高考物理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)解析歸納

難點(diǎn)之九：帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一、難點(diǎn)突破策略（一）明確帶電粒子在磁場(chǎng)中的受力特點(diǎn)1.產(chǎn)生洛倫茲力的條件：①電荷對(duì)磁場(chǎng)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)．磁場(chǎng)對(duì)與其相對(duì)靜止的電荷不會(huì)產(chǎn)生洛倫茲力作用．②電荷的運(yùn)動(dòng)速度方向與磁場(chǎng)方向不平行．2.洛倫茲力大?。寒?dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向平行時(shí)，洛倫茲力f=0；當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向垂直時(shí)，洛倫茲力最大，f=qυB；當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場(chǎng)方向有夾角θ時(shí)，洛倫茲力f=qυB·sinθ3.洛倫茲力的方向：洛倫茲力方向用左手定則判斷4.洛倫茲力不做功．（二）明確帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律帶電粒子在只受洛倫茲力作用的條件下：1.若帶電粒子沿磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，即粒子速度方向與磁場(chǎng)方向平行，θ＝0°或180°時(shí)，帶電粒子粒子在磁場(chǎng)中以速度υ做勻速直線運(yùn)動(dòng)．2.若帶電粒子的速度方向與勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直，即θ＝90°時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中以入射速度υ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．①向心力由洛倫茲力提供：②軌道半徑公式：③周期：，可見(jiàn)T只與有關(guān)，與v、R無(wú)關(guān)。（三）充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)（尤其是幾何中的圓知識(shí)，切線、弦、相交、相切、磁場(chǎng)的圓、軌跡的圓）構(gòu)建粒子運(yùn)動(dòng)的物理學(xué)模型，歸納帶電粒子在磁場(chǎng)中的題目類型，總結(jié)得出求解此類問(wèn)題的一般方法與規(guī)律。1.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的基本型問(wèn)題（1）定圓心、定半徑、定轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角是解決這類問(wèn)題的前提。確定半徑和給定的幾何量之間的關(guān)系是解題的基礎(chǔ)，有時(shí)需要建立運(yùn)動(dòng)時(shí)間t和轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角α之間的關(guān)系（）作為輔助。圓心的確定，通常有以下兩種方法。①已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心（如圖9-1中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)）。圖9-1圖9-2圖9-3②已知入射方向和出射點(diǎn)的位置，可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心（如圖9-2,P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn)）。圖9-1圖9-2圖9-3（2）半徑的確定和計(jì)算：利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑或圓心角。并注意以下兩個(gè)重要的特點(diǎn)：①粒子速度的偏向角等于回旋角α，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角θ）的2倍，如圖9-3所示。即：圖9-11圖9-12③若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從S發(fā)射出的電子的速度為，則檔板上出現(xiàn)電子的范圍多大？圖9-11圖9-12【審題】電子從點(diǎn)S發(fā)出后必受到洛侖茲力作用而在紙面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于電子從點(diǎn)S射出的方向不同將使其受洛侖茲力方向不同，導(dǎo)致電子的軌跡不同，分析知只有從點(diǎn)S向與SO成銳角且位于SO上方發(fā)射出的電子才可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；由于粒子從同一點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射，粒子的軌跡構(gòu)成繞S點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的一動(dòng)態(tài)圓，動(dòng)態(tài)圓的每一個(gè)圓都是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，這樣可以作出打到最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的軌跡，如圖9-12所示，最低點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相切時(shí)的交點(diǎn)，最高點(diǎn)為動(dòng)態(tài)圓與MN相割，且SP2為直徑時(shí)P為最高點(diǎn)。【解析】①要使電子一定能經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，即SO為圓周的一條弦，則電子圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必滿足，由得：②要使電子從S發(fā)出后能到達(dá)檔板，則電子至少能到達(dá)檔板上的O點(diǎn)，故仍有粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑，由有：③當(dāng)從S發(fā)出的電子的速度為時(shí)，電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡半徑作出圖示的二臨界軌跡，故電子擊中檔板的范圍在P1P2間；對(duì)SP1弧由圖知對(duì)SP2弧由圖知【總結(jié)】本題利用了動(dòng)態(tài)園法尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”3.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的極值型問(wèn)題尋找產(chǎn)生極值的條件：①直徑是圓的最大弦；②同一圓中大弦對(duì)應(yīng)大的圓心角；③由軌跡確定半徑的極值。例5：圖9-13中半徑r＝10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場(chǎng)B＝0．