第八講古希臘數(shù)學(xué)

第八講古希臘數(shù)學(xué)第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月古希臘數(shù)學(xué)與哲學(xué)的交織古希臘早期的自然科學(xué)往往是與哲學(xué)交織在一起的，古希臘的自然哲學(xué)乃是古代自然科學(xué)的一種特殊形態(tài)，雖然有許多錯誤的東西，但也有不少合理的知識和包含著合理成分的猜測．恩格斯說：“在希臘哲學(xué)的多種多樣的形式中，差不多可以找到以后各種觀點(diǎn)的胚胎、萌芽．因此，如果理論自然科學(xué)想要追溯自己今天的一般原理發(fā)生和發(fā)展的歷史，它就不得不回到希臘人那里去．”

第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月古希臘數(shù)學(xué)表現(xiàn)出很強(qiáng)的理性精神，追求哲學(xué)意義上的真理．在公元前3、4百年的時候，他們的數(shù)學(xué)思想中就已經(jīng)涉及到了無限性、連續(xù)性等深刻的概念．經(jīng)過古埃及和巴比倫人長期積累數(shù)學(xué)知識的萌芽時期以后，古希臘人把數(shù)學(xué)推進(jìn)到了一個嶄新的時代．古希臘數(shù)學(xué)不僅有十分輝煌的研究成果，而且提出了數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)，建立數(shù)學(xué)理論的方法，給以后的數(shù)學(xué)發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月泰勒斯確定了幾條最早的幾何定理

等腰三角形兩底角相等

如果兩個三角形有一邊及這邊上的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等

直角彼此相等

兩條直線相交時，對頂角相等

圓的直徑平分圓周

第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月萬物皆數(shù)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界萬物都是數(shù)，最重要的數(shù)是1、2、3、4，而10則是理想的數(shù)；相應(yīng)地，自然界由點(diǎn)（一元）、線（二元）、面（三元）和立體（四元）組成。他們認(rèn)為自然界中的一切都服從于一定的比例數(shù)，天體的運(yùn)動受數(shù)學(xué)關(guān)系的支配，形成天體的和諧。

第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月理論算術(shù)（數(shù)論的雛形）

完全數(shù)、過剩數(shù)（盈數(shù)）、不足數(shù)（虧數(shù)）分別表現(xiàn)為其因數(shù)之和等于、大于、小于該數(shù)本身（規(guī)定因數(shù)包括1但不包括該數(shù)自身）。他們發(fā)現(xiàn)的前幾個完全數(shù)是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284則是一對親和數(shù)，因?yàn)榍罢叩囊驍?shù)和等于284，后者的因數(shù)和等于220。

第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月后來，在數(shù)學(xué)中尋找完全數(shù)就成為一項(xiàng)任務(wù)來研究.在前八千多正整數(shù)中只有4個完全數(shù),6、28、496、8128,第五個完全數(shù)在1538年才找到:33550336,50年后發(fā)現(xiàn)第六個完全數(shù):8589869056.2005年發(fā)現(xiàn)第42個梅審素?cái)?shù)，從而有了第42個完全數(shù)。第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何成就

使幾何學(xué)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論的關(guān)鍵性貢獻(xiàn)應(yīng)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。他們基本上建立了所有的直線形理論，包括三角形全等定理、平行線理論、三角形的內(nèi)角和定理、相似理論等。

第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月正多邊形和正多面體畢達(dá)哥拉斯學(xué)派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質(zhì)。他們發(fā)現(xiàn)，同名正多邊形覆蓋平面的情況只有三種：正三角形、正方形、正六邊形，而且這些正多邊形個數(shù)之比為6：4：3，邊數(shù)之比則為3：4：6。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的另一項(xiàng)幾何成就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中僅有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月正五邊形與五角星在五種正多面體中，除正十二面體外，每個正多面體的界面都是三角形或正方形，而正十二面體的界面則是正五邊形。正五邊形作圖與著名的“黃金分割”有關(guān)。五條對角線中每一條均以特殊的方式被對角線的交點(diǎn)分割。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是以五角星作為自己學(xué)派的標(biāo)志的。第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月勾股數(shù)畢達(dá)哥拉斯數(shù)：一般形式之一：第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條是“萬物皆數(shù)”，這里的數(shù)實(shí)際上是指正的有理數(shù)。傳說，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）發(fā)現(xiàn)了“不可公度比”的現(xiàn)象，并在一次航海時公布了他的想法，結(jié)果被恐慌的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的其他成員拋進(jìn)了大海。項(xiàng)武義教授的一項(xiàng)研究認(rèn)為，希帕蘇斯首先發(fā)現(xiàn)的是正五邊形邊長與對角線長不可公度。第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月第一次數(shù)學(xué)危機(jī)不可公度比的發(fā)現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對許多定理的證明都不能成立。

