下，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性，提升直觀想象與邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。探究四：繼續(xù)類比，得到推論2,3【思考8】前面我們在不等式兩邊加、乘了相同的數(shù)，那在不等式兩邊加、乘不同的數(shù)，是否也具有保持不等號不變或改變的特性？學(xué)生小組活動，探究并證明。對于同向同號可乘性的猜想中，通過舉反例得出限制條件。推論2的證明學(xué)生一般會采取作差法，教師給學(xué)生講解另外一種證明方法--綜合法；3、教師引導(dǎo)學(xué)生若遇到減法或除法的運算，應(yīng)轉(zhuǎn)化為加法或乘法運算?！舅伎?】當(dāng)不滿足同向或同正的條件時怎么辦？1.合作探究，猜想不等式兩邊加、乘不同的數(shù)的性質(zhì)，展示猜想結(jié)果。小組合作，展示，互評。2、體會在證明過程中有多種方法，擇優(yōu)選擇，并注意證明技巧。1、鼓勵學(xué)生猜想，讓學(xué)生掌握“猜想”的重要學(xué)習(xí)方法。2、通過舉反例對學(xué)生錯誤的猜想做分析，對正確的猜想進行證明，讓學(xué)生有成功的體驗，突破本節(jié)課重難點。3、繼續(xù)深化“類比”思想，通過對加或乘相同與不同的數(shù)之間的類比，不斷的提升教學(xué)效果。4、對于推論2的證明有兩種方法，引導(dǎo)學(xué)生體會在性質(zhì)的證明過程中可以使用多種方法。若作差后較難變形，則使用不等式的性質(zhì)或綜合法進行證明。課堂小結(jié)、深化思考課堂小結(jié)1、本節(jié)課你學(xué)到了什么？知識：方法：素養(yǎng)：從知識上、方法上以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)上總結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)的成就感，體會知識的系統(tǒng)美、結(jié)構(gòu)美。課后作業(yè)1、梳理不等式的八條性質(zhì)，總結(jié)思想方法。2、證明下列不等式（1），，求證：（2）已知c>a>b>0，求證ac-a3、本節(jié)課的性質(zhì)中的箭頭可不可逆？培養(yǎng)學(xué)生課后反思的習(xí)慣。檢測學(xué)生當(dāng)堂學(xué)習(xí)效果，為教師提供準(zhǔn)確的反饋，為學(xué)生提供更準(zhǔn)確的個性化輔導(dǎo).《不等式及其性質(zhì)（1）》學(xué)情分析--

（一）知識儲備：1、已掌握等式的基本性質(zhì)，會求解一元二次方程，及方程組。2、初中已學(xué)習(xí)過不等式的三條基本性質(zhì)，但沒有進行嚴(yán)密的邏輯證明。（二）能力儲備：1、具備“通過觀察、操作、抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會。2、有一定的抽象概括和類比推理歸納以及數(shù)形結(jié)合的能力．（三）不足：本節(jié)課主要是通過類比等式的性質(zhì)大膽猜想出不等式的性質(zhì)，通過舉例分析，反例驗證，繼而給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，學(xué)生缺少對數(shù)據(jù)的分析能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?，本?jié)課對學(xué)生的直觀想象與邏輯推理能力要求很高?！恫坏仁郊捌湫再|(zhì)（1）》效果分析--

