第五節(jié)穩(wěn)定判據(jù)

第五節(jié)穩(wěn)定判據(jù)第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

復變函數(shù)理論中的幅角原理是奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎，幅角原理用于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定還需選擇輔助函數(shù)和閉合曲線。

1、奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎

設S為復數(shù)變量，F(xiàn)(S)為S的有理分式函數(shù)。對于S平面上任意一點S，通過復變函數(shù)F(S)的映射關系，在F(S)平面上可以確定關于S的象。在S平面上任選一條閉合曲線Γ且不通過F(S)的任何零點與極點，S從閉合曲線Γ上任一一點A起，順時針沿Γ運動一周，再回到A點，那么相應F(S)平面上也從點F(A)起，到F(A)點止形成一條閉合曲線ΓF。若F(S)在S平面上指定區(qū)域內(nèi)是非奇異的，則有如圖5-39所示的映射關系。（1）、幅角原理

第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-39s平面與F(S)平面的映射關系

對于S平面內(nèi)的任意一點d，都可以通過F(S)的映射關系在F平面上找到一個相應的點d′（d′是d的像

）；對于S平面上任意一條不通過F(S)任何零點極點的閉合曲線Γ，也可以通過映射關系在F(S)平面上找到一條與它相對應的曲線ΓF。第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

設復變量S沿著閉合曲線Γ運動一周，研究F(S)相角的變化情況。

S平面上的閉合曲線Γ如圖5-40所示。復變函數(shù)F(s)右零點極點如圖所示。當閉合曲線Γ上任一點S1沿順時針方向轉(zhuǎn)動一圈時，其矢量總的相角增量第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-40映射關系第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中，P和Z分別是被閉合曲線Γ包圍的特征方程函數(shù)F

(s)的極點數(shù)和零點數(shù)。它表明，當s平面上的試驗點s1沿閉合曲線Γ順時針方向繞行一圈時，F(xiàn)(s)平面上對應的閉合曲線將按逆時針方向包圍坐標原點（P-Z）圈。

幅角原理：設S平面上不通過F(S)任何零極點的某條封閉曲線Γ，它包圍了F(S)在S平面的Z個零點和P個極點。當S以順時針方向沿封閉曲線Γ移動一周時，則在F平面上對應于封閉曲線Γ的像ΓF

將以順時針的方向圍繞原點旋轉(zhuǎn)R圈。R與Z、P的關系為：

R＜0和R＞0分別表示ΓF順時針包圍和逆時針包圍F(s)平面的原點，R＝0表示不包圍F(S)平面的原點。第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）、復變函數(shù)F(S)的選擇

如圖5-41所示結(jié)構圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

圖5-41控制系統(tǒng)結(jié)構圖則

第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月B(S)+A(S)和A(S)分別為閉環(huán)和開環(huán)的特征多項式。引入輔助函數(shù)

輔助函數(shù)也可以表示成零極點的形式

因此，我們可以看出，輔助函數(shù)具有如下特征：

1）輔助函數(shù)F(S)是閉環(huán)特征多項式與開環(huán)特征多項式之比，故其零點和極點分別為閉環(huán)極點和開環(huán)極點。

2）因為開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階次，故F(S)零點、極點的個數(shù)相同，均為n個。

第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-42F平面與GH平面的關系圖3）F(S)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)之間只差常量1。F(S)=1+G(S)H(S)的幾何意義為：F平面上的坐標原點就是GH平面上的（－1，j0）點，如圖5-42所示。

第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Nyquist軌跡及其映射

為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析聯(lián)系起來，適當選擇s平面的封閉曲線Γ。如圖5-43所示，它是由整個虛軸和半徑為∞的右半圓組成，試驗點按順時針方向移動一圈，該閉合曲線稱為Nyquist軌跡。

Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。

圖5-43

s平面上的Nyquist軌跡第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

Nyquist軌跡Γ由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動，試驗點s=jω在整個虛軸上的移動，在F

平面上的映射就是曲線F(jω)

(ω由－∞→+∞)，如圖5-44所示。

F(jω)=1+G(jω)H(jω)

Nyquist軌跡Γ的另一部分為s平面上半徑為∞的右半圓，映射到F平面上為

F(∞)=1+G(∞)H(∞)圖5-44F平面上的Nyquist曲線第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

式中，Z——位于F(s)平面右半部分的零點數(shù)，即閉環(huán)右極點個數(shù)；

P——位于F(s)平面右半部分的極點數(shù)，即開環(huán)右極點個數(shù)；

R——Nyquist曲線包圍坐標原點的次數(shù)。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點均在s平面的左半平面，即Z=0或R=P。

根據(jù)映射定理可得，s平面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(jω)(ω從－∞→＋∞)

包圍坐標原點的次數(shù)R為R=P－Z

第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例：分析下圖映射關系第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）、S平面閉合曲線Γ的選擇

系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F（S）零點的位置，因此當選擇S平面閉合曲線Γ

包圍S平面的右半部分時，Z＝0系統(tǒng)穩(wěn)定?？紤]到閉合曲線不通過F(S)任一零極點的條件，Γ可取兩種形式。見P194（4）、G(S)H(S)曲線的繪制

已知S平面閉合曲線Γ關于實軸對稱，故閉合曲線ΓGH也關于實軸對稱，因此只需畫出正虛軸部分的曲線，得GH的半閉合曲線，仍計為ΓGH。G(S)H(S)右虛軸上極點和無虛軸上極點時的特性曲線繪制方法見P195。第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月（5）、閉合曲線Γ包圍原點圈數(shù)R的計算