33T垂直于紙面向內(nèi)，在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為圖9-13v=3.2×106m/s的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg，電量圖9-13q=3.2×10-19c，則α粒子通過(guò)磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t各多少？【審題】本題α粒子速率一定，所以在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑一定，由于α粒子從點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場(chǎng)位置均不同，則粒子通過(guò)磁場(chǎng)的速度偏向角θ不同，要使α粒子在運(yùn)動(dòng)中通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ最大，則必使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的弦長(zhǎng)最大，因而圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的最大弦，依此作出α粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行求解?！窘馕觥喀亮Ｗ釉趧驈?qiáng)磁場(chǎng)后作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)半徑：α粒子從點(diǎn)O入磁場(chǎng)而從點(diǎn)P出磁場(chǎng)的軌跡如圖圓O/所對(duì)應(yīng)的圓弧所示，該弧所對(duì)的圓心角即為最大偏轉(zhuǎn)角θ。由上面計(jì)算知△SO/P必為等邊三角形，故θ＝60°此過(guò)程中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由即為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間?！究偨Y(jié)】當(dāng)速度一定時(shí)，弧長(zhǎng)（或弦長(zhǎng)）越長(zhǎng)，圓周角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。例6：一質(zhì)量m、帶電q的粒子以速度V0從A點(diǎn)沿等邊三角形ABC的AB方向射入強(qiáng)度為B的垂直于紙面的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中，要使該粒子飛出磁場(chǎng)后沿BC射出，求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積?！緦忣}】由題中條件求出粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為一定，故作出粒子沿AB進(jìn)入磁場(chǎng)而從BC射出磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖中虛線圓所示，只要小的一段圓弧PQ能處于磁場(chǎng)中即能完成題中要求；故由直徑是圓的最大弦可得圓形磁場(chǎng)的最小區(qū)域必為以直線PQ為直徑的圓如圖中實(shí)線圓所示?！窘馕觥坑深}意知，圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為圖中實(shí)線所示的圓的面積。圖9-14∵△ABC為等邊三角形，故圖中α＝30°圖9-14則：故最小磁場(chǎng)區(qū)域的面積為?！究偨Y(jié)】根據(jù)軌跡確定磁場(chǎng)區(qū)域，把握住“直徑是圓中最大的弦”。4.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)”的多解型問(wèn)題抓住多解的產(chǎn)生原因：（1）帶電粒子電性不確定形成多解。（2）磁場(chǎng)方向不確定形成多解。（3）臨界狀態(tài)不唯一形成多解。（4）運(yùn)動(dòng)的重復(fù)性形成多解。例7：如圖9-15所示，第一象限范圍內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m，電量大小為q的帶電粒子在xoy平面里經(jīng)原點(diǎn)O射入磁場(chǎng)中，初速度v0與x軸夾角θ=60o，試分析計(jì)算：（1）帶電粒子從何處離開(kāi)磁場(chǎng)？穿越磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大？圖9-15圖9-16（2圖9-15圖9-16【審題】若帶電粒子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O1，粒子向x軸偏轉(zhuǎn)，并從A點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。若帶電粒子帶正電，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O2，粒子向y軸偏轉(zhuǎn)，并從B點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)。粒子速率一定，所以不論粒子帶何種電荷，其運(yùn)動(dòng)軌道半徑一定。只要確定粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，即可求解?！窘馕觥苛Ｗ舆\(yùn)動(dòng)半徑：。如圖9-16，有帶電粒子沿半徑為R的圓運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間為（1）若粒子帶負(fù)電，它將從x軸上A點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角A點(diǎn)與O點(diǎn)相距若粒子帶正電，它將從y軸上B點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角B點(diǎn)與O點(diǎn)相距（2）若粒子帶負(fù)電，它從O到A所用的時(shí)間為若粒子帶正電，它從O到B所用的時(shí)間為【總結(jié)】受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)電荷，在相同的初速度下，正負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，導(dǎo)致形成雙解。例8：一質(zhì)量為m，電量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面，且作用在負(fù)電荷的電場(chǎng)力恰好是磁場(chǎng)力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度可能是（）A.B.C.D.【審題】依題中條件“磁場(chǎng)方向垂直于它的運(yùn)動(dòng)平面”，磁場(chǎng)方向有兩種可能，且這兩種可能方向相反。在方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，由左手定則可知負(fù)電荷所受的洛侖茲力的方向也是相反的。因此分兩種情況應(yīng)用牛頓第二定律進(jìn)行求解?！