2022-2023學年遼寧省沈陽市于洪區(qū)八年級（下）期末數(shù)學試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列圖形是中心對稱圖形的是()

A.B.C.D.

2.多項式各項的公因式是()

A.B.C.D.

3.下列各式中，正確的是()

A.B.C.D.

4.在平行四邊形中，，則()

A.B.C.D.

5.分式方程的根是()

A.B.C.D.

6.一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個多邊形是()

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形

7.如圖，直線：與直線：相交于點，則關(guān)于的不等式的解集()

A.

B.

C.

D.

8.把多項式因式分解成，則的值為()

A.B.C.D.

9.如圖，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，連接若，，則()

A.

B.

C.

D.無法確定

10.如圖，和是菱形的對角線，若再補充一個條件能使其成為正方形，下列條件：；；；其中符合要求的是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.若，則______填“”或“”或“”

12.分解因式：______．

13.若，且，則分式的值為______．

14.如圖，在四邊形中，點，，，分別是，，，的中點，若，則四邊形的周長是______．

15.已知等腰中，，是邊上一點，連接，若和都是等腰三角形，則的度數(shù)是_______

16.如圖，在中，，，將繞點旋轉(zhuǎn)，當點的對應(yīng)點落在邊上時，點的對應(yīng)點恰好與點，在同一直線上，則此時點到的距離是______．

三、解答題（本大題共9小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

請你說明：當為自然數(shù)時，能被整除．

18.本小題分

解不等式組：，并把它的解集表示在數(shù)軸上．

19.本小題分

先化簡，再求值：，其中為滿足的整數(shù)．

20.本小題分

為營造讀書好，好讀書的氛圍，某校決定從網(wǎng)店購買甲、乙兩種圖書以供學生課外閱讀已知甲、乙兩種圖書的單價分別是元和元若該校準備購買甲、乙兩種圖書共本，且購買圖書的總費用不超過元，那么甲種圖書最多能買多少本？

21.本小題分

林涵同學設(shè)計了“過直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程．

已知：如圖，直線及直線外一點．

求作：直線的垂線，使它經(jīng)過點．

作法：如圖

任取一點，使點與點在直線的兩側(cè)；

以點為圓心，以的長為半徑作弧，交直線于，兩點；

連接和；

作的角平分線，交直線于點；

作直線．

直線就是所求的直線．

根據(jù)林涵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，解答下列問題：

使用直尺和圓規(guī)，補全圖保留作圖痕跡；

寫出證明過程．

22.本小題分

甲、乙兩地相距千米，乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用小時，已知高鐵列車的平均行駛速度是特快列車的倍請根據(jù)題目的相關(guān)信息，提出一個可以用分式方程求解的問題，并進行解答．

23.本小題分

在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點若邊長為的正方形四點按順時針排列在該坐標平面內(nèi)運動，并且邊所在的直線始終與軸平行，直線始終與邊交于點且同時與邊交于點運動時，點不與，兩點重合，點不與，兩點重合設(shè)點的坐標為．

如圖，邊在軸正半軸上，且時，求點的坐標；

如圖，連接，當時，請直接寫出點和點的坐標；

在的基礎(chǔ)上，當正方形左右平移時，請直接寫出的取值范圍．

24.本小題分

中，，以為邊作四邊形四點按順時針排列，，，，對角線，交于點，連接交于點．

如圖，當時：

求證：四邊形是矩形；

求證：，；

當，時，延長到點，使，連接．

若是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出的長；

若，請直接寫出的長．

25.本小題分

如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，直線過點，與軸交于點．

求直線的函數(shù)表達式；

點是直線上的一個動點．

當點在線段上，若的面積等于面積時，求點的坐標；

點是直線上一個動點，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

B.圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

C.圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

D.圖形是中心對稱圖形，符合題意．

故選：．

根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．

2.【答案】

【解析】解：，

各項的公因式是，

故選：．

根據(jù)公因式的定義進行解答即可．

本題考查公因式，理解公因式的定義，掌握公因式的計算方法是正確解答的前提．

3.【答案】

【解析】解：，故選項A錯誤，

當時，，故選項B錯誤，

，故選項C正確，

不能化簡，故選項D錯誤，

故選：．

根據(jù)各個選項中的式子可以計算出正確的結(jié)果，從而可以解答本題．

本題考查分式的基本性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是可以對各個選項中的式子進行化簡．

4.【答案】

【解析】解：四邊形是平行四邊形，

，

又，

，

又，

，

．

故選：．

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，可以求出；又因為平行四邊形的鄰角互補，可以得出，即可求出的度數(shù)．