例：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底邊之比。

ABCDE第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月新比例論100多年后，歐多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例論”，才用回避的方法暫時消除了“第一次危機(jī)”。新比例定義：設(shè)A、B、C、D是任意四個量，其中A和B同類（即均為線段、角或面積），C和D同類，若對任意兩個（正）整數(shù)m和n，mA與nB的大小關(guān)系，取決于mC與nD的大小，則稱A：B=C：D。

第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月柏拉圖學(xué)園柏拉圖（Plato，公元前427-347年）是當(dāng)時最著名的希臘哲學(xué)家之一，雖然他不是數(shù)學(xué)家，但熱心于數(shù)學(xué)科學(xué)，在柏拉圖學(xué)園的門口掛著牌子：“不懂幾何者免進(jìn)”。值得注意的是，公元前四世紀(jì)的重要數(shù)學(xué)工作幾乎都是柏拉圖的朋友和學(xué)生做的。與柏拉圖學(xué)園有聯(lián)系的歐多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是這一時期最大的數(shù)學(xué)家，他在幾何學(xué)上的研究成果，后來有些收入了歐幾里得的《幾何原本》。

第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月亞里士多德亞里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉圖的學(xué)生和同事，相處達(dá)20年之久，公元前335年成立了自己的學(xué)派，以后曾是馬其頓王亞列山大的老師。他是古典希臘時期最偉大的思想家，他的一些思想在數(shù)學(xué)史上影響很大。第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月形式邏輯的建立亞里士多德不象柏拉圖那樣只崇尚思辨，而是重視觀察、分析和實(shí)驗(yàn)性的活動（如解剖）。亞里士多德是古希臘學(xué)者中最博學(xué)的人，是古代百科全書式的自然科學(xué)家，也是對近代自然科學(xué)影響最大的古代學(xué)者。他的著作甚多，在自然科學(xué)方面主要有《物理學(xué)》、《論產(chǎn)生和消滅》、《天論》、《氣象學(xué)》、《動物的歷史》、《論動物的結(jié)構(gòu)》等。

第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月形式邏輯的建立亞里士多德創(chuàng)立了以三段論為中心的形式邏輯系統(tǒng)。他認(rèn)為科學(xué)需要?dú)w納，由特殊的事例過渡到一般命題，更需要用邏輯的推理由前提演繹出它的推論。亞里士多德的邏輯學(xué)著作后來被匯編為《工具論》，對阿基米德、歐幾里得等人的研究有重要影響。古典希臘時期的希臘人已經(jīng)掌握了大量初等幾何性質(zhì)，加上亞里士多德建立了形式邏輯，這些都為形成一門獨(dú)立的初等幾何的理論科學(xué)作好了充分的準(zhǔn)備。第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月亞歷山大時期的數(shù)學(xué)從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數(shù)學(xué)的中心從雅典轉(zhuǎn)移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國一分為三后，托勒密帝國統(tǒng)治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。

托勒密一世曾經(jīng)是亞里士多德的學(xué)生，他在執(zhí)政后修建了繆斯藝術(shù)宮，這實(shí)際上是一個大博物館，收藏的圖書和手稿據(jù)說有50—70萬卷。當(dāng)時的許多著名學(xué)者都被請到亞歷山大里亞，用國家經(jīng)費(fèi)供養(yǎng)著。

第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月這一時期思辯猜測已不盛行，觀察、計(jì)算及定量分析的方法開始流行。天文學(xué)家阿利斯塔克（公元前310—230），通過對日、月、地的體積和相對距離的觀測和計(jì)算作出了日心說的猜測。他通過測量角度推算出太陽直徑比地球大六、七倍，并斷定小天體（地球等）應(yīng)圍繞大天體（太陽）旋轉(zhuǎn)。盡管他的計(jì)算很不精確，但思維方式是重要的。著名天文地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家埃拉托色尼（約公元前284—192）根據(jù)太陽在兩個地方投影角之差，計(jì)算出地球的周長是24662英里（現(xiàn)在算出的通過地球南北極的周長為24819英里），他繪制了世界地圖，并標(biāo)明了經(jīng)緯線以及寒帶、熱帶和溫帶。

