數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件

4.4數(shù)學(xué)歸納法激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥平面內(nèi)有n(n≥2)條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過(guò)同一

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立歸納遞推→以當(dāng)“n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立”為條件,

推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.微思考數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示:不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第一個(gè)值n0=3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“從k到k+1”左端增乘的代數(shù)式為

.

(1)解析:令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),則f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),答案:2(2k+1)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由①②可得對(duì)于任意的n∈N*等式都成立.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)歸納—猜想—證明

計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)

(2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)下面證明猜想正確:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

分析:按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明,由n=k到n=k+1的推證過(guò)程可應(yīng)用放縮技巧,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)和(2)可知,命題對(duì)所有的n∈N*都成立.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N*時(shí)均成立.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵點(diǎn)(1)先湊假設(shè),作等價(jià)變換;(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo),有目的地放縮、分析直到湊出結(jié)論.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)用數(shù)學(xué)歸納法比較大小

解:(1)當(dāng)n=1或n=2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí)(以下再對(duì)x進(jìn)行分類).①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.②若x=0,則Pn=Qn.③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.猜想n≥3時(shí),P3<Qn.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)證明:(ⅰ)當(dāng)n=3時(shí),已經(jīng)證明了P3<Q3.(ⅱ)假設(shè)Pk<Qk(k≥3),則Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.所以當(dāng)n≥3,且x∈(-1,0)時(shí),Pn<Qn.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛(1)利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.(2)本題除對(duì)n的不同取值會(huì)有Pn與Qn之間的大小變化,變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系,這就要求我們?cè)谔剿鞔笮￡P(guān)系時(shí),不能只顧“n”,而忽視其他變量(參數(shù))的作用.4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)4.4數(shù)學(xué)歸納法-人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件(共25張PPT)數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件數(shù)學(xué)歸納法人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)課件探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.