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：

去分母得：，

去括號得：，

移項得：，

合并同類項得：，

系數(shù)化為得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，

原方程的解為，

故選：．

按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為的步驟解方程，然后檢驗即可得到答案．

本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步驟，注意解分式方程最后一定要檢驗是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是，根據(jù)題意得，

，

解得：，

這個多邊形為六邊形．

故選：．

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可．

本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：點代入，

，

，

結(jié)合圖象可知關(guān)于的不等式的解集為；

故選：．

將點代入，求出點的坐標，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得關(guān)于的不等式的解集．

本題考查一次函數(shù)的交點于一元一次不等式；將一元一次不等式的解轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：多項式可因式分解成，

，

，，

解得，．

故選：．

根據(jù)題意可知，根據(jù)等式列出關(guān)于和的方程即可解答．

本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系．

9.【答案】

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，

為等邊三角形，

．

故選：．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，據(jù)此得為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出的長．

此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，等腰邊三角形的判定及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換，找準旋轉(zhuǎn)角，理解有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形，等邊三角形的三條邊都相等，三個角都等于．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)對角線和交于點，

四邊形為菱形，

，，，，

對角線相等的菱形是正方形；

補充條件，可以使四邊形成為為正方形，

菱形的對角線具有，

補充條件，不能使四邊形成為為正方形，

，

，

菱形為正方形，

補充條件，可以使四邊形成為為正方形，

當時，，

又，

，

為等邊三角形，

，

補充條件，不能使四邊形成為為正方形．

綜上所述：當補充的條件時，可以使四邊形成為為正方形．

故選：．

根據(jù)對角線相等的菱形是正方形可對條件進行判斷；根據(jù)菱形的對角線互相垂直可對條件進行判斷；根據(jù)勾股定理的逆定理可對條件進行判斷；由條件可得出為等邊三角形，則，據(jù)此可對條件進行判斷．

此題主要考查了正方形與菱形之間的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是理解：對角線相等的菱形是正方形，有一個角為直角的菱形是正方形．

11.【答案】

【解析】解：，

．

故答案為：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)得出答案即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都加或減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

12.【答案】

【解析】解：．

考查了對一個多項式因式分解的能力，本題屬于基礎(chǔ)題．當一個多項式有公因式，將其分解因式時應(yīng)先提取公因式，再對余下的多項式繼續(xù)分解．此題應(yīng)先提公因式，再用完全平方公式．

本題考查因式分解．因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的倍，如果沒有兩數(shù)乘積的倍還不能分解．解答這類題時一些學生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對一些乘法公式的特點記不準確而誤選其它選項．要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

13.【答案】

【解析】

【分析】

此題主要考查了分式的值，正確將已知代入是解題關(guān)鍵．直接利用已知代入分式化簡得出答案．

【解答】

解：，且，

，

則分式．

故答案為：．

14.【答案】

【解析】解：，，，分別是，，，上的中點，，

，，，

四邊形為平行四邊形，

四邊形的周長為．

故答案為：．

利用三角形中位線定理，即可解決問題．

本題考查了三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．

15.【答案】或

【解析】解：應(yīng)分兩種情況：

，，那么和是全等三角形，可求得，那么；

，，那么，，然后用表示出的內(nèi)角和，即可求得，那么．

故填或．

和都是等腰三角形，但沒有說具體的邊相等，所以應(yīng)分情況討論．

，，那么和是全等三角形，可求得，那么；

，，那么，，然后用表示出的內(nèi)角和，即可求得，那么．

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；本題的易錯點在于判斷此題應(yīng)分情況討論，難點在于畫出圖形，得到各種情況里所求的角的關(guān)系．