窘馕觥慨?dāng)負(fù)電荷所受的洛侖茲力與電場(chǎng)力方向相同時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可知，得此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為當(dāng)負(fù)電荷所受的洛侖茲力與電場(chǎng)力方向相反時(shí)，有，得此種情況下，負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的角速度為應(yīng)選A、C?！究偨Y(jié)】本題中只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成雙解。圖9-17例9：如圖9-17甲所示，A、B為一對(duì)平行板，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板距離為d，板間區(qū)域內(nèi)充滿著勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以初速，從A、B兩板的中間，沿垂直于磁感線的方向射入磁場(chǎng)。求在什么范圍內(nèi)，粒子能從磁場(chǎng)內(nèi)射出？圖9-17【審題】粒子射入磁場(chǎng)后受到洛侖茲力的作用，將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在入射點(diǎn)的正上方。要想使粒子能射出磁場(chǎng)區(qū)，半徑r必須小于d/4（粒子將在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)半個(gè)圓周后從左方射出）或大于某個(gè)數(shù)值（粒子將在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧后從右方射出）【解析】如圖9-17乙所示，當(dāng)粒子從左邊射出時(shí)，若運(yùn)動(dòng)軌跡半徑最大，則其圓心為圖中O1點(diǎn)，半徑。因此粒子從左邊射出必須滿足。由于所以即:當(dāng)粒子從右邊射出時(shí)，若運(yùn)動(dòng)軌跡半徑最小，則其圓心為圖中O2點(diǎn)，半徑為。由幾何關(guān)系可得:因此粒子從右邊射出必須滿足的條件是，即所以當(dāng)或時(shí)，粒子可以從磁場(chǎng)內(nèi)射出?！究偨Y(jié)】本題只問(wèn)帶電粒子在洛倫茲力作用下飛出有界磁場(chǎng)時(shí)，由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀，因此，它可能穿過(guò)去了，也可能轉(zhuǎn)過(guò)180o從入射界面這邊反向飛出，于是形成多解，在解題時(shí)一定要考慮周全。例10：如圖9-18所示，在x軸上方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E，方向豎直向下。在x軸下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里。在x軸上有一點(diǎn)P，離原點(diǎn)的距離為a?，F(xiàn)有一帶電量+q的粒子，質(zhì)量為m，從y軸上某點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，要使粒子能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，其初始坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？（重力作用忽略不計(jì)）圖9-18【審題】根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，要使帶電粒子能通過(guò)P點(diǎn)，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)可能經(jīng)過(guò)的半圓個(gè)數(shù)不確定，導(dǎo)致多解?！窘馕觥浚?）粒子從y軸上由靜止釋放，在電場(chǎng)加速下進(jìn)入磁場(chǎng)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于粒子可能偏轉(zhuǎn)一個(gè)、二個(gè)……半圓到達(dá)P點(diǎn)，故①設(shè)釋放處距O的距離為y1，則有:②③由①、②、③式有【總結(jié)】帶電粒子在部分是磁場(chǎng)，部分是電場(chǎng)的空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有重復(fù)性，因而形成多解。5.帶電粒子在幾種“有界磁場(chǎng)”中的運(yùn)動(dòng)圖9-19（1）帶電粒子在環(huán)狀磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)圖9-19例11：核聚變反應(yīng)需要幾百萬(wàn)度以上的高溫，為把高溫條件下高速運(yùn)動(dòng)的離子約束在小范圍內(nèi)（否則不可能發(fā)生核反應(yīng)），通常采用磁約束的方法（托卡馬克裝置）。如圖9-19所示，環(huán)狀勻強(qiáng)磁場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為R1=0.5m，外半徑R2=1.0磁感強(qiáng)度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4×C/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算：（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度?！緦忣}】本題也屬于極值類問(wèn)題，尋求“臨界軌跡”是解題的關(guān)鍵。要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切；要使所有粒子都不穿越磁場(chǎng)，應(yīng)保證沿內(nèi)圓切線方向射出的粒子不穿越磁場(chǎng)，即運(yùn)動(dòng)軌跡與內(nèi)、外圓均相切。圖9-20r1圖9-20r1由圖中知，解得由得所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為。圖9-21O圖9-21OO2由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度【總結(jié)】帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊界“相切”往往是臨界狀態(tài)，對(duì)于解題起到關(guān)鍵性作用。（2）帶電粒子在有“圓孔”的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)ababcdSo圖22其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）【審題】帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過(guò)狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過(guò)狹縫d.只要穿過(guò)了d，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過(guò)c、b，再回到S點(diǎn)?！窘馕觥咳鐖D9-23所示，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動(dòng)能定理，有ababcdSo圖9-23設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有：由上面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過(guò)圓周，所以半徑R必定等于筒的外半