第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月歐幾里得與《幾何原本》歐幾里得（約公元前330—260），應(yīng)托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。歐幾里得系統(tǒng)地整理了以往的幾何學(xué)成就，寫出了13卷《原本》，歐幾里得的工作不僅為幾何學(xué)的研究和教學(xué)提供了藍(lán)本，而且對整個自然科學(xué)的發(fā)展有深遠(yuǎn)的影響。愛因斯坦說：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個偉大的成就為基礎(chǔ)的，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及通過系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有可能找到因果關(guān)系（在文藝復(fù)興時期）?！?/p>

第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月公理化方法公理化方法：從一些基本的概念和公理出發(fā)，利用純邏輯推理的方法，把一門學(xué)科建立成演繹系統(tǒng)的方法。后來的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》等。第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月《幾何原本》的影響《幾何原本》對后來數(shù)學(xué)思想有重要影響。其一：公理化思想；其二：幾何直觀與嚴(yán)格邏輯推理的結(jié)合使歐幾里得幾何長期被認(rèn)為是最正宗的數(shù)學(xué)知識，笛卡兒在發(fā)明了解析幾何后仍堅(jiān)持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第一次公開他的微積分發(fā)明時也要對這一算法作出幾何解釋；其三：導(dǎo)致非歐幾何的誕生。

第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)過，離開亞歷山大后仍與那里的師友保持聯(lián)系，他的許多成果都是通過與亞歷山大學(xué)者的通信而保存下來的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學(xué)派的成員。阿基米德的著作很多，內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)及天文學(xué)等。

第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月“窮竭法”與“平衡法”窮竭法是安蒂豐首先使用，并被古希臘數(shù)學(xué)家普遍用來證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來嚴(yán)格證明已經(jīng)猜想出來的命題，但不能用來發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結(jié)合是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。

第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月球的體積阿基米德用“平衡法”推導(dǎo)了球體積公式。刻在阿基米德墓碑上的幾何圖形代表了他所證明的一條數(shù)學(xué)定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表面積是球面積的3/2。第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進(jìn)行比較，而后一組的總和比較容易計(jì)算。因此，“平衡法”實(shí)際上體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識到了他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴(yán)格的證明。

第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月用平衡法求球的體積球切片體積錐切片體積柱切片體積左力矩=右力矩=左力矩=4×右力矩P球錐的切片xN第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月用平衡法求球的體積將球、圓錐、圓柱均完全分割成厚度為△x的薄片，并將所有球與圓錐的薄片都掛到P點(diǎn)，圓柱薄片都留在原處。左力矩和=（球體積+錐體積）×2R

右力矩和=柱體積×R（球體積+錐體積）×2R=4×柱體積×R球體積=2×柱體積－錐體積第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月與歐幾里得相比，阿基米德可以說是一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家。在《論浮體》中論述了浮力原理、在《論平面圖形的平衡或其重心》中論述了杠桿原理。曾設(shè)計(jì)了一組復(fù)雜的滑車裝置，使敘拉古國王親手移動了一只巨大的三桅貨船，他說：“給我一個支點(diǎn)，我可以移動地球”。在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中發(fā)明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時75歲。傳說曾下令不要?dú)⑺腊⒒椎碌牧_馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。

第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亞細(xì)亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)，后到小亞細(xì)亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月《圓錐曲線論》全書共8卷，含487個命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導(dǎo)出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）?！秷A錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學(xué)的新發(fā)展要到17世紀(jì)笛卡兒等人的解析方法出現(xiàn)后才得以來臨。

第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質(zhì)的廣泛討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進(jìn)線、橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點(diǎn)數(shù)等?！秷A錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關(guān)于定點(diǎn)到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實(shí)質(zhì)上提出了圓錐曲線的法線包絡(luò)即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射影幾何學(xué)的萌芽思想。

第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月羅馬時期的數(shù)學(xué)成就海倫（Heron，前1世紀(jì)—公元1世紀(jì)）推導(dǎo)出求三角形面積的海倫公式。托勒密（Ptolemy約100—170）的地球中心學(xué)說。托勒密利用大量的觀察資料，進(jìn)行浩繁的計(jì)算，寫出八卷本的《大綜合論》，詳細(xì)論述了太陽系和宇宙以地球?yàn)橹行牡膶W(xué)說。在托勒密的地心說中，行星是繞著一種數(shù)學(xué)上的點(diǎn)（本輪中心）運(yùn)動的，而這些點(diǎn)又位于均輪上圍繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)。托勒密的地心說雖然