16.【答案】

【解析】解：四邊形為平行四邊形，，，

，，，

，

四邊形是平行四邊形繞點旋轉(zhuǎn)而得到的，且點在上，點在直線上，

四邊形為平行四邊形，且，，，

，，，

，

，

，

過點作于，則，

在中，，，

由勾股定理得：．

，

點到的距離為．

故答案為：．

首先根據(jù)題意畫出圖形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，且，，然后證，再過點作于，則，最后在中由勾股定理求出即可．

此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換，理解等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線重合三線合一．

17.【答案】解：原式

，

則當為自然數(shù)時，能被整除．

【解析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．原式利用平方差公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷．

18.【答案】解：，

解不等式得：，

解不等式得：，

原不等式組的解集為：，

該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．

本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：

，

為滿足的整數(shù)，

或或，

，，

，，

當時，原式．

【解析】先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答．

本題考查了分式的化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：設(shè)購買甲種圖書本，則購買乙種圖書本，

根據(jù)題意得：，

解得：，

又為正整數(shù)，

的最大值為．

答：甲種圖書最多能買本．

【解析】設(shè)購買甲種圖書本，則購買乙種圖書本，利用總價單價數(shù)量，結(jié)合總價不超過元，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可求出的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：如圖，

證明：，

等腰三角形，

平分，

．

【解析】根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

根據(jù)等腰三角形的“三線合一”進行證明．

本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．

22.【答案】解：求高鐵列車的平均行駛速度是多少？

設(shè)特快列車的平均行駛速度為，則高鐵列車的平均行駛速度為，

由題意得，

解得：，

經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，

則，

答：高鐵列車的平均行駛速度為．

【解析】設(shè)特快列車的平均行駛速度為，則高鐵列車的平均行駛速度為，由題意：乘高鐵列車從甲地到乙地比乘特快列車少用，列出分式方程，解方程，即可求解．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】解：直線與軸交于點，與軸交于點，

點，點，

，，

，

，

，

，，

，

當時，，

點；

，

，

，

，

，

點，

點的縱坐標為，

點；

當點在上時，點坐標為，

此時，

當點在上時，，

．

【解析】先求出點，點，可求點坐標，即可求解；

由題意可得，由中點坐標公式可求點，即可求解；

利用特殊位置可求解．

本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．

24.【答案】證明：，，

四邊形為平行四邊形，

又，

，

平行四邊形為矩形；

由可知：四邊形為矩形，

，

在中，，，

為等邊三角形，

，

在和中，

，

≌，

，

即：為等邊的角平分線，

，；

解：．

理由如下：

由可知：四邊形為矩形，

，

即為等腰三角形，

是以為直角邊的直角三角形，

，

又點在的延長線上，

，

，，

，

，

等腰為等邊三角形，

，，

，

點，，在同一條直線上，

，，

為線段的垂直平分線，

．

．

理由如下：

過點，，分別作的垂線，垂足分別為，，，

四邊形為矩形，對角線，交于點，

，，

，，，

，

為梯形的中位線，

，，

在三角形中，，，，

，，

，

由勾股定理得：，

，

，

設(shè)，則，

，，

，

，，

，

，

在中，，，

，

由勾股定理得：，

在中，，，，

由勾股定理的：，

即：，

整理得：，

，不合題意，舍去，

．

【解析】由，可判定四邊形為平行四邊形，再根據(jù)可得出結(jié)論；

先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，進而判定為等邊三角形，然后證和全等得，據(jù)此再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；

先證為等邊三角形得，，進而可證點，，在同一條直線上，然后證為線段的垂直平分線得，據(jù)此可得出的長；

過點，，分別作的垂線，垂足分別為，，，先證為梯形的中位線，得，，再計算得，，，設(shè)，則，，，進而再求出，則，繼而可得，，則最后在中由勾股定理列出關(guān)于的方程，解方程求出即可得出的長．

此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定，全等三角形的判定方法，理解等邊三角形邊上的中線、高、頂角的平分線重合；解答的關(guān)鍵是理解在直角三角形中，的角所對的邊等于斜邊的一半；靈活運用勾股定理進行計