本節(jié)課制定了三個學(xué)習(xí)目標(biāo)，從課后練習(xí)反饋來看，學(xué)生能夠掌握本節(jié)課所學(xué)知識，學(xué)習(xí)目標(biāo)基本達成，學(xué)習(xí)效果較好。在第一個環(huán)節(jié)情境與問題中，以生活中的交通標(biāo)志引入，激起學(xué)生的探索欲望，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；在第二個環(huán)節(jié)不等式的定義中，從情境與問題中的v≤40入手，學(xué)生很快就能總結(jié)出≥，≤兩個符號對應(yīng)的自然語言，以及a≥b與a≤b成立的條件，學(xué)生完成效果較好；在不等式性質(zhì)1-3探究環(huán)節(jié)，由于初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)過性質(zhì)1-3，為體現(xiàn)出初高中知識的銜接所以直接給出，繼而讓學(xué)生探究其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，在思考問題3、4的指引下學(xué)生很容易得到證明方法，并結(jié)合自己的證明過程自然的總結(jié)出作差法的步驟，同時為后面的證明規(guī)范了步驟，學(xué)生完成效果也很好；不等式性質(zhì)推論1的生成，是通過一個判斷題得出的，本節(jié)課并沒有花費很長時間去生成與證明，由于它實際上是性質(zhì)1的一個運用，考慮到時間的原因一筆帶過，有等式中的移項法則，學(xué)生接受起來也不費勁，從學(xué)生接受情況來看，效果也很好；在不等式性質(zhì)4-5探究環(huán)節(jié)，學(xué)生通過觀察等式1-2的性質(zhì)與不等式1-3的性質(zhì)，在老師的鼓勵下，很容易得到性質(zhì)4、5的猜想，從上課情況來看該環(huán)節(jié)生成的也很自然順暢。教師指出靠直觀想象與特例驗證得到的結(jié)論不一定全面、正確，猜想出來的結(jié)論必須進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。只是在性質(zhì)4的證明時部分同學(xué)步驟寫的有些亂，也有部分同學(xué)沒有得到a-c=(a-b)+(b-c)的巧妙變形，上課之前已經(jīng)預(yù)想到這種情況，所以在這里設(shè)計通過學(xué)生講解完成該證明，從上課效果來看學(xué)生都能掌握；6、在不等式性質(zhì)推論2-3探究環(huán)節(jié)，此環(huán)節(jié)是教學(xué)的難點，教師通過問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考、分析、合作、探究，從而突破難點。上課前預(yù)想到推論2的證明學(xué)生一般會采取作差法，故設(shè)計的利用綜合法證明由老師完成，從推論3的證明可以看出，學(xué)生基本掌握綜合法證明不等式；7、本節(jié)課的重點就是能夠準(zhǔn)確掌握不等式性質(zhì)成立的條件，不能胡亂捏造性質(zhì)，也不可放大或縮小不等式性質(zhì)成立的條件，從課后練習(xí)反饋情況來看，大部分同學(xué)都能準(zhǔn)確掌握并運用?！恫坏仁郊捌湫再|(zhì)（1）》教材分析--

本節(jié)課是新人教B版高中數(shù)學(xué)必修1第二章《等式與不等式》第二節(jié)《不等式及其性質(zhì)》第一課時的內(nèi)容，該小節(jié)共兩課時。本章中不等式是第二部分知識,本部分內(nèi)容包括不等式的性質(zhì)、比較大小的方法、簡單不等式證明方法(綜法、反證法、分析法)、絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法、簡單分式不等式解法、均值不等式及其應(yīng)用。

不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是進行數(shù)學(xué)研究、解決許多實際問題的重要工具。不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容有密切的聯(lián)系,討論方程或方程組的解集情況,研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最大值、最小值等,都要經(jīng)常用到不等式的知識。在解決各類實際問題時,不等式的地位也是舉足輕重的。本章把不等式與等式緊密聯(lián)系在一起,在第三章函數(shù)中,又進一步研究了函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系,揭示了這三者之間的聯(lián)系,加強了數(shù)學(xué)和認(rèn)知的整體性。原教材中,不等式是在必修5中單獨成章的,這里與等式合并成章,作為后續(xù)學(xué)習(xí)的預(yù)備知識,能更好地引導(dǎo)學(xué)生進行類比,認(rèn)識等式與不等式、方程與不等式的異同,更有利于學(xué)生建構(gòu)相對完整的知識體系。

教材在不等式部分的編寫特色主要有:

