用二分法求方程的近似解(82)課件

3.1.2用二分法求方程的近似解2023/7/181（1）通過用“二分法”求方程的近似解,使學(xué)生體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系,初步形成應(yīng)用函數(shù)觀點(diǎn)處理問題的意識(shí)；(重點(diǎn)）（2）體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一.

（難點(diǎn)）

2023/7/182

在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？2023/7/183

如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多．每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿，10km長(zhǎng)，大約有200多根電線桿呢．想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？2023/7/184如圖,設(shè)閘房和指揮部的所在處為點(diǎn)A,B,BAC1.首先從中點(diǎn)C查2.用隨身帶的話機(jī)向兩端測(cè)試時(shí),發(fā)現(xiàn)AC段正常,斷定故障在BC段3.再到BC段中點(diǎn)D4.這次發(fā)現(xiàn)BD段正常,可見故障在CD段5.再到CD中點(diǎn)E來看，依次進(jìn)行…DE2023/7/185這樣每查一次，就可以把待查線路長(zhǎng)度縮減為原來的一半，故經(jīng)過7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小到50—100m左右，即在一兩根電線桿附近．

這在現(xiàn)實(shí)生活中也有許多重要的應(yīng)用．其思想方法在生活中解答以上這類問題時(shí)經(jīng)常碰到．解答以上這類實(shí)際問題關(guān)鍵在于，根據(jù)實(shí)際情況加以判斷和總結(jié)，巧妙取中點(diǎn)，巧妙分析和縮小故障的區(qū)間，從而以最短的時(shí)間和最小的代價(jià)達(dá)到目的．2023/7/186

假設(shè)在區(qū)間[-1,5]上，f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我們?cè)鯓右廊缟戏椒ㄇ蟮梅匠蘤(x)=0的一個(gè)解?

取[-1,5]的中點(diǎn)2，因?yàn)閒(2)>0,f(5)<0,即f(2)f(5)<0,所以在區(qū)間[2,5]內(nèi)有方程的解，于是再取[2,5]的中點(diǎn)3.5，……2023/7/187-1f(x)yxO12345如果取到某個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x0,恰好使f(x0)=0,則x0就是所求的一個(gè)解；如果區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值總不為0，那么，不斷重復(fù)上述操作，零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來越小.2023/7/188

像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.二分法的定義：定義如下：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法（bisection）.2023/7/189給定精確度,用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1.確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；2.求區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)c；3.計(jì)算（1）若，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c))；（3）若,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)).即若，則得到零點(diǎn)近似值a(或b）；4.判斷是否達(dá)到精確度：否則重復(fù)步驟2～4．2023/7/1810例1.求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)的零點(diǎn)（精確度為0.01）.解：畫出y=lnx及y=6-2x的圖象，觀察圖象得，方程lnx=6-2x有唯一解，記為x1，且這個(gè)解在區(qū)間（2，3）內(nèi)y=－2x+6y=lnx6Ox1234y2023/7/1811根所在區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0（2.53125，2.5625）f(2.5)<0f(2.5625)>0（2.5，2.5625）f(2.53125)<0f(2.5625)>0f(2.53125)<02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)>0f(2.53125)<0f(2.546875)>0（2.53125，2.5390625）f(2.546875)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0列出下表：2023/7/1812由于所以，可以將作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，也即方程的近似根.注意精確度2023/7/1813

由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可以用二分法來求方程的近似解.由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此可以通過設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算.2023/7/1814

皮肌炎是一種引起皮膚、肌肉、心、肺、腎等多臟器嚴(yán)重?fù)p害的，全身性疾病，而且不少患者同時(shí)伴有惡性腫瘤。它的1癥狀表現(xiàn)如下：1、早期皮肌炎患者，還往往伴有全身不適癥狀，如-全身肌肉酸痛，軟弱無力，上樓梯時(shí)感覺兩腿費(fèi)力；舉手梳理頭發(fā)時(shí)，舉高手臂很吃力；抬頭轉(zhuǎn)頭緩慢而費(fèi)力。皮肌炎圖片——皮肌炎的癥狀表現(xiàn)利用計(jì)算器，求方程lgx=3-x的近似解.（精確度0.1）解：畫出y=lgx及y=3-x的圖象，觀察圖象得，方程lgx=3-x有唯一解，記為x1，且這個(gè)解在區(qū)間（2，3）內(nèi).設(shè)f(x)=lgx+x-3xOyy=lgxy=3-x2023/7/1816因?yàn)閨2.625-2.5625|=0.0625<0.1，所以可以將x=2.625作為原方程的一個(gè)近似解.根所在區(qū)間區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)（2，3）f(2)<0，f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0，f(2.625)>02.5625f(2.5625)<0（2.5625，2.625）f(2.5625)<0，f(2.625)>0列出下表：2023/7/1817

用二分法求方程f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解尋找解所在區(qū)間的方法：（1）圖象法:先畫出y=f(x)的圖象，觀察圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處的范圍；或畫出y=g(x)和y=h(x)的圖象,觀察兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所處的范圍.（2）函數(shù)法:把方程均轉(zhuǎn)換為f(x)=0的形式，再利用函數(shù)y=f(x)的有關(guān)性質(zhì)（如單調(diào)性）來判斷解所在的區(qū)間.2023/7/1818例2.借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度0.1）.解：原方程即2x+3x=7，令f(x)=2x+3x-7，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)=2x+3x-7的對(duì)應(yīng)值表和圖象如下：273142754021103-2-6f(x)876543210x2023/7/1819因?yàn)閒(1)·f(2)<0，所以f(x)=2x+3x-7在（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)x0,取區(qū)間（1，2）的中點(diǎn)x1=1.5，f(1.5)≈0.33，因?yàn)閒(1)·f(1.5)<0，所以x0∈（1，1.5）2023/7/1820取區(qū)間（1，1.5）的中點(diǎn)x2=1.25,f(1.25)≈-0.87，因?yàn)閒(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375），由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1所以，原方程的近似解可取為1.4375.2023/7/1821請(qǐng)思考利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件是什么？1.函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)不斷.2.y=f(x)滿足f(a)·f(b)<0，則在(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).注意用二分法的條件2023/7/18221.用二分法求函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)（精確度0.1）.解:由題設(shè)可知：所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn).下面用二分法求函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)x0,2023/7/1823取區(qū)間(0,1)的中點(diǎn)所以近似零點(diǎn)可取為0.6875.再取區(qū)間(0.5,1)的中點(diǎn)2023/7/18242.（2012·鄭州高一檢測(cè)）下列函數(shù)的圖象與x軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是（）CxyOxyOxyOxyO（A）（B）（C）（D）2023/7/18253.(2012·撫州高一檢測(cè))某同學(xué)在借助計(jì)算器求“方程lgx=2-x的近似解（精確到0.1）”時(shí)，設(shè)f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下過程中，他用“二分法”又取了4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出判斷：方程的近似解是x=1.8.那么他所取的x的4個(gè)值中最后一個(gè)值是________.1.81252023/7/18264.對(duì)下列圖象中的函數(shù)，能否用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值？為什么？xyoxyo不