根據(jù)半閉合曲線ΓGH可得ΓF包圍原點的圈數(shù)R。設N為ΓGH穿越（－1，j0）點左側(cè)負實軸的次數(shù)，N＋表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），N－表示負穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則見書P－196第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

為了確定輔助函數(shù)F(S)位于右半s平面內(nèi)的所有零點、極點數(shù)，現(xiàn)將封閉曲線Γ擴展為整個右平面。曲線Γ由三段所組成：

（1）正虛軸s=jω

：頻率ω由0變到＋∞；

（2）半徑為無限大的右半圓S=Rejθ:R→∞，θ：

（3）負虛軸s=jω

：頻率ω由－∞變到0。

這種包含了整個右半s平面的閉合曲線Γ稱為Nyquist軌跡，如圖5-43所示。

第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

設0型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

在F平面上繪制與Γ相對應的像ΓF如下：當s沿虛軸變化時

式中，G(jω)H(jω)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,因而ΓF由下面幾段組成：

（1）和正虛軸對應的是頻率特性G(jω)H(jω)右移一個單位；

（2）和半徑為無窮大的右半圓相對應的輔助函數(shù)F(s)→1；

（3）和負虛軸相對應的是頻率特性對稱于實軸的鏡像。

第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-44開環(huán)頻率特性曲線與它在F平面上的對應曲線第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于包含了整個右半s平面的Nyquist路徑來說，Z和P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)，而R則存在兩種提法：（1）F平面上ΓF曲線圍繞原點的圈數(shù)；（2）GH平面上極坐標頻率特性曲線及其鏡像圍繞（－1，j0）點的圈數(shù)。

利用幅角定理判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為F(S)函數(shù)在s平面右半部的零點數(shù)Z=0即

第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

奈氏判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)在右半平面上有極點，其個數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)及其鏡像當ω從－∞變化到＋∞時，將以逆時針的方向圍繞（－1，j0）點P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像不包圍（－1，j0）點。

利用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，還可求出該系統(tǒng)在右半s平面上的極點的個數(shù)

第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-7系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

其幅頻特性圖如圖5-44左所示。試利用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

當三個參數(shù)取任何正值時，系統(tǒng)的兩個開環(huán)極點都是負實數(shù)，即S平面右半部分無開環(huán)極點，P=0。頻率特性及其鏡像組成的封閉曲線如圖5－44右所示?？梢姡敠貜模蕖迺r，閉合曲線并未包圍（－1，j0）點，故N＝0。因此閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。我們也可以利用勞斯判據(jù)進行判定。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-8設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試利用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

繪出該系統(tǒng)的極坐標頻率特性曲線如圖5-45所示。

已知

由圖知，則第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

所以按Nyquist判據(jù)判斷該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點數(shù)為2。

利用Nyquist判據(jù)我們還可以討論開環(huán)傳遞系數(shù)K對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當K值改變時，在任一頻率下將引起幅頻特性成比例地變化，而相頻特性不受影響。對圖5-45，當頻率ω＝3時，曲線與負實軸正好相交在（－2，j0）點，若傳遞系數(shù)K縮小一半，即由5.2降為2.6時，曲線恰好通過（－1，j0）點，這是臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若K值進一步縮小，當K＜2.6時，頻率特性將從（－1，j0）點的右邊穿過負實軸，整個頻率特性曲線將不再包圍（－1，j0）點，這時閉環(huán)系統(tǒng)則是穩(wěn)定的了。第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-45例5-8系統(tǒng)的極坐標圖及其鏡像第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月例5-9系統(tǒng)結(jié)構圖如圖5-46所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論K值對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖5-46解：圖示系統(tǒng)是一個開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部分有一個極點P＝1，頻率特性曲線如圖5－47所示。當ω

＝0時，曲線從負實軸（－K，j0）出發(fā)；當ω→∞時，曲線以－90°漸近角趨于坐標原點；當ω從－∞變化到＋∞，頻率特性（圖中實線部分）及其鏡像（虛線部分）包圍（－1，j0）點的圈數(shù)R與K值有關。第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖5－47繪出了K>1

和K<1的兩條閉合曲線，可見：

當K>1時，曲線逆時針包圍了（－1，j0）點1圈即R=1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當K<1時，曲線未包圍（－1，j0）點，即R=0，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。在本例中，K值大才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，K值小反而使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這是與常見的最小相位系統(tǒng)截然不同之處。第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-47K>1和K<1的頻率特性曲線第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月3、Nyquist判據(jù)在Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)中的應用

設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

為利用Nyquist判據(jù)分析Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要修改s平面上原點附近的Nyquist路徑，使它不通過s=0的開環(huán)極點又仍然能包圍整個右半s平面。方法是增補一個以原點為圓心、半徑R′為無窮小的右半圓。如圖5-48所示第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-48修改后的Nyquist路徑第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-49極坐標圖及其鏡像

例5-10設某Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖5-49所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點，試用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月解

已知P=0，由圖可知R=0，則Z＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

例5-11某Ⅱ型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點，已知其開環(huán)頻率特性如圖5-50所示。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

已知P=0，由圖知R=-2，則P≠R，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的零點數(shù)為

第31頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月圖5-50例5-11系統(tǒng)的極坐標圖及其鏡像第32頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月4、在Bode圖上判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在極坐標圖上應用奈氏判據(jù)時，（－1,j0）點是個關鍵點，開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

（－1，j0）點表示成幅角形式是而A(ω)＝1對應于對數(shù)幅頻坐標圖上L(ω)＝0的水平線；則對應于對數(shù)相頻坐標圖上－180°的水平線。其實，極坐標圖上的整個負實軸均