(1)由實際生活情境引入不等關(guān)系,使學(xué)生感受現(xiàn)實生活中不等關(guān)系存在的普遍性,激發(fā)學(xué)生的求知欲；

(2)充分利用數(shù)形結(jié)合的方法引入新知,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,由具體到抽象,由已知到未知,重視讓學(xué)生體驗知識發(fā)生發(fā)展的過程；

(3)通過求解簡單含參數(shù)的方程、求解不等式使學(xué)生逐漸體會、掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想方法；(4)通過類比(由等式到不等式)、轉(zhuǎn)化(分式到整式、多元到一元)使學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題。

教材從實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)延伸到點的變化引起數(shù)的大小變化,進而得出了比較大小的原則。由具體到抽象的探索過程能培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這符合課標(biāo)中“初中階段數(shù)學(xué)相對具體,高中階段數(shù)學(xué)相對抽象。教師應(yīng)針對這一特征幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡”的要求。

與原教材不同的是,按照課標(biāo)的要求,這里刪減了二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題此外,教材結(jié)合比較大小及不等式的證明增加了作差法、綜合法、反證法、分析法的內(nèi)容,增加了絕對值不等式,教材還結(jié)合絕對值不等式介紹了數(shù)軸上兩點之間的距離公式和中點坐標(biāo)公式,為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。

課時素養(yǎng)評價不等式的性質(zhì)（1）出題人：1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2. ()(2)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種. ()(3)若a>b，則ac>bc一定成立．()(4)若a>b，則ac2>bc2. ()(5)若a+c>b+d，則a>b，c>d. ()2.下列命題正確的是（）A、若ac>bc,則a>b; B、若a<b，c<d,則a-c<b-d;C、若a>b，則a2>b2;D、若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；3．如果a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a(chǎn)＋d＞b＋c D．a(chǎn)c＞bd4.用“>”“<”“≥”“≤”或“=”填空（1）已知x<1，則x2+23x；思考：去掉x<1的范圍呢？（2）若A=1x2+3與B=1x+2,則A（3）若a>b，c<d，則a-cb-d；（4）已知a>b,c>d,e>0,則a+ceb+de;（5）已知，，，；請給出第4題（3）、（4）、（5）小題的證明；《不等式及其性質(zhì)（1）》課后反思--好的方面：1、拉普拉斯說：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比”，波利亞也說：“類比是一個偉大的引路人”，類比思想對于科學(xué)發(fā)展和社會進步有重要作用。本節(jié)課從類比思想的視角把課堂活動內(nèi)化為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實過程，通過學(xué)生自主探究，類比等式的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生猜想不等式的性質(zhì)并證明，最大化地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，深化了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。2、教師始終是課堂的參與者、引領(lǐng)者，鼓勵學(xué)生大膽猜想，主動思考，收獲知識，讓學(xué)生自己提出問題，分析問題，解決問題。3、合理使用教材，不拘泥于教材，激活課堂，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，體會成功的喜悅。適度設(shè)置障礙，錘煉意志品質(zhì)。4、本節(jié)課將數(shù)學(xué)中的三大基本關(guān)系：等量關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系有機結(jié)合，相互滲透，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實處。不足的方面及改進措施：1、在學(xué)生展示自己的證明或解答過程中只關(guān)注到部分學(xué)生，對學(xué)困生的關(guān)注不夠。以后教學(xué)中應(yīng)加強學(xué)生自我講評的廣泛度，讓不同程度的學(xué)生都能有所發(fā)展。2、“類比”和“猜想”作為非常重要的學(xué)習(xí)方法，今后教學(xué)中應(yīng)努力滲透，改變以往的不等式性質(zhì)教學(xué)形式單一、枯燥乏味、效果不夠理想的狀況，使不等式性質(zhì)的教學(xué)走上學(xué)與用緊密結(jié)合的新路?！恫坏仁郊捌湫再|(zhì)（1）》課標(biāo)分析